Mouvements à force centrale

Physique
Mécanique
MOUVEMENTS A FORCE CENTRALE FONCTION DE LA DISTANCE
MOUVEMENTS A FORCE CENTRALE
FONCTION DE LA DISTANCE
Plan
(Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe)
I.
**********************
Propriétés générales. ............................................................................................................. 1
II.
Cas d’une force F = - k OM , k = cste...................................................................................... 3
III.
Cas d’une force « newtonienne » F = -
k
r2
e r : ...................................................................... 4
**********************
Dans un référentiel (R) galiléen, on considère un point M soumis à une force :
(R)
•
F
F = F(r) ur
ur
F(r) > 0 : force répulsive
M
F(r) < 0 : force attractive
0
I.
Propriétés générales.
Un mouvement à force centrale est aussi un mouvement à accélération centrale. Les propriétés
cinématiques ont donc été vues en II.
•
La trajectoire est plane.
y
0
r
Dans le plan 0xy, on repère M
par ses coordonnées polaires (r, θ).
eθ
F
θ
F = F(r) e r
•
M
x
•
(C)
er
Le mouvement obéit à la loi des aires :
o
r2 θ = C
,
ou
1
dS
C
=
2
dt
Rem. : la loi des aires correspond à la conservation du moment cinétique :
dσ(O)
= OM ∧ F = O
dt
•
Formules de Binet
EC =
2

1
1
 du  
mv2 =
mc2  u2 + 


2
2
 dθ  


d2u 
F(r) = mar = - mc2u2  u +

dθ 2 

Page 1
o
σ(O) = mr2 θ z = cste
François MORAND
1

u = 
r

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En dynamique, on peut rajouter la propriété suivante :
•
F = - grad Ep dérive d’une énergie potentielle Ep(r) telle que :
dEp
dr
= - F(r)
⇒
Ep(r) = -
∫ F(r) dr
Le système est donc conservatif : Em = cste
L’étude du mouvement se fait, en général, (sauf en 7.2) en coordonnées polaires.
On peut s’intéresser aux lois r(t), θ(t) et r(θ) (équation polaire de la trajectoire).
•
Détermination de r(t) et θ(t)
On peut utiliser la RFD ou la conservation de l’énergie mécanique :
•
F = ma ⇒
 oo
o2 
F(r)= m  r - r θ 




o
r2 θ = C
o
En éliminant θ , on obtient une équation différentielle sur r(t) (pas toujours simple à résoudre !).
•
Em = cste Eo
⇒
Eo =
 o2
o2 
1
m  r + r 2 θ  + Ep(r)


2


o
r2 θ = C
o
Là encore, l’élimination de θ conduit à une intégrale 1ère de l’énergie de la variable r(t).
•
Détermination de l’équation polaire de la trajectoire r(θ) :
Il est alors judicieux d’utiliser les formules de Binet :

d2u 
F(r) = - mc2u2  u +

dθ 2 

Ep(r) +
2

1
 du  
mc2  u2 + 
= E0


2
dθ  



On obtient ainsi une équation différentielle sur u(θ) =
1
.
r(θ)
Rem. : EO et C sont données par les conditions initiales, ou les valeurs de r et v en un point
donné de la trajectoire (par exemple pour une planète du système solaire).
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II.
Cas d’une force F = - k OM , k = cste.
Alors :
II.1.
F(r) = - kr
1
kr2 + cste
Ep(r) =
2
Cas ou k > 0 : force attractive.
En projection sur ( x , y ), la RFD donne :
oo
m x = - kx
, soit :
oo
m y = - ky
oo
x + ω02 x = 0
, si ω02 =
oo
y + ω02 y = 0
k
m
Il s’agit de l’oscillateur harmonique bidimensionnel :
x(t) = A cos (ω0 + ϕ)
y(t) = B cos (ω0 + ψ)
La trajectoire est une ellipse de centre 0, décrite selon la loi des aires.
y
•
0
B
•
(ϕ – ψ = Π/2)
• M
F
•
A
x
2
2
x
y
  +   = 1
B 
A
Pour ϕ – ψ = 0 (Π), cette ellipse se réduit à une droite.
II.2.
Cas ou k < 0 : force répulsive.
On a cette fois :
oo
x - ω02 x = 0
, si ω02 = -
oo
y - ω02 y = 0
Donc :
k
>0
m
x(t) = A ch (ω0t + ϕ)
y(t) = B ch (ω0t + ψ)
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La trajectoire est donc une branche d’hyperbole de centre 0, décrite selon la loi des aires :
y
0
III.
•
(ϕ – ψ = Π/2)
F
•
•
A
2
Cas d’une force newtonienne » F = F(r) = -
k
2
x
y
  -   = 1
B 
A
x
k
r2
er :
k > 0 : attraction
r2
k < 0 : répulsion
k
Ep(r) = + cste
r
Ex. : - Force gravitationnelle.
er
•
m
r
F =-g
F
Mm
r2
er
•
O(M)
k = + g Mm > 0 (attraction)
- Force coulombienne.
0
F
•
er
(q)
r
•
F =
qq'
4 Π ε0 r2
er
(dans le vide)
(q’)
Donc
k=-
qq'
4 Π ε0
qq' > 0 : force répulsive
qq' < 0 : force attractive
III.1. Equation polaire de la trajectoire.
On peut utiliser une méthode dynamique et la 2e formule de Binet :
F(r) = -
k
r2

d2u 
= - k u2 = - mc2 u2  u +

dθ 2 

On en déduit l’équation différentielle sur u(θ), linéaire du 2e ordre à coefficients constants :
d2u
dθ
Page 4
2
+u=
k
mc 2
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k
u = A cos (θ – θ0) +
La solution est :
mc 2
En posant θ’ = θ - θ0 (rotation d’axe), et en prenant A > 0 (ce qui est toujours possible par un
choix adéquat de θ0), on a donc :
1
r(θ') =
k
mc 2
+ A cos θ'
Il s’agit de l’équation polaire d’une conique, dont le centre des forces 0 est un foyer.
III.2. Cas de la force répulsive : k < 0.
On peut alors écrire :
 mc 2


