(X`,Y`,Z`) l

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Les mouvements sur la Sphère
Définitions: le Grand-Cercle
= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère
Définitions: le Grand-Cercle
= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère
Définitions: le Petit-Cercle
= intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère...
Définitions: le Petit-Cercle
... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère
Définitions: le Petit-Cercle
... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère
Définitions: le Repère Géocentrique
La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par:
Pôle Nord
- r: distance au centre de la Terre
rayon moyen de la Terre: 6371 km.
- l: la latitude = angle entre le vecteur position du
point et le plan équatorial.
(r,l,F)
-90°
ou 270°
- f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant
par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire
passant par les pôles N et S.
90° (E)
ì x = r.cos l.cos f
ï
P(r, q, f ) = í y = r.cos l.sin f
ï z = r.sin l
î
0°
f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Est
l: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sud
N.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)
Quelques outils
Trigonométrie Sphérique
Trigonométrie Sphérique
Trigonométrie Sphérique
Nota: la somme a + b + g est toujours supérieure à 180°
Trigonométrie Sphérique
Formule des sinus:
sin a sin b sin c
=
=
sin a sin b sin g
Trigonométrie Sphérique
Formule des cosinus:
cosc = cosa.cosb +sin a.sinb.cosg
Trigonométrie Sphérique
Aire du triangle sphérique
e
Soit par les angles au sommet:
e = a + b +g - p
Soit par les longueurs des côtés:
tan 2
e
s
s-a
s-b
s-c
= tan .tan
.tan
.tan
4
2
2
2
2
avec s = (a + b + c) / 2
Nota: l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S
s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère.
Trigonométrie Sphérique - Applications
1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ?
2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ?
3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris:
l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E
San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris:
l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E
San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris:
l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E
San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris:
l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E
San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris:
l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E
San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
d = 80.6° ≈ 8960 km
Formule des cosinus:
d
cosc = cosa.cosb +sin a.sinb.cosg
cosd = cos(90° - l1 ).cos(90°- l2 )+sin(90° - l1 ).sin(90°- l2 ).cos(DF)
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris:
l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E
San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
d = 80.6° ≈ 8960 km
d
Az
Az = 41.2° (W)
Formule des sinus:
sin a sin b sin c
=
=
sin a sin b sin g
sin(d) sin(90° - l2 )
=
sin(DF)
sin(Az)
sin(Az) =
sin(90° - l2 )
.sin(DF)
sin(d)
Chemin le plus court = arc de grand-cercle = Orthodromie
Chemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie
http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie
Orthodromie
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html
Loxodromie
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html
Produit Scalaire
r
Produit Scalaire
Vecteur position a
ì a1 = r.cos la cos f a
ï
í a2 = r.cos la sin fa
ï
î a3 = r.sin la
a = a12 + a2 2 + a3 2
r
Produit Scalaire
Vecteur position a
ì a1 = r.cos la cos f a
ï
í a2 = r.cos la sin fa
ï
î a3 = r.sin la
a = a12 + a2 2 + a3 2
Vecteur position b
ìb1 = r.cos lb cos fb
ï
íb2 = r.cos lb sin fb
ïb = r.sin l
î 3
b
b = b12 + b22 + b32
r
Produit Scalaire
Vecteur position a
ì a1 = r.cos la cos f a
ï
í a2 = r.cos la sin fa
ï
î a3 = r.sin la
a = a12 + a2 2 + a3 2
Vecteur position b
ìb1 = r.cos lb cos fb
ï
íb2 = r.cos lb sin fb
ïb = r.sin l
î 3
b
b = b12 + b22 + b32
Produit scalaire a.b
a.b = a b cosq
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
d’où:
q = arccos{( a1b1 + a2 b2 + a3b3 ) / ( a b )}
r
Produit Vectoriel
Vecteur position a
ì a1 = r.cos la cos f a
ï
í a2 = r.cos la sin fa
ï
î a3 = r.sin la
a = a12 + a2 2 + a3 2
Vecteur position b
ìb1 = r.cos lb cos fb
ï
íb2 = r.cos lb sin fb
ïb = r.sin l
î 3
b
b = b12 + b22 + b32
Produit vectoriel a L b (ou a x b)
ìc1 = a2b3 - a3b2
ï
a L b = íc 2 = a3b1 - a1b3
ï
îc 3 = a1b2 - a2b1
c1 =
a2 a3
a1 a3
a1 a2
c2 = c3 =
b2 b3
b1 b3
b1 b2
Déplacement sur la sphère
B
A
Comment décrire un mouvement d’un
point A à un point B sur une sphère ?
