2 CHAPITRE 2

36
2. Espace de probabilité fini équilibré
Espace de probabilités fini équilibré (résumé)....................................................37
Espace de probabilités fini équilibré (définition)................................................38
Le modèle de Maxwell-Boltzmann.....................................................................39
Les rangements de n objets discernables dans p boites ......................................40
On fixe le nombre des antécédents d’un élément................................................41
Quatre situations modélisées par des applications..............................................42
Le modèle de Bose-Einstein................................................................................43
Les répartitions d’objets indiscernables dans des boites.....................................44
Les rangements qui laissent un nombre fixé de boites vides..............................45
Le modèle de Fermi-Dirac ..................................................................................46
Les probabilités équilibrées selon les trois modèles de la physique...................47
Le paradoxe du Chevalier de Méré.....................................................................48
Visualisation du Paradoxe du Chevalier de Méré...............................................49

37
Espace de probabilités fini équilibré (résumé)
Si
Ω
est un ensemble fini
(
)
P),(Parties,
Ω
Ω
est un espace de probabilités fini
équilibré lorsque pour .
)(card )A(card
)A(P:A Ω =Ω⊂
Le modèle de Maxwell-Boltzmann
E est ensemble fini. F est un ensemble fini. L’ensemble
Ω
est l’ensemble des
applications
.
F
E
→
P est la probabilité équilibrée sur
.
Ω
==Ω )départ(card
)arrivée(card
)E(card
)F(card)(card
Si
p
)
F
(
card
et
n
)
E
(
card
=
=
les rangements de n objets discernables dans p
boites correspondent aux applications
E
(
F
E
:
f
→
est l’ensemble des objets F est
l’ensemble des boites).
Le modèle de Bose-Einstein
On range n objets indiscernables dans p boites,
Ω
est l’ensemble de tous ces
rangements possibles.
Il existe n1pn C
1p 1pn
C−+ =
−
−+ rangements de n objets indiscernables dans p
boites (un tel rangement peut être envisagé comme la répartition de n pièces de 1
euro parmi p personnes : les pièces sont indiscernables).
Le modèle de Fermi-Dirac
On range n objets indiscernables dans p boites, avec au plus un seul objet par
boite (il faut
,
)
p
n
≤
Ω
est l’ensemble de tous ces rangements possibles.
Il existe n
p
C rangements de n objets indiscernables dans p boites avec au plus
un seul objet par boite (c’est le nombre de manières de distribuer n pièces de 1
euros parmi p personnes chaque personne ne pouvant recevoir plus que 1 euro).
Le paradoxe du Chevalier de Méré
Lorsque 3 dés sont lancés, il y a la même probabilité d’obtenir 11 que d’obtenir
12. Cette affirmation est contredite par l’analyse de la situation.

38
Espace de probabilités fini équilibré (définition)
1)
Ω
est un ensemble fini
2) pour )(card )A(card )A(P:A Ω =Ω⊂
Lorsque 1), 2) sont vérifiée
(
)
P,)(Parties,
Ω
Ω
est un espace de probabilités fini
équilibré, c’est « l’espace de probabilités équilibré associé à
Ω
ΩΩ
Ω
».
Toute partie de
Ω
est un événement.
Vocabulaire On dit que P est la probabilité équilibrée sur
.
Ω
•
On dit souvent que « les choix sont faits au hasard ».
Remarque Si
Ω
∈
ω
alors
{
}
ω
est un événement puisque
{
}
)(Parties
Ω
∈
ω
et :
{ }( )
)(card
1
PΩ =ω
Vocabulaire Lorsque
,
Ω
∈
ω
{
}
ω
s’appelle « un événement élémentaire ».
S’il n’y a pas d’ambiguïté on désigne souvent
{
}
(
)
ω
P par
.
)
(
P
ω
•
On vérifie facilement que )(card )A(card )A(P Ω =définit bien une probabilité, en
particulier
(
)
(
)
(
)
BPAPBAP
+
=
∪
lorsque
φ
=
∩
B
A
puisque :
.
B
A
si
)
B
(
card
)
A
(
card
)
B
A
(
card
φ
=
∩
+
=
∪
Propriété évidente
Dans un espace de probabilités fini équilibré, la somme des probabilités des
événements élémentaires est égale à 1.
Exercice
1)
E
E
×
=
Ω
avec
;
n
)
E
(
card
=
(
)
{
}
.baEbetEa/b,aA
≠
∈
∈
=
Vérifier que pour la probabilité équilibrée P sur .
n
1n
)A(P:
−
=Ω
2)
(
)
{
}
{
}
{
}
{
}
.3,2,1c3,2,1b3,2,1a/c,b,a
∈
∈
∈
=
Ω
P est la probabilité équilibrée
sur
Ω
(
)
{
}
.4cba/c,b,aBetA.
=
+
+
=
Ω
⊂
Calculer
).
B
(
P
Réponses 1) .
n1n
2
n
)1n(n
et)1n(nn
2
n)A(card
2
n)(card
−
=
−
−=−==Ω
2)
9
1
)B(P =
111 122 133 112 121 113 131 123 132
211 222 233 212 221 213 231 223 232
311 322 333 312 321 313 331 323 332