- k 

r(θ') =
 mc 2 
 cos θ'
-1+ A 
 -k 


Soit :
r(θ') =
p
- 1 + e cos θ'
p=
mc 2
>0
-k
e = Ap > 0
p est le paramètre de la conique, e son excentricité.
Si e < 1, r serait négative, ce qui est exclu. Donc e > 1 et la trajectoire est une branche
d’hyperbole (la branche la plus « éloignée » du centre des forces).
cos θ’ =
y
•
0 = F’
•
S’
•
C
(p =
F=-
•
•
S
1
e
M
•
F
θ’
k
r2
er
x’
SS'
FF'
b2
c
= a (e2 – 1) : a =
;e=
)
;c=
2
2
a
a
III.3. Cas de la force attractive : k > 0.
On écrit cette fois :
mc 2
r(θ') =
Page 5
k
 mc 2 
 cos θ'
1 + A

k 

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p
r(θ') =
1 + e cos θ'
Soit :
p=
mc 2
k
e = Ap
On ne peut cette fois, a priori, déterminer la nature de la conique.
Montrons qu’elle ne dépend que de l’énergie initiale EO du point M :
E(t) = EO = cste = EC + EP
On calcule EC grâce à la 1ère formule de Binet.
EC =
Avec
2

1
 du  
mc2  u2 + 


2
 dθ  

u(θ') =
 du du 
=


 dθ dθ' 
1 + e cos θ'
P
e
du
=sin θ'
P
dθ'
⇒
Et :
EC =
1 mc 2
(1 + e2 + 2 e cos θ')
2 P2
EP(r) = -
k
k
= - ku = (1 + e cos θ')
r
p
Comme mc2 = kp, on tire :
Soit :
EO =
k
1 k
(1 + e2 + 2 e cos θ') (1 + e cos θ')
2 p
p
EO =
1 k
(e2 – 1)
2 p
On voit donc que la nature de la conique dépend du signe de l’énergie.
y
• si EO > 0 : e > 1,
et la trajectoire est une branche
d’hyperbole (la branche décrite
est alors la plus proche
du centre des forces).
•M
F
•
F’
Page 6
•
S’
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r
C
•
S
•
•
θ’
O=
F
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x’
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•
Si EO = 0, e = 1,
la trajectoire est une parabole.
•
M
F
r
θ’
•
O=
p
1 + cos θ'
r=
;
rmin = SF =
•
P
2
• Si E0 < 0, e < 1,
la trajectoire est une ellipse
(et un cercle pour e = 0, E0 = -
x’
S
A
k
).
2p
•
F
•
•
•
F’
C
;
c=
•
VP
M
θ'
0=F
•
P
VA
p=
b2
= a (1 – e2)
a
;
rmin = rP = a (1 – e)
a=
AP
2
;
e=
c
a
FF'
2
rmax = rA = a(1 + e)
(P périhélie ; A aphélie)
o
o
Rem. : C = r2 θ = r x r θ = r Vθ
(cste des aires)
Donc, aux points P et A : rPVP = rAVA
Ainsi :
VA = Vmin
et
VP = Vmax ,
avec :
Vmax
r
1+ e
= A =
Vmin
rP
1- e
III.4. Cas de la trajectoire elliptique
k>0
E0 < 0
A partir de la donnée de EO et de C, on cherche à déterminer les caractéristiques de l’ellipse : a,
b et la période T.
•
Or :
Page 7
Demi-grand axe :
p = a (1 - e2)
EO =
1 k
(e2 – 1)
2 p
a=-
k
2 EO
,
donc ;
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•
b2 = -
Soit :
•
b2 = ap =
Demi-petit axe :
amc 2
k
mc 2
2 EO
Période : on utilise la loi des aires
1
1
dS
C ⇒ S = Π ab =
CT
=
2
2
dt
4 Π 2 a2 b 2
Ainsi :
T2 =
Donc :
T=2Π
C2
=
4 Π 2 a3 p
C2
=
(aire balayée pendant une période)
4 Π 2 a3 m
k
ma3
k
On obtient ainsi la généralisation de la 3e loi Képler : T2 est proportionnelle à a3.
k>0
E0 < 0
III.5. Cas de la trajectoire circulaire
e=0
Alors :
r = r0 = cste , donc :
EP = -
k
= cste
r0
Or :
Em = -
k
= cste
2 r0
Donc :
EC = Em – EP = - Em =
k
= cste : le mouvement circulaire est uniforme.
2 r0
o
o
Rem. : la loi des aires r2 θ = C donne aussi immédiatement ce résultat : r = r0 = cste, donc θ = cste.
De plus :
On a donc :
On retrouve alors :
EC =
v0 =
T=
1
mv02
2
k
mr0
2 Π r0
= 2Π
v0
mr0
k
3
Rem. : tous ces résultats peuvent aussi être retrouvés par application de la RFD, dans le
référentiel d’étude galiléen, en projection sur la base du trièdre de Frenet.
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