Déplacement sur la sphère
Ce mouvement peut-il être rectiligne ?
B
A
??
Tout déplacement sur une sphère est une rotation
B
A
B
A
En aucune manière... il s’agit d’une rotation.
Tout déplacement sur une sphère est une rotation
Pôle d’Euler
Angle d’Euler
B
A
C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse.
Tout déplacement sur une sphère est une rotation
Pôle d’Euler
Angle d’Euler
Remarques:
• la rotation d’Euler est une rotation finie
• elle décrit le mouvement le plus court de A à B
• elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B
(pour cela, il faut des paramètres de rotation finie
intermédiaires...).
??
A
B
Cosinus directeurs
a = angle avec l’axe X
b = angle avec l’axe Y
g = angle avec l’axe Z
ìcos a
ï
Cosinus directeurs = ícos b
ïcos g
î
Cosinus directeurs
a = angle avec l’axe X
b = angle avec l’axe Y
g = angle avec l’axe Z
ìcos a
ï
Cosinus directeurs = ícos b
ïcos g
î
Cosinus directeurs
a = angle avec l’axe X
b = angle avec l’axe Y
g = angle avec l’axe Z
ìcos a = cos l.cos j
ï
Cosinus directeurs = ícos b = cos l.sin j
ïcos g = sin l
î
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X
l12 =
"
"
"
Y
l13 =
"
"
"
Z
lij=cosaij
Que l’on peut réécrire:
O x y z
x’ l11 l12 l13
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X
l12 =
"
"
"
Y
l13 =
"
"
"
Z
l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X
l22 =
"
"
"
Y
l23 =
"
"
"
Z
lij=cosaij
Que l’on peut réécrire:
O x y z
x’ l11 l12 l13
y’ l21 l22 l23
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X
l12 =
"
"
"
Y
l13 =
"
"
"
Z
l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X
l22 =
"
"
"
Y
l23 =
"
"
"
Z
l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X
l32 =
"
"
"
Y
l33 =
"
"
"
Z
lij=cosaij
Que l’on peut réécrire:
O
x’
y’
z’
x
l11
l21
l31
y
l12
l22
l32
z
l13
l23
l33
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X
l12 =
"
"
"
Y
l13 =
"
"
"
Z
l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X
l22 =
"
"
"
Y
l23 =
"
"
"
Z
l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X
l32 =
"
"
"
Y
l33 =
"
"
"
Z
Que l’on peut réécrire:
O
x’
y’
z’
x
l11
l21
l31
y
l12
l22
l32
z
l13
l23
l33
C’est la matrice de transformation [TM]
Changement de repère
Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour
coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’):
x ' = x.l11 + y.l12 + z.l13
y' = x.l21 + y.l22 + z.l23
z' = x.l31 + y.l32 + z.l33
ou:
é x 'ù él11 l12 l13 ù é xù
úê ú
ê ú ê
y'
=
l
l
l
ê ú ê 21 22 23 ú.ê yú
êë z' úû êël31 l32 l33 úû êë z úû
ou:
P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)
Changement de repère
On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des
coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée:
él11 l12 l13 ù
ê
ú
[TM ] = êl21 l22 l23 ú
êël31 l32 l33 úû
él11 l21 l31 ù
ê
ú
[TM ]T = êl12 l22 l32 ú
êël13 l23 l33 úû
et:
P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’)
é1 0 0ù
ê
ú
T
À noter:[TM ] .[TM ] = ê0 1 0 ú
êë0 0 1 úû
Rotation 2D
