Mouvements à force centrale

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Mécanique
MOUVEMENTS A FORCE CENTRALE FONCTION DE LA DISTANCE
MOUVEMENTS A FORCE CENTRALE
FONCTION DE LA DISTANCE
Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe)
**********************
I. Propriétés générales..............................................................................................................1
II. Cas d’une force F= - k OM, k = cste......................................................................................3
III. Cas d’une force « newtonienne » F = - r
2e
r
k :......................................................................4
**********************
Dans un référentiel (R) galiléen, on considère un point M soumis à une force :
I. Propriétés générales.
Un mouvement à force centrale est aussi un mouvement à accélération centrale. Les propriétés
cinématiques ont donc été vues en II.
• La trajectoire est plane.
Dans le plan 0xy, on repère M
par ses coordonnées polaires (r, θ).
• Le mouvement obéit à la loi des aires :
r
2 o
θ = C , ou dt
dS = 2
1 C
Rem. : la loi des aires correspond à la conservation du moment cinétique :
dt )O(dσ= OM ∧ F = O )O(σ = mr2 o θ z = cste
• Formules de Binet
E
C = 2
1 mv2 = 2 1 mc2 
θ
+2
2d
du
u
F(r) = mar = - mc2u2 
θ
+2
2
dud
u
•
F r
u
M
(R)
0
0
x
y
r
M
(C)
θ •
θ
e
F
r
e
r
e F(r) F =
F = F(r) r
u
F(r) > 0 : force répulsive
F(r) < 0 : force attractive
=r
1
u

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En dynamique, on peut rajouter la propriété suivante :
• F = - gradEp dérive d’une énergie potentielle Ep(r) telle que :
dr
dEp= - F(r) ⇒ Ep(r) = - ∫ F(r) dr
Le système est donc conservatif : Em = cste
L’étude du mouvement se fait, en général, (sauf en 7.2) en coordonnées polaires.
On peut s’intéresser aux lois r(t), θ(t) et r(θ) (équation polaire de la trajectoire).
• Détermination de r(t) et θ(t)
On peut utiliser la RFD ou la conservation de l’énergie mécanique :
• F = ma ⇒ F(r)= m 
θ2
ooo r - r
r
2 o
θ = C
En éliminant o θ, on obtient une équation différentielle sur r(t) (pas toujours simple à résoudre !).
• E
m = cste Eo ⇒ Eo = 2
1 m 
θ+ 2
o
2
2
or r + E
p(r)
r2 o
θ = C
Là encore, l’élimination de o θ conduit à une intégrale 1ère de l’énergie de la variable r(t).
• Détermination de l’équation polaire de la trajectoire r(θ) :
Il est alors judicieux d’utiliser les formules de Binet :
F(r) = - mc2u2 
θ
+2
2
dud
u
E
p(r) + 2
1 mc2 
θ
+2
2d
du
u = E
0
On obtient ainsi une équation différentielle sur u(θ) = )(r1
θ.
Rem. : EO et C sont données par les conditions initiales, ou les valeurs de r et v en un point
donné de la trajectoire (par exemple pour une planète du système solaire).

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II. Cas d’une force F= - k OM, k = cste.
Alors : F(r) = - kr
E
p(r) = 2
1 kr2 + cste
II.1. Cas ou k > 0 : force attractive.
En projection sur (x,y ), la RFD donne :
moo
x= - kx
oo
y
m= - ky
oo
x+ ω02 x = 0
oo
y+ ω02 y = 0
Il s’agit de l’oscillateur harmonique bidimensionnel :
x(t) = A cos (ω0 + ϕ)
y(t) = B cos (ω0 + ψ)
La trajectoire est une ellipse de centre 0, décrite selon la loi des aires.
Pour ϕ – ψ = 0 (Π), cette ellipse se réduit à une droite.
II.2. Cas ou k < 0 : force répulsive.
On a cette fois :
oo
x- ω02 x = 0
oo
y- ω02 y = 0
Donc : x(t) = A ch (ω0t + ϕ)
y(t) = B ch (ω0t + ψ)
, soit :
, si ω02 = m
k
, si ω02 = - m
k > 0
•
• •
•
y
B
M
A x 0
(ϕ – ψ = Π/2)
2
A
x
+ 2
B
y
= 1
F

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•
•
O(M)
r
m
F
r
e
•
•
0 r
(q)
Fr
e
(q’)
•
•
•
y
A x 0
F
La trajectoire est donc une branche d’hyperbole de centre 0, décrite selon la loi des aires :
III. Cas d’une force newtonienne » F= - r
2e
r
k :
F(r) = - 2
rk
E
p(r) = - r
k + cste
Ex. : - Force gravitationnelle.
k = + g Mm > 0 (attraction)
- Force coulombienne.
Donc k = - 0
4qq' εΠ
qq' > 0 : force répulsive
qq' < 0 : force attractive
III.1. Equation polaire de la trajectoire.
On peut utiliser une méthode dynamique et la 2e formule de Binet :
F(r) = - 2
rk = - k u2 = - mc2 u2 
θ
+2
2
dud
u
On en déduit l’équation différentielle sur u(θ), linéaire du 2e ordre à coefficients constants :
2
2
d
ud
θ + u = 2
mc
k
k > 0 : attraction
k < 0 : répulsion
(ϕ – ψ = Π/2)
2
A
x
- 2
B
y
= 1
F = - g 2
r
Mm r
e
F = 2
0 r 4 'qq
εΠ r
e (dans le vide)

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p = k-
mc2 > 0
e = Ap > 0
La solution est : u = A cos (θ – θ0) + 2
mc
k
En posant θ’ = θ - θ0 (rotation d’axe), et en prenant A > 0 (ce qui est toujours possible par un
choix adéquat de θ0), on a donc :
r(θ') = ' cos A
mc
k1
2θ+
Il s’agit de l’équation polaire d’une conique, dont le centre des forces 0 est un foyer.
III.2. Cas de la force répulsive : k < 0.
On peut alors écrire :
r(θ') =
' cos
k-
mc
A 1 -
k-
mc
2
2
θ +
Soit : r(θ') = ' cos e 1 - pθ+
p est le paramètre de la conique, e son excentricité.
Si e < 1, r serait négative, ce qui est exclu. Donc e > 1 et la trajectoire est une branche
d’hyperbole (la branche la plus « éloignée » du centre des forces).
(p =
a
b2 = a (e2 – 1) : a = 2'SS ; e = a c ; c = 2'FF )
III.3. Cas de la force attractive : k > 0.
On écrit cette fois :
r(θ') =
' cos
k
mc
A 1
k
mc
2
2
θ +
M
cos θ’ = e
1
• •
•
•
y
S x’
0 = F’ • •
S
’F
C θ’
r
2e
rk
- F =