EXERCICE 2 - Commun à tous les élèves 3 points On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+00[, vérifiant la condition (E): pour tout nombre réel x strictement positif, xf /( x) - f (x) = x2 ix • 1. Montrer que si une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+00[, vérifie la condition (E), alors la fonction g définie sur l'intervalle ]O;+oo[ par g(x)= pour tout nombre réel x strictement positif, f(x) x vérifie: g' (x) = e 2x • 2. En déduire l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle ]O;+oo[ qui vérifient la condition (E). 3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]O;+oo[ qui vérifie la condition (E) et qui s'annule en t? On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l'intervalle ]0 ; +00[, vérifiant la condition (E) : pour tout nombre réel x strictement positif, xf'(x) - f(x) = x2e2X• 1. Une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +00[, vérifie la condition (E), alors la fonction g définie sur l'intervalle]O; +oo[ par g(x) = f(x) x vérifie, pour tout x de]O ; +00[: g' (x) = -x (f(X))' = ----- - -- x2 xf'(x)-f(x) x2 x2e2x = e2x • 2. Ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle [0 ; +oo[ qui vérifient la condition (E) : fvérifie E = g/(x) = e2X = 1 2 f(~ g(x) = -e x + k = -- 2 x = f(x) = 1 _xe2X 2 + kx avec kE:IR Réciproquement: 3. Fonction h définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +oo[ vérifiant la condition (E) et s'annulant en ~ : 2 EXERCICE 4 - Commun à tous les élèves 7noints Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : Soit n un entier naturel. -nx On note fn, la fonction définie sur l'ensemble On note C n la courbe représentative de C 3 sont représentées ci-dessous : , 'C2 '\ f \ '\ "- "- 0.2-1 co i; 3) co' CI' . Les courbes C 2 et " \\ '\ ,,,'\ ' \ 0.8 \ ,1),6 ..... "- "- dans un repère orthogonal (0; l+e \\ '\ ,,, des nombres réels par: fn(x)=~ \C3 '\ "- n IR " --. --. "--. ..... ~ ''- , 0.41 ------- """--------------------- o -0.4 -0.2 o 0.2 L'objet de cette partie est l'étude de quelques propriétés 1. Démontrer que pour tout entier naturel ses coordonnées. 0 • 2. Étude de la fonction 0.6 0.4 des fonctions n les courbes 1.2 0.8 f n 1.4 Cn et des courbes • C n ont un point A en commun. On précisera f f a. Étudier le sens de variation de 0 • b. Préciser les limites de la fonction 0 en -00 et + 00. Interpréter graphiquement ces limites. 0 sur IR. c. Dresser le tableau de variation de fonction 3. Étude de la fonction fi' f f a. Démontrer que f 0 (x) = fi (- x) pour tout nombre réel x. b. En déduire les limites de la fonction fi en -00 et +00, ainsi que son sens de variation. c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes Co et CI . 4. Étude de la fonction n pour n ~ 2 . f 1 a. Vérifier que pour tout entier naturel n~2 etpourtoutnombreréel x, ona f :fn(x)=-nx--(n-I)x' e +e b. Étudier les limites de la fonction n en - 00 et en +00. c. Calculer la dérivée n' (x) et dresser le tableau de variations de la fonction f f n sur IR. Partie B: Résoudre l'équation différentielle y(O)=1. y'+2y=6 et déterminer la solution 5 f vérifiant la condition initiale EXERCICE4 Commun à tous les candidats PartieA: 1. 1 eO 11ùel 'JI. que soit n e:N, fn (0) = --0 l+e = -. 2 Toutes les courbes <€n contiennent le point (0, ~). 2. Étude de la fonction fo 1 a. "0 (x) JI --x' = l+e- Cette fonction est dérivable sur IR et f~(x) _e-x = - e-x 2 (1+ e-X) Comme e-x > 0 et (1 + e-x)2 >~on en déduit que f~(x) > o. La fonction Jo est donc croissante sur IR. = (1+ e-X) 2• b. On sait que lim eX = O. Donc lim e-x = +00. ~~ ~~ .. ~ Donc Hm fo(x) = O. Ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote hC"l'\C.) h:Je. ~~ v à la courbe <€o fJtI,., _ 0lJ· On sait que x-+oo lim e-x = 0, donc x-+oo lim fo(x) = 1. Ceci signifie que la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe <€o ~ +,. . c. Tableau très simple: sur 3. Étude de la fonction IR, fo crott de 0 à 1. fI eX 1 a. On a fI(-x) = --1+ex = -e-x + 1 = le facteur non nul e-x. fo (x) en multipliant chaque terme par lim fI (x) = -x-+oo lim fo(x) = 1 b. On a X-+oo Hm fi (-x) = x--oo Demême lim fl(-X)= lim !I(x)= lim fo(x)=0. x--oo x-+oo X--OO Commefo(x)= fI (-x),. p()J.,( itau.1 ~O 1'lL) lM eL ~ ~ c. tA\' ~ ~w.lr ~~I,.: ~ pl\\.û tw w l')L \ 1-1h~::{o(-"') 1,~ .t Q. • 01.10\.\. Clll\~ 1 1 1 1-\('\}:: - ~,l-~, {4 W &iU'~\\M.k 'W I( fo (x) = fI(- x) signifi~ que deux points d'abscis:l~ et 'CI ont la même ordonnée: ces points sont symétriques autour de (Oy). 'Coet 'CI sont symétriques autour de l'axe des ordonnées. 4. Étude de la fonction fn pour n ~ 2 1 -nx a. fn (x) b. Pour = _e 1_+_e-x . En multipliant chaque terme par P ~ O••••• Limite 2, x-+oo lim en -00: ePx X--oo lim = ---( enx + e n= +00, donc en utilisant l'écriture du a., X-+oo lim fn (x) = enx = 0 enx > 0, fn (x) et X--OO lim e(n-I)X = 0 donc par limite de l'inverse: ltrrL, ~ 4- f;.;;, • ,1) ....:, ••• ,~" -q-f}(\ fît) c. fn quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car enx + e<n-l)x > O. En utilisant l'écriture trouvée au début de la question: nenx + (n _l)e(n-I)X f~(x)=--------. (enx + e(n-I)Xf Comme n ~ 2, cette dérivée est négative quel que soit x réel. Les fonctions (fn, n ~ 2) sont donc décroissantes de +00 à O. 1) X • (1 ,'fi. t4o\ M.~A.W\r • r "~kr) 1 Exercice 4 Partie B On a y 1 + 2 y = 6 <=> Y 1 = - 2Y + 6 . f (x) = ke -2x - _62= ke - 2x + 3 où k se Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme (0) = 1 , qui s'écrit k + 3 = 1 ou k =- 2 . détermine à l'aide de la condition initiale f La fonction cherchée est donc définie sur IR par f (x) =- 2 e -2x + 3 .