VITESSE - ACCELERATION VITESSE

CINEMATIQUE
Mécanique
VITESSE - ACCELERATION
Référence au programme
S.T.I
2- Cinématique.
2-1 Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot
2-1.2 Caractérisation du mouvement d’un point d’un solide
Référence au module
Module 7 : :Cinématique
1- Objectifs de la séquence :
Définir le graphe des déplacements et des vitesses,
Définir la relation entre déplacement, vitesse et
accélération.
2- Situation pédagogique :
prérequis
Géométrie vectorielle.
connaissances visées
Equations horaires.
nature de la démarche
Acquisition de connaissances.
à savoir
Tracer le graphe des déplacements et des vitesses.
1. VITESSE
1.1 Notion de vitesse
Soit (S) un solide en mouvement dans un repère R0.
T(M∈S/R0)
Soit M un point appartenant au solide (S), de
coordonnées x(t), y(t) et z(t) à l’instant t.
M2
(S)
M1
S
Soit T(M∈S/R0) la trajectoire de M.
Sur cette trajectoire, choisissons par convention :
• une origine M0 ;
• un sens positif ;
• une unité de longueur.
R0
O
Q
R
M0
On relève, aux instants t0, t1, t2, les positions du point M appartenant à S dans le repère R0.
Instants
t0
t1
t2
Position sur T(M∈S/R0)
M0
M1
M2
Abscisse curviligne s = f(t)
s0 = 0
s1 = M0M1
s2 = M0M2
S = arc M0M = valeur algébrique, à l’instant t, de l’arc orienté M0M
VITESSE - ACCELERATION
Contenu du Dossier : 6 pages
S. PIGOT
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Version 02
1.2 Vitesse algébrique moyenne
Entre t1 et t2 :
V(t1Æt2)moy =
s2 − s1 ∆s D
=
=
t2 − t1
∆t
t
D : distance en mètre et t en seconde
1.3 Vitesse algébrique instantanée
ds
= s’(t)
dt
(dérivée de l’abscisse curviligne)
v(t) =
Si t2 est très proche de t1, alors ∆t devient
infiniment petit.
1.4 Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur vitesse du point M dans son mouvement par rapport au repère fixe R0, est égal à la
dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur position, dans le repère R0.
V(M ∈ S/R0) = lim∆ t →0
⎛ d OM ⎞
⎟
V(M ∈ S/R0) = ⎜
⎜ dt ⎟
⎝
⎠ ℜ0
MM'
∆t
Le vecteur V(M ∈ S/R0) est tel que :
-
son origine est confondue avec la position de
M à l’instant t ;
-
il est toujours tangent en M à la trajectoire
T(M∈S/R0) ;
-
il est orienté dans le sens du mouvement ;
-
ds
sa norme est V(M ∈ S/R0) = |v| =
;
dt
-
unité : mètre par seconde, ou m/s.
Autre expression possible :
Si OM
V(M ∈ S/R0)
T(M∈S/R0)
M2
M1
S
R0
O
Q
x(t)
Alors V(M ∈ S/R0)
y(t)
z(t)
R0
dx
dt
dy
dt
dz
dt
R
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M0
R0
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S.PIGOT
(S)
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2 ACCELERATION
2.1 Accélération tangentielle moyenne
Si le point M se situe en M1 à l’instant t1 et qu’il
possède une vitesse instantanée v1 ; s’il passe à
l’instant t2 en M2 à la vitesse v2, son accélération
tangentielle moyenne entre t1 et t2 vaut :
at(t)moy =
(S)
S
M2
R0
M1
O
v2 − v1
∆v
=
t2 − t1
∆t
T(M∈S/R0)
R
Q
L’accélération peut aussi être notée Γ(M∈S/R0) ou γ (M∈S/R0).
2.2 Accélération tangentielle instantanée
A l’instant t quelconque, elle correspond à la limite du rapport
at(t) =
dv
;
dt
or v(t) =
ds
;
dt
d’où
∆v
lorsque ∆t Æ 0.
∆t
d 2s
at(t) = 2 = s’’(t)
dt
2.3 Vecteur accélération
⎛
⎞
:(M/R0) = ⎜⎜ d V(M/ℜ0) ⎟⎟ =
dt
⎝
⎠ ℜ0
⎛ d 2 OM ⎞
⎜
⎟
⎜ dt 2 ⎟
⎝
⎠ ℜ0
Composantes tangentielle et normale de l’accélération :
Soient :
• G un vecteur unitaire normal en M à la
orienté
vers
trajectoire
T(M∈S/R0),
l’intérieur de la courbure ;
•
M un vecteur unitaire tangent en M à
T(M∈S/R0), orienté comme la trajectoire.
