EXERCICE 2 - Commun à tous les élèves 3 points On cherche à

EXERCICE 2 - Commun à tous les élèves
3 points
On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+00[,
vérifiant la condition (E):
pour tout nombre réel x strictement positif, xf /(x) -f (x) =x2 ix•
1. Montrer que si une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+00[, vérifie la condition
(E), alors la fonction g définie sur l'intervalle ]O;+oo[ par g(x)= f(x) vérifie:
x
pour tout nombre réel x strictement positif, g' (x) =e2x •
2. En déduire l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle ]O;+oo[ qui vérifient la
condition (E).
3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]O;+oo[ qui vérifie la condition (E) et
qui s'annule en t?
On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l'intervalle ]0 ; +00[, vérifiant la
condition (E):pour tout nombre réel xstrictement positif, xf'(x) -f(x) =x2e2X•
1. Une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +00[, vérifie la condition (E),alors la fonction gdéfinie
sur l'intervalle]O; +oo[ par g(x) =f(x) vérifie, pour tout xde]O ; +00[:
x
(f(X))' xf'(x)-f(x) x2e2x •
g' (x) = -- = ----- - -- = e2x
xx2 x2
2. Ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle [0; +oo[ qui vérifient la condition (E):
12f(~ 1
fvérifie E =g/(x) =e2X =g(x) =-e x+k= -- =f(x) =_xe2X +kx avec kE:IR
2x2
Réciproquement:
3. Fonction hdéfinie et dérivable sur l'intervalle ]0; +oo[vérifiant la condition (E)et s'annulant en ~ :
2

EXERCICE 4 - Commun àtous les élèves
7noints
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A :
Soit n un entier naturel.
1.41.2
0.80.6
-------
"""---------------------
0.40.2o
o
-0.2-0.4
''-
0.41
".....
co
,
"-
,,.....
,"-
"- --.
"- "- --.
0.2-1
"
"-
--.
,,
-nx
On note fn, la fonction définie sur l'ensemble IR des nombres réels par: fn(x)=~ l+e
On note Cnla courbe représentative de fndans un repère orthogonal (0; i;3) . Les courbes co' CI' C2et
C3sont représentées ci-dessous :
'C2 \C3
,\\
'\ \
'\ "
'\ \\
'\ \ 0.8
'\ \
,'
,\
,'
,1),6
~
L'objet de cette partie est l'étude de quelques propriétés des fonctions f net des courbes Cn •
1. Démontrer que pour tout entier naturel nles courbes Cnont un point A en commun. On précisera
ses coordonnées.
2. Étude de la fonction f0 •
a. Étudier le sens de variation de f0 •
b. Préciser les limites de la fonction f0en -00 et + 00. Interpréter graphiquement ces limites.
c. Dresser le tableau de variation de fonction f0sur IR.
3. Étude de la fonction fi'
a. Démontrer que f0(x) =fi (- x) pour tout nombre réel x.
b. En déduire les limites de la fonction fi en -00 et +00, ainsi que son sens de variation.
c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes Co et CI .
4. Étude de la fonction fnpour n~2 .
1
a. Vérifier que pour tout entier naturel n~2 etpourtoutnombreréel x, ona :fn(x)=-nx--(n-I)x'
e +e
b. Étudier les limites de la fonction fnen - 00 et en +00.
c. Calculer la dérivée fn' (x) et dresser le tableau de variations de la fonction fnsur IR.
Partie B:
Résoudre l'équation différentielle y'+2y=6 et déterminer la solution fvérifiant la condition initiale
y(O)=1.
5

EXERCICE4
Commun àtous les candidats
PartieA:
1.
eO 1
11ùel que soit ne:N, fn (0) =--0 = -.
'JI. l+e 2
Toutes les courbes <€
ncontiennent le point (0, ~).
2. Étude de la fonction fo
1
a. "0 (x) =--x'
JI l+e- _e-x e-x
Cette fonction est dérivable sur IR et f~(x) = - 2=2 •
(1+e-X) (1+e-X)
Comme e-x >0et (1+e-x)2 >~on en déduit que f~(x) >o.
Lafonction Jo est donc croissante sur IR.
b. On sait que lim eX =O. Donc lim e-x =+00.
~~ ~~ .. ~
Donc Hm fo(x) =O. Ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote hC"l'\C.) h:Je.
~~ v
à la courbe <€ofJtI,., _ 0lJ·
On sait que lim e-x =0, donc lim fo(x)=1.
x-+oo x-+oo
Ceci signifie que la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale à
la courbe <€o ~ +,. .
c. Tableau très simple: sur IR, fo crott de 0à 1.
3. Étude de la fonction fI
eX 1
a. On a fI(-x) = -- = -- = fo (x) en multipliant chaque terme par
1+ex e-x +1
le facteur non nul e-x.
b. On a Hm fi (-x) =lim fI(x)=lim fo(x)=1
X-+oo x--oo -x-+oo
Demême lim fl(-X)= lim !I(x)= lim fo(x)=0.
x--oo x-+oo X--OO \ 1 1
Commefo(x)=fI (-x),.p()J.,( itau.1~O 1'lL) lM eL ~ 1-1h~::{o(-"') 01.10\.\. 1-\('\}:: - ~,l-~,
~ tA\' ~ ~w.lr ~~I,.: ~ pl\\.û tw wl')L 1,~ .tQ. • Clll\~1{4 W&iU'~\\M.k 'WI(
c. fo (x) =fI(-x) signifi~ que deux points d'abscis:l~ et 'CI ont la
même ordonnée: ces points sont symétriques autour de (Oy).
'Coet 'CI sont symétriques autour de l'axe des ordonnées.
4. Étude de la fonction fn pour n~2
-nx 1
a. fn (x) =_e__ .En multipliant chaque terme par enx >0, fn (x) = ---( 1) •
1+e-x enx +en- X
b. Pour P~2, lim ePx =+00, donc en utilisant l'écriture du a., lim fn (x) =
x-+oo X-+oo
O••••• (1 •
Limite en -00: lim enx =0et lim e(n-I)X=0donc par limite de ,'fi. t4o\ M.~A.W\r "~kr)X--oo X--OO 1r
l'inverse: ltrrL, f} fît) ~4- f;.;;, •
,1) ....:, ••• ,~" -q- (\
c. fn quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car
enx +e<n-l)x >O.
En utilisant l'écriture trouvée au début de la question:
nenx +(n _l)e(n-I)X
f~(x)=--------.
(enx + e(n-I)Xf
Comme n~2, cette dérivée est négative quel que soit xréel. Les fonc-
tions (fn, n~2) sont donc décroissantes de +00 à O.

Exercice 4
Partie B
On a y1+2y=6<=> Y1= - 2Y+6 .
Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme f(x) =ke -2x - _62=ke-2x +3 où kse
détermine à l'aide de la condition initiale f(0) =1 , qui s'écrit k+3=1 ou k=- 2 .
La fonction cherchée est donc définie sur IR par f(x) =- 2 e-2x +3 .