cinematique

CINEMATIQUE
Mouvements à une dimension
MRUA: Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré
Signifie accélération constante
De
v
a
t
x f  xi  vi  t  12 a  t 2
Similairement,
v  v  2a  x
2
f
De ceux-ci on peut démontrer
2 m/s
P. 4-21
1m
v f  vi  a  t
nous obtenons
2
i
10m/s
+20m
Prends axes orientés, axe y etc...
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CINEMATIQUE
Mouvements à une dimension
Une chute libre à la verticale est une trajectoire influencé
seulement par l’accélération gravitationnelle g = (-) 9.8 m/s2
En adoptant l’axe y conventionnelle, les équations cinématiques deviennent,
v f  vi  9.8  t
v f  vi  a  t
x f  xi  vi  t  a  t
1
2
v  v  2a  x
2
f
2
i
2
y f  yi  vi  t  12  9.8  t 2
v 2f  vi2  2  9.8  y
Exemples. Prv t_up = t_down. Chute d’un édifice, graphe y(t). Fusé a=2g pour 1 min, chute libre ensuite.
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CINEMATIQUE
Mouvements à Deux dimensions
y
La position en fonction du temps peut être
représenté paramétriquement par le vecteur
position ou le point de l’espace.

r (t )   x(t ), y(t ) 
Génère la trajectoire.
Déplacements = … ?
x
Exemples paramétriques dans la TI, t+sin[t],1+cos[t],
t*cos[t],t*sin[t]
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CINEMATIQUE
Mouvements à Deux dimensions
y
La vitesse moyenne perd son sens.
Plusieurs interprétations:
1-Longueur de l’arc / temps
  t
2-Longueur du déplacement / temps

r  t 

r  t
x
y
t
(x, y )  ( , )
1
3-Déplacement / temps
t
Dans ce cas, la « vitesse moyenne » possède deux composantes
Nous parlerons donc du vecteur vitesse:
x
t


r

v  lim
 (v x , v y )
  0 t
La norme de ce vecteur est la grandeur de la vitesse.
Exemples
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CINEMATIQUE
Mouvements à Deux dimensions
De

r (t )   x(t ), y(t ) 
le vecteur vitesse sera
aussi en fonction du temps

v (t )  ( v x (t ), v y (t ) )
Ce vecteur est tangent à la trajectoire
y
Similairement,
l'accélération devient

a (t )  (a x (t ), a y (t ) )
L ’orientation de ce vecteur n’a
pas d'interprétation simple
y
x
Exemples
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x
CINEMATIQUE
Mouvements à Deux dimensions

a
Nous limitions notre étude aux accélérations constantes: (t )  ( a x , a y )

r (t )   x(t ), y(t )

v (t )  ( v x (t ), v y (t ) )

v fx  vix  a x  t
x f  xi  vix  t  12 ax  t 2
y f  yi  viy  t  a y  t
1
2
v 2fx  vix2  2ax  x
Eg: vi =(1,6), a=(-0.2,-1.6),xi=(0,5) ...
2
donc...
v fy  viy  a y  t
v 2fy  viy2  2a y  y
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Eg:
CINEMATIQUE
Mouvements à Deux dimensions
Pour les chutes libres
(néglige résistance de l’air)
ax = 0 et ay = -9.8 m/s
2
Alors

r (t )   x(t ), y(t )


v (t )  ( v x (t ), v y (t ) )
x f  xi  vix  t
v fx  vix
y f  yi  viy  t  12  9.8t 2
v fy  viy  9.8t
v 2fy  viy2  2  9.8  y
60o,
vi= 80, Hmax=? Dmax=?, r(t),v(t),a(t),y(x) =?
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CINEMATIQUE
( MCUA )
Angles, vitesses, accélération angulaires
E.g. 1
Cherchons:
v en m/s,
# tours…
RPM, etc
vi = 60 km/h
Rroue= 30 cm
E.g. 2
s
Poulies, Transmission d’auto, Satellites...
v tjrs parallèle à
l’axe S. Ce n’est
pas le cas pour a !
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CINEMATIQUE
( MCUA )
Angles, vitesses, accélération angulaires
sf
s, t

si
Angle  en rad, deg, tours... Si  est en
rad, l’arc de cercle est donné par s  R 
La vitesse tangentielle (moyenne) est
La vitesse angulaire est
v  s t
   t
La vitesse (tangentielle) est alors
v  R
L’accélération angulaire est
L’accélération (tangentielle) est alors
Eg. De
30o
à
45o,
r = 4m et t = 0.5 s.
   t
at  R
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CINEMATIQUE
Mouvement Circulaire Uniformément Accéléré
Position angulaire

( en rad, deg ou tours )
Vitesse angulaire

( en rad /s, deg /s ou tours / s )
Accélération angulaire

( en rad / s2, etc )
En prenant un système d’axe à une dimensions le long
de la circonférence, les équations cinématiques deviennent:
 f   i  i  t    t
1
2
2
 f  i    t
 2f  i2  2  
Rem: Tous des « scalaires » car à 1 dim. Exemples
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CINEMATIQUE
( MCUA )
Relations entre éléments angulaires et linéaires
at

a
En coordonnés cartésiennes, la vitesse, et
donc l’accélération sont des vecteurs.

 v
a
t

ac
Pour  petit, le v est un vecteur pointant vers
le centre du cercle. Ceci génère une accélération
vers le centre de rotation et s’appelle
l’accélération centripète. Sa grandeur vaut: ac 
Si la vitesse angulaire n’est pas constante il y a aussi une accélération
tangentielle. Donc en chaque point d’une trajectoire nous avons une
accélération centripète ac et une accélération tangentielle at.
La résultante de ces accélérations a une
direction et est de grandeur :
Exemples
a  ac2  at2
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v2
R
CINEMATIQUE
Proportions, Essieu, Engrenage et Courroie
r2
r1
r2
r1
Sur un même essieux, les vitesses
angulaires sont les mêmes et les
vitesses tangentielles sont en
proportions
Sur un même courroie, les vitesses
tangentielles sont les mêmes et les
vitesses angulaires sont en proportions
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