Diaporama sur la trigonométrie
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Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques [ La trigonométrie \ Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 1 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques 1 Le cercle trigonométrique Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians 2 Angles orientés Angle de vecteurs Mesure d’un angle Mesure principale 3 Propriétés des angles orientés 4 Cosinus et sinus Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés 5 Équations trigonométriques Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 2 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians Définition Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, centré sur l’origine et parcouru dans le sens positif (c’est à dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre). J x b M b b 0 b I ∆ Pour tout réel x repéré sur la droite ∆ on associe un point M sur le cercle trigonométrique que l’on obtient par « enroulement de la droite» sur le cercle. On dit que le point M est l’image du réel x Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 3 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians Les valeurs remarquables π 2 b 3π 4 π 4 b b 0 π b b b − b 3π 4 − π 4 b − Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 2 Trigonométrie Année 2015/2016 4 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians Les valeurs remarquables 2π 3 π 3 b b b b 2π − 3 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) − Trigonométrie π 3 Année 2015/2016 4 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians Les valeurs remarquables 5π 6 b b b − 5π − 6 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 6 b Trigonométrie π 6 Année 2015/2016 4 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians Les valeurs remarquables π 2 2π 3 3π 4 π 3 b π 4 b b b 5π 6 b π 6 b b 0 π b b b b − 5π − 6 b − 3π 4 b − Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 6 b 2π 3 − b b − π 2 Trigonométrie π 4 π − 3 Année 2015/2016 4 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians Les valeurs remarquables 7π 12 2π 3 3π 4 5π 12 π 2 b b π 3 b π 4 b b b 5π 6 11π 12 b π 6 b b b π 12 b 0 π b − 11π 12 b − b b b b − 5π − 6 b − π 6 b 3π 4 b − Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 12 2π 3 − b b − b b 7π 12 − π 5π − 2 12 Trigonométrie π 4 π − 3 Année 2015/2016 4 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians c) Nouvelle unité J x b M b b 0 b I ∆ Le réel 0 É x É π que l’on a placé sur le cercle trigonométrique sur le point M est une mesure en radians de l’angle géométrique IOM. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 5 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Nouvelle unité Conversion degré-radians d) Conversion degré-radians Conversion degré-radians Mesures en degré 0° Mesures en radians 0 30° π 6 45° π 4 60° π 3 90° π 2 120° 2π 3 180° π Il y a proportionnalité entre les mesures en degré et celle en radians. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 6 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Angle de vecteurs Mesure d’un angle Mesure principale II) Angles orientés a) Angle de vecteurs Définition Un angle orienté est un couple de deux vecteurs non nuls. L’angle entre les ³→ − → −´ → − → − vecteurs u et v sera noté u ; v . Remarque: O, A et B étant trois points distincts. et BOA sont égaux alors que les angles de vecteurs Les géométriques AOB ³−−→angles −−→´ ³−−→ −−→´ OA ; OB et OB ; OA sont différents, ils sont opposés. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 7 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Angle de vecteurs Mesure d’un angle Mesure principale b) Mesure d’un angle Mesure d’un angle Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique de centre O alors le ³− → −−→´ réel x est une mesure en radian de l’angle orienté OI ; OM , les autres mesures sont de la forme α = x + 2kπ (k ∈ Z). J M b α b b 0 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie I ³ ´ Année 2015/2016 8 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Angle de vecteurs Mesure d’un angle Mesure principale c) Mesure principale ³→ − → −´ Parmi toutes les mesures d’un angle orienté u ; v , il en existe une et une seule qui se trouve dans l’intervalle ] − π π]. ³→ − → −´ Cette mesure est la mesure principale de u ; v Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 9 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Angle de vecteurs Mesure d’un angle Mesure principale c) Mesure principale ³→ − → −´ Parmi toutes les mesures d’un angle orienté u ; v , il en existe une et une seule qui se trouve dans l’intervalle ] − π π]. ³→ − → −´ Cette mesure est la mesure principale de u ; v Faire les exercices 33 et 34 page 205 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 9 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques III) Propriétés des angles orientés → − → − − → Dans ce paragraphe u , v et w sont trois vecteurs non nuls Vecteurs colinéaires → − → − Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de même sens alors ³→ − → −´ u , v = 0 + 2kπ k ∈ Z → − → − Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraire alors ³→ − → −´ u , v = π + 2kπ k ∈ Z Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 10 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques