1 «Enroulement» de la droite R sur le cercle trigonomé

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci
Brevet de trigonométrie
La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle. Les
fonctions cosinus, sinus et tangente y jouent un rôle fondamental. Beaucoup de formules sont à
connaître, mais la plupart peuvent se retrouver, notamment en «lisant sur le cercle trigonométrique».
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«Enroulement» de la droite R sur le cercle trigonométrique
→
→
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, −
u,−
v ). Le cercle trigonométrique noté C
est le cercle de centre O et de rayon 1. Si M est un point de C d’angle polaire θ (mesuré en radians),
−−→
→
c’est-à-dire (−
u , OM ) = θ, les coordonnées du point M sont (cos θ, sin θ).
On en déduit par le théorème
que pour tout x ∈ R, on a cos2 + sin2 x = 1.
Les relations suivantes se lisent sur le cercle trigonométrique : soit x ∈ R,
–
–
–
–
–
–
cos(x + 2π) =
cos(−x) =
cos(x + π) =
cos(x − π) =
cos(x + π2 ) =
cos( π2 − x) =
x
0
cos x
Il faut connaître les valeurs remarquables de cos, sin et tan :
sin x
tan x
2
π
6
π
4
π
3
π
2
Graphe des fonctions cosinus et sinus
Lire les variations des fonctions cosinus et sinus sur le cercle et en déduire l’allure de leur graphe.
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Formules d’addition
La relation ei(a+b) = eia eib entre nombres complexes se retient facilement. En identifiant les
parties réelles (resp. imaginaires), on retrouve alors les formules d’addition du cosinus (resp. de
sinus).
cos(a + b)
=
cos(a − b)
sin(a + b)
=
=
sin(a − b)
=
(1)
cos(a + (−b)) =
(2)
(3)
(4)
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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci
On en déduit facilement les formules de duplication suivantes :
cos(2x)
sin(2x)
4
=
=
(5)
(6)
Formules de linéarisation : transformer un produit en une
somme
Comment calculer les intégrales suivantes :
Z
0
π
2
cos x dx,
Z
π
2
2
cos x dx,
0
Z
π
2
cos x sin x dx,
0
Z
π
2
cos 3x cos 2x dx?
0
Pour la deuxième, la difficulté est qu’on ne connaît pas de primitive de cos2 . Comme il est plus
simple d’intégrer une somme qu’un produit, l’idée est de transformer le produit cos2 en somme (on
linéarise) : pour cela il suffit «d’inverser» la formule de duplication du cos.
cos2 x =
Pour la troisième, on peut au choix trouver une primitive ou «inverser» la formule de duplication
du sin.
Pour la quatrième, on linéarise cos a cos b en additionnant les formules d’addition (1) et (2)
cos a cos b
=
(7)
cos a sin b
sin a sin b
=
=
(8)
(9)
Ces formules de linéarisation peuvent s’«inverser», c’est à dire exprimer une somme de cos ou
de sin comme un produit de cos ou de sin :
cos p + cos q
sin p + sin q
cos p − cos q
=
=
=
(10)
(11)
(12)
Il faut pour cela poser p = a + b et q = a − b dans les formules d’addition.
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Équations trigonométriques
Les relations suivantes se lisent sur le cercle et doivent donc vous paraître naturelles :
cos a = cos b
sin a = sin b
⇔
⇔
(a = b
(a = b
mod 2π)
mod 2π)
ou
ou
(a = −b mod 2π)
(a = π − b mod 2π)
(13)
(14)
Et pour l’équation cos a = sin b ? Et bien on se ramène à l’un des cas précédents en utilisant
π
par exemple que sin b = cos( − b).
2
6
Plus tard, dans le chapitre «de nouvelles fonctions usuelles»
Étude de la fonction tangente, sa formule d’addition et a cos t + b sin t = A cos(t − φ).