S
T(M∈S/R0)
R0
M
O
Q
M
G
R
Dans cette base (G,M), l’accélération peut s’écrire :
:(M/R0) = an×G + at×M
avec :
•
•
an = accélération normale =
v2
R
at = accélération tangentielle =
(R représente le rayon de courbure)
dv
dt
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3 CAS DU MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORME
C’est le mouvement le plus simple, sans accélération (a=0) et avec une vitesse constante au
cours du temps.
Il est noté M.T.R.U.
3.1 Equations de mouvement
x
Soient :
t0 : instant initial, t0 = 0 ;
x0 : le déplacement initial, à t = t0 ;
v0 : la vitesse initiale, à t = t0 ;
x(t) : le déplacement à l’instant t.
v(t) : la vitesse à l’instant t.
x0
Origine du repère
O
Equations
Instant t0
Graphe de position
x(t)
a(t) = 0
v(t) = v0 = constante
x(t) = v0 *∆t + x0
Q
Instant t
Graphe de vitesse
v(t)
x(t) = v0.t + x0
v(t) = v0
v0
x0
0
x0 et v0 sont les conditions
initiales du mouvement ; ∆t = t-t0
0
t
t
4 CAS DU MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE
UNIFORMEMENT ACCELERE
Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, accélérés (a>0)
ou décélérés (a<0), l’accélération reste constante au cours du temps.
Il est noté M.T.R.U.V.
4.1 Equations du mouvement
x
Soient :
t0 : instant initial, t0 = 0 ;
x0 : le déplacement initial;
a0 : l’accélération initiale ;
v0 : la vitesse initiale ;
x : le déplacement à l’instant t.
x0
v
v0
O
Instant t0
Equations
a(t) = a0 = constante
v(t) = a0.x ∆t + v0
x(t) = 1 a0.x ∆t ² + v0.x ∆t + x0
2
x0, v0 et a0 sont les conditions initiales
du mouvement.
Instant t
Graphe de position
Graphe de vitesse
x
v
v = v0 + a.t
x = f(t)
(branche de
parabole)
x0
0
v0
t
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Q
0
t
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5 MOUVEMENT DE ROTATION : GENERALITES
5.1 Rotation d’un solide
M2
La rotation d’un solide est définie par son
mouvement angulaire (tous les points de
ce solide ont même vitesse angulaire).
Instant t2
M1
θ2
Instant t1
∆θ
θ2 = θ1 + ∆θ
θ1
Q
5.2 Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation ω
ωmoy =
Vitesse angulaire moyenne :
Vitesse angulaire instantanée :
ω=
θ2 − θ1 ∆θ
=
t2 − t1 ∆t
[en radian / seconde]
dθ
= θ' = θ&
dt
Remarques :
1 tour = 2π radian = 360°; Si N est la vitesse de rotation en tour/min, alors :
ω=
5.3 Accélération angulaire α
dω
&
α=
= ω' = ω
dt
ou
d 2θ
α = 2 = θ' ' = &θ&
dt
5.4 Vitesse d’un point
TM
VM
VM = ω.OM = ω.r
M
VP
Remarque : puisque ω a même valeur pour
tous les points du solide, la vitesse linéaire
O(M∈S/R ) varie linéairement avec la distance r
0
r
VN
O
N
P
à l’axe de rotation.
Q
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π.N
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6 CAS DU MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORME
L’accélération angulaire α est nulle. Ce mouvement est noté M.R.U.
6.1 Equations de mouvement
Les équations de mouvement sont :
θ’’(t) = 0
ω(t) = ω0 = constante
θ(t) = ω0.x ∆t + θ0
ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.
7 MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORMEMENT VARIE
L’accélération angulaire α est constante. Ce mouvement est noté M.R.U.V.
7.1 Equations de mouvement
Les équations de mouvement sont :
θ’’(t) = θ0’’ = constante
ω(t) = θ0’’. x ∆t + ω0
θ(t) = 12 .θ0’’. x ∆t ² + ω0. x ∆t + θ0
ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.
Remarque :
•
•
Si θ0’’ >0, il y a accélération du mouvement.
Si θ0’’ <0, il y a décélération du mouvement (ou freinage).
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