Diaporama sur la trigonométrie

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Le cercle trigonométrique
Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
[ La trigonométrie \
Lycée du golfe de Saint Tropez
Année 2015/2016
Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez)
Trigonométrie
Année 2015/2016
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Le cercle trigonométrique
Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
1
Le cercle trigonométrique
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
2
Angles orientés
Angle de vecteurs
Mesure d’un angle
Mesure principale
3
Propriétés des angles orientés
4
Cosinus et sinus
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
5
Équations trigonométriques
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Le cercle trigonométrique
Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
Définition
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon
1, centré sur l’origine et parcouru dans le sens positif (c’est à dire dans le sens inverse
des aiguilles d’une montre).
J
x
b
M
b
b
0
b
I
∆
Pour tout réel x repéré sur la droite ∆ on associe un point M sur le cercle
trigonométrique que l’on obtient par « enroulement de la droite» sur le cercle. On
dit que le point M est l’image du réel x
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
Les valeurs remarquables
π
2
b
3π
4
π
4
b
b
0
π
b
b
b
−
b
3π
4
−
π
4
b
−
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π
2
Trigonométrie
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Le cercle trigonométrique
Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
Les valeurs remarquables
2π
3
π
3
b
b
b
b
2π
−
3
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−
Trigonométrie
π
3
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
Les valeurs remarquables
5π
6
b
b
b
−
5π
−
6
Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez)
π
6
b
Trigonométrie
π
6
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
Les valeurs remarquables
π
2
2π
3
3π
4
π
3
b
π
4
b
b
b
5π
6
b
π
6
b
b
0
π
b
b
b
b
−
5π
−
6
b
−
3π
4
b
−
Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez)
π
6
b
2π
3
−
b
b
−
π
2
Trigonométrie
π
4
π
−
3
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Le cercle trigonométrique
Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
Les valeurs remarquables
7π
12
2π
3
3π
4
5π
12
π
2
b
b
π
3
b
π
4
b
b
b
5π
6
11π
12
b
π
6
b
b
b
π
12
b
0
π
b
−
11π
12
b
−
b
b
b
b
−
5π
−
6
b
−
π
6
b
3π
4
b
−
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π
12
2π
3
−
b
b
−
b
b
7π
12
−
π 5π
−
2
12
Trigonométrie
π
4
π
−
3
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
c) Nouvelle unité
J
x
b
M
b
b
0
b
I
∆
Le réel 0 É x É π que l’on a placé sur le cercle trigonométrique sur le point M est

une mesure en radians de l’angle géométrique IOM.
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Associer un point à un réel
Valeurs particulières
Nouvelle unité
Conversion degré-radians
d) Conversion degré-radians
Conversion degré-radians
Mesures en degré
0°
Mesures en radians
0
30°
π
6
45°
π
4
60°
π
3
90°
π
2
120°
2π
3
180°
π
Il y a proportionnalité entre les mesures en degré et celle en radians.
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Angle de vecteurs
Mesure d’un angle
Mesure principale
II) Angles orientés
a) Angle de vecteurs
Définition
Un angle orienté est un couple
de deux vecteurs non nuls. L’angle entre les
³→
− →
−´
→
−
→
−
vecteurs u et v sera noté u ; v .
Remarque:
O, A et B étant trois points distincts.
 et BOA
 sont égaux alors que les angles de vecteurs
Les
géométriques AOB
³−−→angles
−−→´ ³−−→ −−→´
OA ; OB et OB ; OA sont différents, ils sont opposés.
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Angle de vecteurs
Mesure d’un angle
Mesure principale
b) Mesure d’un angle
Mesure d’un angle
Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique
de centre O alors le
³−
→ −−→´
réel x est une mesure en radian de l’angle orienté OI ; OM , les autres mesures
sont de la forme α = x + 2kπ (k ∈ Z).
J
M
b
α
b
b
0
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I
³
´
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Angle de vecteurs
Mesure d’un angle
Mesure principale
c) Mesure principale
³→
− →
−´
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté u ; v , il en existe une et une seule
qui se trouve dans l’intervalle ] − π π].
³→
− →
−´
Cette mesure est la mesure principale de u ; v
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Angle de vecteurs
Mesure d’un angle
Mesure principale
c) Mesure principale
³→
− →
−´
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté u ; v , il en existe une et une seule
qui se trouve dans l’intervalle ] − π π].
³→
− →
−´
Cette mesure est la mesure principale de u ; v
Faire les exercices 33 et 34 page 205
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
III) Propriétés des angles orientés
→
− →
−
−
→
Dans ce paragraphe u , v et w sont trois vecteurs non nuls
Vecteurs colinéaires
→
−
→
−
Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de même sens alors
³→
− →
−´
u , v = 0 + 2kπ k ∈ Z
→
−
→
−
Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraire alors
³→
− →
−´
u , v = π + 2kπ k ∈ Z
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
III) Propriétés des angles orientés
→
− →
−
−
→
Dans ce paragraphe u , v et w sont trois vecteurs non nuls
Vecteurs colinéaires
→
−
→
−
Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de même sens alors
³→
− →
−´
u , v = 0 + 2kπ k ∈ Z
→
−
→
−
Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraire alors
³→
− →
−´
u , v = π + 2kπ k ∈ Z
Relation de Chasles
³→
→→
−´
− −
→´ ³−
− →
− ´ ³→
u , v = u ,w + w , v
Faire les exercices 10 et 11 page 199
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Autres propriétés
³→
³→
− →
−´
− →
−´
u ,v =− v ,u ;
³ →
− →
−´
− →
− ´ ³→
− →
− ´ ³→
− u , v = u , − v = u , v + π + 2kπ k ∈ Z;
³ →
− →
−´
− →
− ´ ³→
−u , − v = u , v .