III) Propriétés des angles orientés → − → − − → Dans ce paragraphe u , v et w sont trois vecteurs non nuls Vecteurs colinéaires → − → − Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de même sens alors ³→ − → −´ u , v = 0 + 2kπ k ∈ Z → − → − Si u et v sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraire alors ³→ − → −´ u , v = π + 2kπ k ∈ Z Relation de Chasles ³→ →→ −´ − − →´ ³− − → − ´ ³→ u , v = u ,w + w , v Faire les exercices 10 et 11 page 199 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 10 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Autres propriétés ³→ ³→ − → −´ − → −´ u ,v =− v ,u ; ³ → − → −´ − → − ´ ³→ − → − ´ ³→ − u , v = u , − v = u , v + π + 2kπ k ∈ Z; ³ → − → −´ − → − ´ ³→ −u , − v = u , v . Faire les exercices 12 et 14 page 200, les exercices 27, 28 et 29 page 205 puis les exercices 38 et 40 page 206 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 11 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés IV) Cosinus et sinus a) Définition Définition Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique alors le réel cos(x) est l’abscisse du point M; le réel sin(x) est l’ordonnée du point M;. J M sin(x) b x b 0 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b cos(x) Trigonométrie I Année 2015/2016 12 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés b) Les premières propriétés Proriétés Pour tout réel x, on a: −1 É cos(x) É 1 − 1 É sin(x) É 1 cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Pour tout entier relatif k, on a: cos(x + 2kπ) = cos(x) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) sin(x + 2kπ) = sin(x) Trigonométrie Année 2015/2016 13 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés c) Les valeurs particulières Valeurs à connaitre Mesures en degré 0° Mesures en radians 0 cosinus 1 sinus 0 30° π 6 p 3 2 1 2 45° π 4 p 2 2 p 2 2 60° π 3 1 2 p 3 2 90° π 2 180° 0 −1 1 0 π Faire les exercices 1 page 197 puis les exercices 59, 60 et 61 page 208 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 14 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques π 2 2π 3 3π 4 π 3 b p 3 p2 2 2 b b 5π 6 Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés π 4 b b π 6 1 2 b b 0 π b b p p 1 − 23− 22 − 2 b 5π − 6 b − Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) 3π 4 b 2π − 3 1 2 1 −2 p − 22 p − 23 p p 3 2 2 2 b − π 6 b − b b − π 2 Trigonométrie π 4 π − 3 Année 2015/2016 15 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés d) Angles associés b x b −x Les images des réels x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 16 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés d) Angles associés π−x b b x Les images des réels x et π − x sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 16 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés d) Angles associés b x b π+x Les images des réels x et π + x sont symétriques par rapport à l’origine Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 16 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés d) Angles associés π−x b b b b −x π+x Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) x Trigonométrie Année 2015/2016 16 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) sin(x) b x b cos(x) − sin(x) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b b −x Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2015/2016 17 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) π−x b b sin(x) − cos(x) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b x b cos(x) b Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2015/2016 17 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) sin(x) b b π+x − cos(x) b x b cos(x) b − sin(x) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¡ ¢ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2015/2016 17 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules π +x 2 cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) b b cos(x) sin(x) b b b x cos(x) − sin(x) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¡ ¢ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¡ ¢ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2015/2016 17 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules π −x 2 b cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) b cos(x) sin(x) b b b x cos(x) y= x sin(x) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¡ ¢ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2015/2016 17 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules π −x 2 π +x 2 b cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) b b cos(x) b sin(x) π−x − cos(x) b b π+x b b b x b cos(x) b sin(x) − sin(x) − sin(x) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b −x Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2015/2016 17 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques V) Équations trigonométriques a b cos(a) b b b −a cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 18 / 18 Le cercle trigonométrique Angles orientés Propriétés des angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques V) Équations trigonométriques a b cos(a) b b b −a cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z) a b b b sin(a) π−a b sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ (k ∈ Z) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2015/2016 18 / 18
