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chapitre 1 Polynômes degré 2 I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « … chapitre 1 Polynômes degré 2 I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. chapitre 1 Polynômes degré 2 I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré … chapitre 1 Polynômes degré 2 I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), chapitre 1 Polynômes degré 2 I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré … chapitre 1 Polynômes degré 2 I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré 1 mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré … chapitre 1 Polynômes degré 2 I Définition : Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré 1 mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré 0 f(x) = p = 0 x1 + p x0 chapitre 1 Polynômes I Définition : degré 2 Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré 1 mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré 0 f(x) = p = 0 x1 + p x0 a ≠ 0 car sinon f est … chapitre 1 Polynômes I Définition : degré 2 Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré 1 mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré 0 f(x) = p = 0 x1 + p x0 a ≠ 0 car sinon f est une fonction affine : f(x) = ax² + bx + c = 0x² + bx + c = bx + c chapitre 1 Polynômes I Définition : degré 2 Ils sont définis par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré 1 mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré 0 f(x) = p = 0 x1 + p x0 a ≠ 0 car sinon f est une fonction affine : f(x) = ax² + bx + c = 0x² + bx + c = bx + c Un trinôme est un polynôme de degré 2. II Courbes : 1°) Recherche à la calculatrice graphique : Tracez les courbes des fonctions suivantes : 4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – 34 - 9x² - 6x – 1 2x² + 4x + 4 - 3x² + 9x + 3 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ? 2°) Les courbes des fonctions polynômes degré 2 semblent se ranger en combien de catégories ? selon quel critère ? Pour un écran de – 5 à 5 en X et de – 20 à 20 en Y 4x² - 4x + 1 - 9x² - 6x – 1 x² + 5x – 9 2x² + 4x + 4 - 2x² + 16x – 34 - 3x² + 9x + 3 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ? Les 6 courbes sont des paraboles. Pour un écran de – 5 à 5 en X et de – 20 à 20 en Y Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie, Pour un écran de – 5 à 5 en X et de – 20 à 20 en Y Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie, ni les mêmes sommets. 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ? Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles sont orientées vers le haut ou le bas : 4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – 34 - 9x² - 6x – 1 2x² + 4x + 4 - 3x² + 9x + 3 selon … 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ? Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles sont orientées vers le haut ou le bas : 4x² - 4x + 1 1x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – 34 - 9x² - 6x – 1 2x² + 4x + 4 - 3x² + 9x + 3 selon le signe de a Elles croisent l’axe des x en : combien de points ? Elles croisent l’axe des x en : 0 point Elles croisent l’axe des x en : 0 point 1 point Elles croisent l’axe des x en : 0 point 1 point 2 points 2°) Propriétés : Ce sont des paraboles, comme pour la fonction carré, car : la transformation qui permet de passer de la fonction carré y = x² à une fonction polynôme degré 2 y = ax² + bx + c est une transformation qui a … 2°) Propriétés : Ce sont des paraboles, comme pour la fonction carré, car : la transformation qui permet de passer de la fonction carré y = x² à une fonction polynôme degré 2 y = ax² + bx + c est une transformation qui a conservé la forme de la parabole de la fonction carré ( elle l’a agrandie ou rétrécie, lui a fait changé son orientation ou pas, mais n’a pas changé sa forme ). Démonstration : y = ax² + bx + c y = a ( x² + … x ) + c Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + x)+c a Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 … x ) + c a Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a x)+c 2a Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a 2a b = a x² + 2 ² x+ 2a x)+c= … ² - … +c Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a 2a b = a x² + 2 b ² x+ 2a x)+c= b ² - 2a +c 2a Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a 2a b = a x² + 2 b ² x+ 2a x)+c= b ² - 2a +c=a 2a ² b ² x+… +c 2a Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a 2a b = a x² + 2 b ² x+ 2a x)+c= b ² - 2a +c=a 2a b ² b ² x+ +c 2a 2a Démonstration : y = ax² + bx + c b b y = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 a b = a x² + 2 - 2a b ² =a x+ 2a 2a 2a b ² b ² x+ … x)+c= +c=a 2a +c b ² b ² x+ 2a 2a +c Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a b b ² x)+c= 2a b ² b ² b ² = a x² + 2 x+ +c=a x+ 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² =a x+ -a + c donc y + a -c= … 2a 2a 2a +c Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a b b ² x)+c= 2a b ² b ² b ² = a x² + 2 x+ +c=a x+ 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² b ² =a x+ -a + c donc y + a -c=a x+ 2a 2a 2a 2a Changement de variables : Y = … et X = … +c Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a b b ² x)+c= 2a b ² b ² b ² = a x² + 2 x+ +c=a x+ 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² b ² =a x+ -a + c donc y + a -c=a x+ 2a 2a 2a 2a b ² b Changement de variables : Y = y + a - c et X = x + 2a 2a On a donc Y = … au lieu de y = x² +c Démonstration : y = ax² + bx + c b y = a ( x² + b x ) + c = a ( x² + 2 a b b ² x)+c= 2a b ² b ² b ² = a x² + 2 x+ +c=a x+ 2a 2a 2a 2a 2a b ² b ² b ² b ² =a x+ -a + c donc y + a -c=a x+ 2a 2a 2a 2a b ² b Changement de variables : Y = y + a - c et X = x + 2a 2a On a donc Y = a X² au lieu de y = x² +c Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a) X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, y = x² 0 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a) X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) y = x² -b/(2a) 0 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a) X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² -b/(2a) 0 -b/(2a) 0 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a) X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² y=ax²+bx+c -b/(2a) 0 -b/(2a) 0 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a) X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² Y =a X² a > 0 0 -b/(2a) 0 On a donc une nouvelle parabole mais dans un nouveau repère Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a) X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² Y =a X² a > 0 -b/(2a) 0 a fixe l’orientation de la parabole -b/(2a) 0 a<0 Y = a X² avec Y = y + a (b/(2a))² - c et X = x + b/(2a) X = x + b/(2a) donne la translation de l’axe de symétrie x = 0 pour la fonction carré, et X = 0 pour x + b/(2a) = 0 donc x = - b/(2a) Y = y + a (b/(2a))² - c donne la translation en hauteur du sommet y = x² Y =a X² a > 0 -b/(2a) 0 -b/(2a) 0 a<0 a fixe l’orientation de la parabole et son « épanouissement » |a|< 1 ou |a| > 1 Résumé : P(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0 Sa courbe est une parabole, elle est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 La parabole est symétrique par rapport à la droite d’équation x = - b/(2a) Son sommet est le point de coordonnées ( - b/(2a) ; f(- b/(2a)) ) P(x) = ax² + bx + c est la forme développée. b ² b ² P(x) = a x + -a +c est sa forme canonique. 2a 2a ( une expression où la variable n’est écrite qu’une seule fois ).