Faire les exercices 12 et 14 page 200, les exercices 27, 28 et 29 page 205 puis les
exercices 38 et 40 page 206
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Trigonométrie
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
IV) Cosinus et sinus
a) Définition
Définition
Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique alors
le réel cos(x) est l’abscisse du point M;
le réel sin(x) est l’ordonnée du point M;.
J
M
sin(x)
b
x
b
0
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b
cos(x)
Trigonométrie
I
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
b) Les premières propriétés
Proriétés
Pour tout réel x, on a:
−1 É cos(x) É 1
− 1 É sin(x) É 1
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
Pour tout entier relatif k, on a:
cos(x + 2kπ) = cos(x)
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sin(x + 2kπ) = sin(x)
Trigonométrie
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
c) Les valeurs particulières
Valeurs à connaitre
Mesures en degré
0°
Mesures en radians
0
cosinus
1
sinus
0
30°
π
6
p
3
2
1
2
45°
π
4
p
2
2
p
2
2
60°
π
3
1
2
p
3
2
90°
π
2
180°
0
−1
1
0
π
Faire les exercices 1 page 197 puis les exercices 59, 60 et 61 page 208
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
π
2
2π
3
3π
4
π
3
b
p
3
p2
2
2
b
b
5π
6
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
π
4
b
b
π
6
1
2
b
b
0
π
b
b
p
p
1
− 23− 22 − 2
b
5π
−
6
b
−
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3π
4
b
2π
−
3
1
2
1
−2
p
− 22
p
− 23
p p
3
2
2
2
b
−
π
6
b
−
b
b
−
π
2
Trigonométrie
π
4
π
−
3
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
d) Angles associés
b
x
b
−x
Les images des réels x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
d) Angles associés
π−x
b
b
x
Les images des réels x et π − x sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
d) Angles associés
b
x
b
π+x
Les images des réels x et π + x sont symétriques par rapport à l’origine
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
d) Angles associés
π−x
b
b
b
b
−x
π+x
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x
Trigonométrie
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Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
Formules
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
sin(x)
b
x
b
cos(x)
− sin(x)
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b
b
−x
Trigonométrie
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
¢
¡
cos¡ π2 + x¢ = − sin(x)
sin π2 + x = cos(x)
¢
¡
cos¡ π2 − x¢ = sin(x)
sin π2 − x = cos(x)
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
Formules
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
π−x
b
b
sin(x)
− cos(x)
Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez)
b
x
b
cos(x)
b
Trigonométrie
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
¢
¡
cos¡ π2 + x¢ = − sin(x)
sin π2 + x = cos(x)
¢
¡
cos¡ π2 − x¢ = sin(x)
sin π2 − x = cos(x)
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
Formules
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
sin(x)
b
b
π+x
− cos(x)
b
x
b
cos(x)
b
− sin(x)
Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez)
Trigonométrie
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
¡
¢
cos¡ π2 + x¢ = − sin(x)
sin π2 + x = cos(x)
¢
¡
cos¡ π2 − x¢ = sin(x)
sin π2 − x = cos(x)
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
Formules
π +x
2
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
b
b
cos(x)
sin(x)
b
b
b
x
cos(x)
− sin(x)
Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez)
Trigonométrie
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
¡
¢
cos¡ π2 + x¢ = − sin(x)
sin π2 + x = cos(x)
¡
¢
cos¡ π2 − x¢ = sin(x)
sin π2 − x = cos(x)
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
Formules
π −x
2
b
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
b
cos(x)
sin(x)
b
b
b
x
cos(x)
y=
x
sin(x)
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Trigonométrie
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
¢
¡
cos¡ π2 + x¢ = − sin(x)
sin π2 + x = cos(x)
¡
¢
cos¡ π2 − x¢ = sin(x)
sin π2 − x = cos(x)
Année 2015/2016
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Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
Définition
Les premières propriétés
Les valeurs particulières
Angles associés
Formules
π −x
2
π +x
2
b
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
b
b
cos(x)
b
sin(x)
π−x
− cos(x)
b
b
π+x
b
b
b
x
b
cos(x)
b
sin(x)
− sin(x)
− sin(x)
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b
−x
Trigonométrie
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
¢
¡
cos¡ π2 + x¢ = − sin(x)
sin π2 + x = cos(x)
¢
¡
cos¡ π2 − x¢ = sin(x)
sin π2 − x = cos(x)
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Le cercle trigonométrique
Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
V) Équations trigonométriques
a
b
cos(a)
b
b
b
−a
cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z)
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Le cercle trigonométrique
Angles orientés
Propriétés des angles orientés
Cosinus et sinus
Équations trigonométriques
V) Équations trigonométriques
a
b
cos(a)
b
b
b
−a
cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z)
a
b
b
b
sin(a)
π−a
b
sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ (k ∈ Z)
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