Equations différentielles d`ordre 1

BTS M´ ecanique et Automatismes Industriels
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Equations diff´ erentielles
d’ordre 1
Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers, Ann´ ee scolaire 2005 2006

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Equations diff´ erentielles d’ordre 1
1. Introduction
Une ´ equation diff´ erentielle est une ´ equation dont l’inconnue n’est plus un nombre, mais une fonction. Par exemple,
r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle f=f
consiste ` a rechercher toutes les fonctions ´ egales ` a leur d´ eriv´ ee.
Pour des raisons historiques, on pr´ ef` ere noter y, au lieu de f, la fonction inconnue. Ainsi, l’´ equation diff´ erentielle
ci-dessus est habituellement pr´ esent´ ee sous la forme
y=y
2. D´ efinitions – Notations
Dans tout ce paragraphe, a,bet cd´ esignent trois fonctions connues d´ efinies sur un intervalle Ide , et yd´ esigne la
fonction inconnue, d´ efinie et d´ erivable sur l’intervalle I. On suppose de plus que la fonction ane s’annulle pas sur
l’intervalle I(c.` a.d. a(x) = 0 pour tout x I).
Toute ´ equation du type a(x)y(x) + b(x)y(x) = c(x)
est appel´ ee
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equation diff´ erentielle lin´ eaire du premier ordre
. Pour all´ eger l’´ ecriture, on note g´ en´ eralement
(E)a(x)y+b(x)y=c
Une solution particuli` ere de cette ´ equation est une fonction f, d´ erivable sur l’intervalle I, v´ erifiant
a(x)f(x) + b(x)f(x) = c(x)
pour tout xde l’intervalle I. La fonction fest ´ egalement appel´ ee int´ egrale de l’´ equation diff´ erentielle .
R´ esoudre l’´ equationdiff´ erentielle (E), c’est d´ eterminer l’ensemble des fonctions solutions. On dit encore d´ eterminer
la solution g´ en´ erale de l’´ equation (E).
La repr´ esentation graphique d’une solution de cette ´ equation diff´ erentielle est appel´ ee courbe int´ egrale .
L’´ equation diff´ erentielle
(E0)a(x)y+b(x)y= 0
est appel´ ee
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equation sans second membre associ´
ee ` a l’´ equation (E), ou encore
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equation homog` ene associ´ ee ` a
l’´ equation
(E).
3. Les principaux th´ eor` emes
Tout d’abord, le th´ eor` eme pr´ ecisant qu’il n’est pas vain de chercher des solutions.
Th´ eor` eme : existence de solutions
Toute ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire du premier ordre (E) admet une infinit´ e de solutions.
Ensuite le th´ eor` eme qui permet d’imposer ` a la solution de v´ erifier une condition initiale particuli` ere.
Th´ eor` eme : existence et unicit´ e de la solution
Toute ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire du premier ordre (E) admet une solution, et cette solution est
unique si on lui impose en plus de v´ erifier une condition initiale donn´ ee.
Enfin le th´ eor` eme qui permet de d´ ecomposer la recherche des solutions en 2 ´ etapes : recherche d’une solution
particuli` ere de (E) et recherche de la solution g´ en´ erale de l’´ equation homog` ene associ´ ee (E0).
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Equations diff´ erentielles d’ordre 1
Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers
Th´ eor` eme : r´ esolution d’une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire
La solution g´ en´ erale de l’´ equation
(E)a(x)y+b(x)y=c(x)
est obtenue en ajoutant une solution particuli` ere de (E)` a la solution g´ en´ erale de l’´ equation
homog` ene (E0) associ´ ee.
4. R´ esolution de l’´ equation sans second membre
Ceparagraphedonnelam´ ethodeg´ en´ eralepourr´ esoudrel’´ equationsanssecondmembre(E0)danslecasd’une ´ equation
diff´ erentielle lin´ eaire d’ordre 1 ` a coefficients non constant.
On a vu en Terminale le th´ eor` eme suivant :
Th´ eor` eme :
L’ensemble des solutions de l’´ equation diff´ erentielle y=αy, o`
uαest un nombre r´ eel fix´ e, est
l’ensemble des fonctions yd´ efinies sur par
y(x) = keαx
o` ukd´ esigne un r´ eel quelconque.
En fait ce th´ eor` eme se g´ en´ eralise, et on a le
Th´ eor` eme : r´ esolution de l’´ equation homog` ene
Soit aune fonction donn´ ee, continue sur un intervalle Ide . Alors les solutions de l’´ equation
diff´ erentielle y=ay
sont toutes les fonctions d´ efinies sur Ipar
y(x) = keA(x)
o` ukd´ esigneuneconstanter´ eelle quelconque,et o` uAest une primitive quelconquede la fonction a.
5. Un exemple corrig´ e
On consid` ere l’´ equation d’inconnue y:
(E)y2xy = 2x
La r´ esolution de cette ´ equation passe par 3 ´ etapes :
R´ esolution de l’´ equation homog` ene associ´ ee
On a
(E0)y2xy = 0 y= 2xy
Avec les notationsduth´ eor` emepr´ ec´ edent,onaa(x) = 2x, dontune primitiveest la fonctionAd´ efinieparA(x) = x2.
Les solutions de (E0) sont donc toutes les fonctions yayant une ´ ecriture du type
y=ke(x2)o`
ukconstante r´ eelle quelconque
Cette expression donne la solution g´ en´ erale de E0.
Recherche d’une solution particuli` ere de (E)
On remarque que la fonction constante yd´ efinie pour tout xpar y(x) = 1 est une solution particuli` ere de (E).
