Mathématiques Trigonométrie Le cercle trigonométrique I Degrés et

Le cercle trigonométrique I
• On se donne un système d’axes orthonormés du plan, d’origine O et
d’axes (gradués) x et y ;
• Le cercle trigonométrique est cercle de rayon 1, centré à l’origine O;
y
Mathématiques
P
1
B0
O
Trigonométrie
C0
α
C
α
A x
B
0
A
Pierre Mathonet
[ permet de définir un point P sur le cercle
Tout angle orienté ABC
trigonométrique, et vice versa.
Attention : les angles sont orientés.
Département de Mathématique
Faculté des Sciences
Liège, printemps 2016
2
P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
• On a donc une correspondance (imparfaite) amplitude - point -
Degrés et radians
longueur d’arc;
• Le périmètre du cercle est 2π, et correspond à 360 degrés;
• Les grandeurs “longueur d’arc” (en radians) et “amplitude” (en
degrés) sont directement proportionnelles.
• On obtient donc :
y
• Nous avons associé à chaque amplitude α (en degrés) un point P
sur le cercle trigonométrique.
• Ce point peut aussi être repéré par la longueur d’arc parcourue
(également notée α), entre le point E1 définissant le repère et le
point P;
• Cette longueur d’arc est comptée positivement si on suit le sens
trigonométrique positif et négativement sinon.
y
π
2
π
4
π
6
E2
π
1
π
3
O
P(α)
0
2π x
α
O
α
E1
x
3π
2
Dans la suite, nous donnerons un angle par un nombre de degrés ou
un nombre de radians, sans que cela crée de confusion.
4
3
P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
Nombres trigonométriques, définitions I
Nombres trigonométriques, définitions II
Soit α l’amplitude d’un angle exprimée en radians ou en degrés. Par
définition, les coordonnées du point P correspondant du cercle
trigonométrique sont
(cos(α), sin(α)).
On définit la tangente et cotangente de α par
On a donc
Bien sûr, ces nombres ne sont définis que si le dénominateur est non nul :
y
tg (α) =
y
1
P(α)
α
cos(α)
1
x
Attention, cos(α) et sin(α) sont des coordonnées et non des longueurs :
ce sont des nombres éventuellement négatifs, compris entre −1 et 1.
cotg (α)
tg (α)
α
x
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Premières propriétés I
Premières propriétés II
Proposition (Relation fondamentale)
Proposition (Angles opposés)
Pour tout α ∈ R, on a la relation fondamentale :
Pour tout α ∈ R, on a
cos(2π − α) = cos(−α) = cos(α)
et
sin(2π − α) = sin(−α) = − sin(α).
Proposition (Angles supplémentaires)
Proposition (2π-Périodicité)
Pour tout α ∈ R, on a
Pour tout α ∈ R, on a
cos(α + 2π) = cos(α)
et
cos(π − α) = − cos(α)
sin(α + 2π) = sin(α).
et
sin(π − α) = sin(α).
Proposition (Angles antisupplémentaires)
En général, pour tout k ∈ Z, on a
cos(α + 2kπ) = cos(α)
et
Pour tout α ∈ R, on a
sin(α + 2kπ) = sin(α).
cos(π + α) = − cos(α)
De même, on a
tg (α + 2kπ) = tg (α)
x
6
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cos2 (α) + sin2 (α) = 1.
7
cos(α)
.
sin(α)
On peut les représenter de manière géométrique.
y
y
P(α)
α
α
5
et cotg (α) =
• tg (α) est défini pour α ∈ R \ { π2 + kπ : k ∈ Z};
• cotg (α) est défini pour α ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}.
sin(α)
x
sin(α)
,
cos(α)
et
cotg (α + 2kπ) = cotg (α).
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et donc tg (α + kπ) = tg (α)
et
et
sin(π + α) = − sin(α),
cotg (α + kπ) = cotg (α), pour tout k ∈ Z.
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Une bonne nouvelle : cela se voit
Relations dans les triangles rectangles
Ces résultats sont dus aux symétries de la figure suivantes, qui préservent
les longueurs.
Attention, on parle ici de longueurs, et d’angles non orientés, compris
entre 0 et 90 degrés (car on a des triangles rectangles).
1
π
2
π−α
1
α
Mais le triangle obtenu en multipliant toutes les dimensions du triangle
précédent par un nombre positif a est semblable à celui-ci et a donc les
mêmes angles :
0
π
2π − α ' −α
π+α
a
α
3π
2
9
Utilité : Ramener l’étude des nombres trigonométriques aux angles entre
0 et π2 .
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α
a sin(α)
a cos(α)
Les rapports entre les longueurs des côtés sont donc les mêmes que dans
le cas précédent.
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Angles complémentaires
B
A
sin(α)
α
cos(α)
Les relations dans les triangles rectangles, ainsi que la figure qui suit
donnent la relation qui lie sinus et cosinus des angles complémentaires.
y
C
π
2
−α
On a alors les relations suivantes (avec la notation introduite plus haut
pour la distance)
11
AC
BC
BC
= cos(α),
= sin(α),
= tg (α).
AB
AB
AC
que l’on peut retenir par
• “sinus=côté opposé sur hypoténuse” (le sinus est si loin);
• “cosinus=côté adjacent sur hypoténuse” (le cosinus est collé);
• “tangente =côté opposé sur côté adjacent”;
• ou encore “S.O.H.C.A.H.T.O.A”.