39
Le modèle de Maxwell-Boltzmann
1) E est ensemble fini. F est un ensemble fini. 2)
Ω
est l’ensemble des
applications
.
F
E
→
3) P est la probabilité équilibrée sur
.
Ω
Rappel
1)
E
F=Ω est l’ensemble des applications
.
F
E
→
2) Le nombre des éléments
Ω
de
est .
)E(card
)F(card)(card =Ω
3) Si
Ω
⊂
A
alors .
)(card )A(card
)A(P Ω = Si
Ω
∈
ω
alors
{ }( )
)(card
1
PΩ =ω
Exemple
E est composé de n éléments, F est composé de p éléments.
L’ensemble E F=Ω des applications de E vers F est composé n pde éléments.
Si
Ω
∈
ω
alors { }( )
n
p
1
P=ω
Application à la physique
On considère la répartition de certaines particules (photons, électrons,
...
) dans
« l’espace des phases » qui est un espace à K dimensions (chaque particule est
caractérisée par K données numériques).
Le modèle de Maxwell-Boltzmann pour la physique
Un système physique est modélisé par :
1) Un ensemble fini E de particules.
2) L’ensemble PHASE qui désigne l’espace des phases de ces particules.
3) Il existe une partition finie de l’ensemble PHASE. F est l’ensemble des
éléments de cette partition.
Un état du système est la donnée d’une application
F
E
f
→
→→
→
:
•
A chaque particule
E
a
∈
il correspond la partie
F
)
a
(
f
∈
dans laquelle se
trouve le point de PHASE donné par les K caractéristiques de la particule a.
Pour un ensemble E de n particules si l’espace des phases est partitionné en un
ensemble F de p éléments, il y a n p états possibles du système.
Chaque état admet la même probabilité .
n
p
1
:
Exercice .
E
F,p)F(car,n)E(card =Ω== P est la probabilité équilibrée sur
.
Ω
Si { } y)x(fetEx/x)y(
1
fFalorsE:fetFy =∈=
−
→∈ (l’ensemble des
antécédents de y par f).
{
}
).B(Pdonner)b(
1
f,FE:f/fBetFb φ=
−
→=∈ Réponse
n
p1p 
−

40
Les rangements de n objets discernables dans p boites
E et F sont des ensembles finis tels que :
.p)F(card,n)E(card ==
•
E correspond à un ensemble d’objets (par exemple: des particules), F
correspond à un ensemble de boites (par exemple : les éléments d’une partition
finie de l’espace des phases).
Chaque objet de E est rangé dans une boite de F. Un tel rangement est
complètement déterminé par une application
:
F
E
:
f
→
1
•
si
E
a
∈
alors
F
)
a
(
f
∈
est la boite dans laquelle est rangé l’objet a.
2
•
si
F
v
∈
alors E)v(
1
f⊂
−
est l’ensemble des objets rangés dans la boite v.
Rappel E et F sont des ensembles finis donc )E(card )F(card
E
Fcard =
L’ensemble des applications
F
E
→
est noté
.
E
F
Propriété Il existe n p rangement possibles de n objets dans p boites.
boites3dans
rangés
objets
3
I II III
1 123
2 123
3 123
4 1 23
5 2 13
6 3 12
7 1 23
8 2 13
9 3 12
10 1 23
11 2 13
12 3 12
13 23 1
14 13 2
15 12 3
16 23 1
17 13 2
18 12 3
19 23 1
20 13 2
21 12 3
22 1 2 3
23 1 3 2
24 2 1 3
25 2 3 1
26 3 1 2
27 3 2 1
Exercice Quelle est la probabilité pour qu’une boite contienne au plus 1 objet
quand 3 objets sont rangés au hasard dans 6 boites ? Réponse
55555
,
0
≈
1) E F=Ω est l’ensemble de tous les rangements possibles des
objets de E dans les boites de F.
2) Il existe n p rangements possibles.
3) Pour l’espace de probabilités équilibré
)
P
,
T
,
(
Ω
la probabilité
de chaque rangement est .
n
p
1
Rangements particuliers
Il existe
)
1
n
p
)....(
1
p
(
p
+
−
−
rangements tels que chaque boite
contienne au plus 1 objet (un tel rangement est une injection
).
F
E
→
Rappel )!np( !p )1np)....(1p(p − =+−−
(Les rangements 22 à 27 de 3 objets dans 3 boites)
Probabilité pour que chaque boite contienne au plus 1 objet :
.
n
p
)1np)....(1p(p
)!np(
n
p
!p
+
−
−
=
−
Remarque Si le nombre d’objets est le même que le nombre de
boites si chaque boite contient au plus un objet, chaque boite
contient 1 objet (toute injection équivaut à une surjection).