ì x ' = x. cosq - y.sin q
í
î y' = x.sin q + y.cosq
ou :
é x 'ù écosq
ê ú=ê
ë y'û ësin q
-sin q ù é x ù
ú. ê ú
cosq û ë y û
Rotation 3D
Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’
Rotation 3D – règle du trièdre direct
Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’
Rotation 3D
Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’
ì x ' = x.cosq - y.sin q
ï
í y' = x.sin q + y.cosq
ï z' = z
î
ou :
é x 'ù écosq
ê ú ê
ê y'ú = êsin q
êë z' úû êë0
-sin q 0 ù é x ù
úê ú
cosq 0ú. ê y ú
0
1úû êëz úû
écosq
ê
Rz (q ) = êsinq
êë0
-sinq 0 ù
ú
cosq 0ú
0
1úû
Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z
Rotation 3D
à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y
et Z (respectivement) :
é1
0
ê
Rx (q ) = ê0 cosq
êë0 sinq
ù
ú
- sinq ú
cosq úû
0
écosq
0
ê
Ry (q ) = ê 0
1
êë-sinq 0
sinq ù
ú
0 ú
cosq úû
écosq
ê
Rz (q ) = êsinq
êë0
-sinq 0 ù
ú
cosq 0ú
0
1úû
Rx(q) tourne l'axe Y vers l'axe Z, Ry(q) tourne l'axe Z vers l'axe X et Rz(q) tourne l'axe X vers l'axe Y.
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
- étape 1:
Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec:
-
Z’ aligné sur le Pôle d’Euler
X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’
Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’)
Dans ce repère, le point P a pour coordonnées:
é x 'ù él11 l12 l13 ù é xù
úê ú
ê ú ê
y'
=
l
l
l
ê ú ê 21 22 23 ú.ê yú
êë z' úû êël31 l32 l33 úû êë z úû
ou:
P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
- étape 2:
Effectuer la "rotation 2D" autour de Z’ en utilisant Rz(q):
é x"ù écosq
ê ú ê
ê y"ú = êsin q
êë z" úû êë0
-sin q 0 ù é x 'ù
úê ú
cosq 0ú.ê y'ú
0
1úû êë z' úû
ou:
P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)
à ce stade, le point P’ a pour coordonnées dans
le repère (X’,Y’,Z’):
é x"ù écosq
ê ú ê
ê y"ú = êsin q
êë z' úû êë0
-sin q 0 ù él11 l12 l13 ù é xù
úê ú
úê
cosq 0ú.êl21 l22 l23 ú. ê yú
0
1úû êël31 l32 l33 úû êë z úû
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
- étape 3:
Revenir au repère Géocentrique (X,Y,Z) en multipliant
P’(x",y",z") par la matrice de transformation transposée:
é x '''ù él11 l21 l31 ù é x"ù
úê ú
ê ú ê
y'''
=
l
l
l
ê ú ê 12 22 32 ú. ê y"ú
êë z''' úû êël13 l23 l33 úû êëz" úû
Soit:
P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)
é x '''ù él11 l21 l31 ù écosq
úê
ê ú ê
y'''
=
l
l
l
ê ú ê 12 22 32 ú. êsinq
êë z''' úû êël13 l23 l33 úû êë0
-sinq 0 ù él11 l12 l13 ù é xù
úê ú
úê
cosq 0ú.êl21 l22 l23 ú. ê yú
0
1úû êël31 l32 l33 úû êëz úû
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne est le produit de 3 tenseurs:
él11 l21 l31 ù écos q -sin q 0 ù él11 l12 l13 ù
ê
úê
úê
ú
[RE ] = êl12 l22 l32 ú.êsin q cosq 0 ú.êl21 l22 l23 ú
êël13 l23 l33 úû êë0
0
1úû êël31 l32 l33 úû
[TM]T
Rz(q)
[TM]
Rotation Eulérienne
Ce sont ces rotations qui sont à la base des reconstructions dans le passé...
125 Ma
... le stade suivant étant de déterminer les paramètres de rotation ... !!
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