Cependant, il est préférable de tracer le cercle trigonométrique et d’y
placer un triangle semblable à celui considéré, plutôt que de mémoriser
des sigles qui perdent vite leur sens.
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α
x
On a donc pour tout α ∈ R :
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cos(
π
− α) = sin(α),
2
et
sin(
π
− α) = cos(α).
2
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• Les valeurs en 0 et en π2 découlent directement de la définition.
• Les valeurs du cosinus et du sinus en π3 et π6 se correspondent via la
Valeurs particulières
A l’aide des identités que nous venons de démontrer, on peut toujours se
ramener à un angle compris entre 0 et π2 . Certains angles sont
fréquemment utilisés. Voici les valeurs des nombres trigonométriques
correspondants.
proposition précédente. Elle peuvent être déterminées en utilisant
des triangles équilatéraux.
Proposition
π
3
On a le tableau de valeurs suivant.
α
sin(α)
cos(α)
tg(α)
cotg(α)
π
6
π
0
6
0 √12
1 √23
3
0
√3
−
3
π
√4
2
√2
2
2
1
1
π
√3
3
2
1
√2
√
3
3
3
π
2
1
0
−
0
• Il est utile de les retenir par coeur.
• Cependant, on peut toujours les retrouver en traçant le cercle
trigonométrique, comme indiqué ci-après.
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• Vu que les hauteurs d’un triangle équilatéral sont aussi ses médianes,
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Enfin pour les valeurs correspondant à l’angle π4 , on utilise triangle
isocèle, et on utilise la relation fondamentale :
Formules d’addition
Proposition
π
2
Pour tous nombres réels α et β, on a
π
4
1
1
2
0
π
on obtient directement sin( π6 ) = 12 et par la relation fondamentale
√
cos2 ( π6 ) = 1 − 14 = 34 . Puisque cos( π6 ) > 0, on voit qu’il vaut 23 .
• On peut faire de même pour les valeurs en π3 bien que ce ne soit pas
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nécessaire.
3
4
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β);
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β);
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β);
sin(α − β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β).
• Il suffit de retenir une formule, car les autres s’en déduisent (mais on
peut retenir les quatre si on a une bonne mémoire).
• Pour avoir par exemple la deuxième à partir de la première, on y
3π
2
On a en effet
et
15
remplace β par −β;
• Pour avoir la troisième, on écrit sin(α + β) = cos( π2 − (α + β));
• On retient “cosinus d’une somme :cos cos -sin sin”;
• Si on hésite sur le signe, on prend un exemple simple comme
π
π
cos( ) = sin( ),
4
4
π
π
cos2 ( ) + sin2 ( ) = 1.
4
4
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α=β=
π
4.
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Formules de duplication
L’arc cosinus
Comme cas particulier des formules d’addition, on obtient les formules de
duplication (pour sinus et cosinus)
Definition
Pour tout nombre a ∈ [−1, 1], il existe un unique nombre α ∈ [0, π] tel
que cos(α) = a. Ce nombre est appelé arccos(a).
y
y
Proposition
Pour tout α ∈ R, on a
cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α) et
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α).
1
En utilisant la relation fondamentale, on obtient en plus ces formules-ci :
α
0
cos(α)
π
Proposition
2 cos2 (α) = 1 + cos(2α) et 2 sin2 (α) = 1 − cos(2α).
Exemples académiques : calcul de cos(15◦ ), calcul de cos(165◦ ), calcul
de cos(22, 5◦ ), calcul de sin(22, 5◦ )
17
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x
π
a
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L’arc sinus
L’arc tangente
sin(α)
α
0
1
Pour tout nombre a ∈ R, il existe un unique nombre α ∈] − π2 , π2 [ tel que
tg (α) = a. Ce nombre est appelé arctg(a).
π
2
a
x
y
arcsin(a)
1
− π2
0
x
y
π
2
tg (α)
α
1
0
x
π
2
1
0
arctan(u)
− π2
La fonction arc sinus a les propriétés suivantes.
• On a sin(arcsin x ) = x , ∀x ∈ [−1, 1];
• On a arcsin(sin x ) = x , ∀x ∈ [− π2 , π2 ];
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x
Definition
Pour tout nombre a ∈ [−1, 1], il existe un unique nombre α ∈ [− π2 , π2 ] tel
que sin(α) = a. Ce nombre est appelé arcsin(a).
y
y
π
2
0
L’arc cosinus a les propriétés suivantes.
• On a cos(arccos x ) = x , ∀x ∈ [−1, 1];
• On a arccos(cos x ) = x , ∀x ∈ [0, π];
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Definition
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arccos(a)
1
− π2
− π2
20
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u
x
Proposition
Equations trigonométriques
L’équation cos(α) = a admet les solutions suivantes :
Si a ∈
/ [−1, 1], il n’y a pas de solution. Si a ∈ [−1, 1], on a les solutions :
α = arccos(a) + 2kπ, (k ∈ Z),
ou
α = − arccos(a) + 2kπ, (k ∈ Z).
Proposition
L’équation sin(α) = a admet les solutions suivantes :
Si a ∈
/ [−1, 1], il n’y a pas de solution. Si a ∈ [−1, 1], on a les solutions :
α = arcsin(a) + 2kπ, (k ∈ Z),
ou
α = π − arcsin(a) + 2kπ, (k ∈ Z).
Proposition
L’équation tg (α) = a admet les solutions suivantes :
21
α = arctg(a) + 2kπ, (k ∈ Z),
ou
α = π + arctg(a) + 2kπ, (k ∈ Z).
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