II Epreuve de Bernoulli Définition : C’est une ( et une seule, non répétée ) expérience aléatoire, à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs 1 ( Succès ) et 0 ( Echec ). II Epreuve de Bernoulli Définition : C’est une ( et une seule, non répétée ) expérience aléatoire, à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs 1 ( Succès ) et 0 ( Echec ). Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p ». II Epreuve de Bernoulli Définition : C’est une ( et une seule, non répétée ) expérience aléatoire, à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs 1 ( Succès ) et 0 ( Echec ). Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p ». Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable. E(X) = valeurs xi σ(X) = p ( X = xi ) II Epreuve de Bernoulli Définition : C’est une ( et une seule, non répétée ) expérience aléatoire, à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs 1 ( Succès ) et 0 ( Echec ). Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p ». Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable. E(X) = valeurs xi 0 1 σ(X) = p ( X = xi ) 1-p p II Epreuve de Bernoulli Définition : C’est une ( et une seule, non répétée ) expérience aléatoire, à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs 1 ( Succès ) et 0 ( Echec ). Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p ». Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable. E(X) = Σ ni xi = (1-p) (0) + p (1) = p valeurs xi 0 1 σ(X) = p ( X = xi ) 1-p p II Epreuve de Bernoulli Définition : C’est une ( et une seule, non répétée ) expérience aléatoire, à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), à variable aléatoire X ne prenant que les deux valeurs 1 ( Succès ) et 0 ( Echec ). Cette variable aléatoire est appelée « variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p ». Loi de Bernoulli : c’est la loi de probabilité de la variable. E(X) = Σ ni xi = (1-p) (0) + p (1) = p valeurs xi 0 1 p ( X = xi ) 1-p p σ(X) = Σ ni xi² - (E(X))² = (1-p) (0²) + p (1²) - p² = p(1–p) III Loi binomiale Définition : On répète n fois une même expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = III Loi binomiale Définition : On répète n fois une expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k III Loi binomiale Définition : On répète n fois une expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres … III Loi binomiale Définition : On répète n fois une expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p, et Echec ), X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Définition : On répète n fois une expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec, X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit … Définition : On répète n fois une expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec, X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ). Loi de probabilité de la variable aléatoire : Définition : On répète n fois une expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec, X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ). Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi p ( X = xi ) 0 1 2 3 etc … n-2 n-1 n Définition : On répète n fois une expérience aléatoire à 2 issues ( Succès de probabilité p ) et Echec, X est la variable aléatoire donnant le nombre k de Succès. On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ). Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi = k 0 1 2 3 etc … n-2 n-1 n p ( X = xi ) pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ). Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi = k 0 1 2 3 etc … n-2 n-1 n p ( X = xi ) pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k On obtient E(X) = On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ). Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi = k 0 1 2 3 etc … n-2 n-1 n p ( X = xi ) pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k On obtient E(X) = n p et σ(X) = que l’on ne démontrera pas car … np(1–p) On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p notée ß( n ; p ). Une épreuve de Bernoulli suit ß( 1 ; p ). Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi = k 0 1 2 3 etc … n-2 n-1 n p ( X = xi ) pour tous les k de { 0 ; 1 ; … ; n }, p( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 - p)n-k On obtient E(X) = n p et σ(X) = np(1–p) que l’on ne démontrera pas car il faut la démontrer pour toutes les infinités de n possibles.