En effet, on a alors y(x) = 0 pour tout x, d’o` u
y(x) 2xy(x) = 0 2x( 1) = 2x
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Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers
pour tout x. (En g´ en´ eral dans les exercices, des indications sont donn´ ees dans le texte pour vous permettre de
trouver une telle solution particuli` ere.)
Conclusion : solution g´ en´ erale de (E)
On peut alors conclure : l’´ equation (E) admet une infinit´ e de solutions : toutes les fonctions yayant une ´ ecriture
du type
y(x) = 1 + ke(x2)o` ukest une constante r´ eelle quelconque
Si maintenant on impose ` a la solution de v´ erifier une condition initiale donn´ ee, alors on sait qu’il existe une et une
seule solution. Il faudra alors d´ eterminer la seule valeur de la constante kpossible.
Par exemple, si la solution fdoit v´ erifier l’´ equation (E), mais aussi la condition f(0) = 0, on sera amener ` a une
quatri` eme ´ etape :
solution de (E) v´ erifiant la condition initiale donn´ ee
Comme la fonction fest solution de l’´ equation diff´ erentielle (E), on sait que fest d´ efinie par une expression
du type f(x) = 1 + ke(x2)pour une certaine valeur de la constante k. Sachant que f(0) = 0, il vient la relation
0 = 1 + ke0, d’o` u la seule valeur possible pour la constante : k= 1. Finalement la fonction fcherch´ ee est la
fonction f(x) = 1 + e(x2)Exercices
Exercice 1 : Une ´ equation simple
On consid` ere l’´ equation
(E)y+y= 3
a ) D´ eterminer une solution ´ evidente de cette ´ equation.
b ) R´ esoudre sur l’´ equation y+y= 0
c ) En d´ eduire les solutions sur de l’´ equation (E)
Exercice 2 : Quelques ´ equations sans second membre
1. R´ esoudre sur l’´ equation diff´ erentielle 2y+y= 0
2. R´ esoudre sur ]0 +∞[ l’´ equation diff´ erentielle xy +y= 0
3. a ) D´ eterminer les nombres r´ eels aet btels que l’on ait, pour tout r´ eel x,
1x
1 + x=a+b x+ 1
b ) R´ esoudre sur ] 1 +∞[ l’´ equation diff´ erentielle
(x+ 1)y+ (x1)y= 0
4. R´ esoudre sur ] 1 +∞[ l’´ equation diff´ erentielle
(1 + t)x+ (t1)x= 0
Exercice 3 : Une solution particuli` ere est donn´ ee
On se propose de r´ esoudre dans l’´ equation diff´ erentielle
(E)y+y=ex
1. a ) R´ esoudre dans l’´ equation y+y= 0
b ) Montrer que la fonction gd´ efinie sur par g(x) = xe x
est une solution particuli` ere de (E).
c ) En d´ eduire la solution g´ en´ erale de (E).
2. D´ eterminer la solution particuli` ere de (E) prenant la valeur 3 en x= 0.
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Exercice 4 : Vitesse d’´ ecoulement
Une comparaison ` a un mod` ele d’´ ecoulement am` ene ` a consid´ erer que la vitesse d’´ ecoulement v0d’un liquide dans un
tube cylindrique est solution de l’´ equation diff´ erentielle
4v+v= 3ex
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avec la condition initiale v0= 0.
1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle 4v+v= 0.
2. D´ eterminer les constantes Aet Bpour que la fonction ud´ efinie sur par
u(x) = Aex2+B
soit une solution particuli` ere de l’´ equation (E).
3. R´ esoudre l’´ equation (E) sur .
4. D´ eterminer la solution particuli` ere v´ erifiant v(0) = 0.
Exercice 5 : Coefficients constants — Trouver le bon polynˆ ome
Les questions 2. et 3. sont ind´ ependantes de la question 1.
1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle
(E)y(x)y(x) = x2x1
dans laquelle yest une fonction de la variable x, d´ erivable sur , et de fonction d´ eriv´ ee y.
a ) D´ eterminer une solution particuli` ere de l’´ equation (E) sous forme d’un polynˆ ome.
b ) D´ eterminer la solution g´ en´ erale de l’´ equation (E).
c ) Quelle est la solution de (E) v´ erifiant la condition y(0) = 1 ?
2. Soit f, la fonction num´ erique d´ efinie sur par
f(x) = exx2x
a ) D´ eterminer fet f, les d´ eriv´ ees premi` eres et seconde de la fonction f. En d´ eduire le tableau de variation de
f. (On pr´ ecisera les limites de fen ∞et en +∞.)
b ) D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que l’´ equation f(x) = 0 admet deux solutions dont l’une est inf´ erieure ` a
ln2 et dont l’autre, not´ ee x0, est sup´ erieure ` a ln2.
c ) Montrer que f(x0) = x2
0+x0+ 1.
d ) Construire, dans un rep` ere orthonorm´ e (unit´ e : 2 cm ou 2 grands carreaux), la courbe Cet la droite D
d’´ equations respectives
y=exet y= 2x+ 1
e ) D´ eduire du 2. a ) queCet Dont deux points communs
f ) Quelle est la plus petite des solutions de l’´ equation f(x) = 0 ?
g ) Montrer qu’une valeur approch´ ee ` a 0 01 pr´ es de x0est α= 1 25.
3. a ) Calculer les limites de la fonction fen +∞et en ∞.
b )´ Etudier les variations de la fonction f.
c ) Tracer, sur un second graphique (muni d’un rep` ere orthonormal de mˆ eme unit´ e que pr´ ec´ edemment) :
la parabole Pd’´ equation y=x2x
la courbe Γrepr´ esentant la fonction f. (On prendra pour valeur approch´ ee de f(x0) une valeur approch´ ee
de f(α)` a 0 1 pr` es).
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