1 «Enroulement» de la droite R sur le cercle trigonomé

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Brevet de trigonométrie
La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle. Les
fonctions cosinus, sinus et tangente y jouent un rôle fondamental. Beaucoup de formules sont à
connaître, mais la plupart peuvent se retrouver, notamment en «lisant sur le cercle trigonomé-
trique».
1 «Enroulement» de la droite Rsur le cercle trigonomé-
trique
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, −→ u , −→ v). Le cercle trigonométrique noté C
est le cercle de centre Oet de rayon 1. Si Mest un point de Cd’angle polaire θ(mesuré en radians),
c’est-à-dire (−→ u , −−→ OM) = θ, les coordonnées du point Msont (cos θ, sin θ).
On en déduit par le théorème que pour tout x∈R, on a cos2+ sin2x= 1.
Les relations suivantes se lisent sur le cercle trigonométrique : soit x∈R,
– cos(x+ 2π) =
– cos(−x) =
– cos(x+π) =
– cos(x−π) =
– cos(x+π
2) =
– cos(π
2−x) =
Il faut connaître les valeurs remarquables de cos, sin et tan :
x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos x
sin x
tan x
2 Graphe des fonctions cosinus et sinus
Lire les variations des fonctions cosinus et sinus sur le cercle et en déduire l’allure de leur graphe.
3 Formules d’addition
La relation ei(a+b)= eiaeib entre nombres complexes se retient facilement. En identifiant les
parties réelles (resp. imaginaires), on retrouve alors les formules d’addition du cosinus (resp. de
sinus).
cos(a+b) = (1)
cos(a−b) = cos(a+ (−b)) = (2)
sin(a+b) = (3)
sin(a−b) = (4)

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On en déduit facilement les formules de duplication suivantes :
cos(2x) = (5)
sin(2x) = (6)
4 Formules de linéarisation : transformer un produit en une
somme
Comment calculer les intégrales suivantes :
Z
π
2
0
cos xdx, Z
π
2
0
cos2xdx, Z
π
2
0
cos xsin xdx, Z
π
2
0
cos 3xcos 2xdx?
Pour la deuxième, la difficulté est qu’on ne connaît pas de primitive de cos2. Comme il est plus
simple d’intégrer une somme qu’un produit, l’idée est de transformer le produit cos2en somme (on
linéarise) : pour cela il suffit «d’inverser» la formule de duplication du cos.
cos2x=
Pour la troisième, on peut au choix trouver une primitive ou «inverser» la formule de duplication
du sin.
Pour la quatrième, on linéarise cos acos ben additionnant les formules d’addition (1) et (2)
cos acos b= (7)
cos asin b= (8)
sin asin b= (9)
Ces formules de linéarisation peuvent s’«inverser», c’est à dire exprimer une somme de cos ou
de sin comme un produit de cos ou de sin :
cos p+ cos q= (10)
sin p+ sin q= (11)
cos p−cos q= (12)
Il faut pour cela poser p=a+bet q=a−bdans les formules d’addition.
5 Équations trigonométriques
Les relations suivantes se lisent sur le cercle et doivent donc vous paraître naturelles :
cos a= cos b⇔(a=bmod 2π) ou (a=−bmod 2π) (13)
sin a= sin b⇔(a=bmod 2π) ou (a=π−bmod 2π) (14)
Et pour l’équation cos a= sin b? Et bien on se ramène à l’un des cas précédents en utilisant
par exemple que sin b= cos(π
2−b).
6 Plus tard, dans le chapitre «de nouvelles fonctions usuelles»
Étude de la fonction tangente, sa formule d’addition et acos t+bsin t=Acos(t−φ).