CINEMATIQUE Mécanique VITESSE - ACCELERATION Référence au programme S.T.I 2- Cinématique. 2-1 Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot 2-1.2 Caractérisation du mouvement d’un point d’un solide Référence au module Module 7 : :Cinématique 1- Objectifs de la séquence : Définir le graphe des déplacements et des vitesses, Définir la relation entre déplacement, vitesse et accélération. 2- Situation pédagogique : prérequis Géométrie vectorielle. connaissances visées Equations horaires. nature de la démarche Acquisition de connaissances. à savoir Tracer le graphe des déplacements et des vitesses. 1. VITESSE 1.1 Notion de vitesse Soit (S) un solide en mouvement dans un repère R0. T(M∈S/R0) Soit M un point appartenant au solide (S), de coordonnées x(t), y(t) et z(t) à l’instant t. M2 (S) M1 S Soit T(M∈S/R0) la trajectoire de M. Sur cette trajectoire, choisissons par convention : • une origine M0 ; • un sens positif ; • une unité de longueur. R0 O Q R M0 On relève, aux instants t0, t1, t2, les positions du point M appartenant à S dans le repère R0. Instants t0 t1 t2 Position sur T(M∈S/R0) M0 M1 M2 Abscisse curviligne s = f(t) s0 = 0 s1 = M0M1 s2 = M0M2 S = arc M0M = valeur algébrique, à l’instant t, de l’arc orienté M0M VITESSE - ACCELERATION Contenu du Dossier : 6 pages S. PIGOT M_212-01.Doc (Word7) CINEMATIQUE Version 02 1.2 Vitesse algébrique moyenne Entre t1 et t2 : V(t1Æt2)moy = s2 − s1 ∆s D = = t2 − t1 ∆t t D : distance en mètre et t en seconde 1.3 Vitesse algébrique instantanée ds = s’(t) dt (dérivée de l’abscisse curviligne) v(t) = Si t2 est très proche de t1, alors ∆t devient infiniment petit. 1.4 Vecteur vitesse instantanée Le vecteur vitesse du point M dans son mouvement par rapport au repère fixe R0, est égal à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur position, dans le repère R0. V(M ∈ S/R0) = lim∆ t →0 ⎛ d OM ⎞ ⎟ V(M ∈ S/R0) = ⎜ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ ℜ0 MM' ∆t Le vecteur V(M ∈ S/R0) est tel que : - son origine est confondue avec la position de M à l’instant t ; - il est toujours tangent en M à la trajectoire T(M∈S/R0) ; - il est orienté dans le sens du mouvement ; - ds sa norme est V(M ∈ S/R0) = |v| = ; dt - unité : mètre par seconde, ou m/s. Autre expression possible : Si OM V(M ∈ S/R0) T(M∈S/R0) M2 M1 S R0 O Q x(t) Alors V(M ∈ S/R0) y(t) z(t) R0 dx dt dy dt dz dt R M_212-01.DOC(Word7) M0 R0 VITESSE - ACCELERATION S.PIGOT (S) Page 2 / 6 CINEMATIQUE Version 02 2 ACCELERATION 2.1 Accélération tangentielle moyenne Si le point M se situe en M1 à l’instant t1 et qu’il possède une vitesse instantanée v1 ; s’il passe à l’instant t2 en M2 à la vitesse v2, son accélération tangentielle moyenne entre t1 et t2 vaut : at(t)moy = (S) S M2 R0 M1 O v2 − v1 ∆v = t2 − t1 ∆t T(M∈S/R0) R Q L’accélération peut aussi être notée Γ(M∈S/R0) ou γ (M∈S/R0). 2.2 Accélération tangentielle instantanée A l’instant t quelconque, elle correspond à la limite du rapport at(t) = dv ; dt or v(t) = ds ; dt d’où ∆v lorsque ∆t Æ 0. ∆t d 2s at(t) = 2 = s’’(t) dt 2.3 Vecteur accélération ⎛ ⎞ :(M/R0) = ⎜⎜ d V(M/ℜ0) ⎟⎟ = dt ⎝ ⎠ ℜ0 ⎛ d 2 OM ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dt 2 ⎟ ⎝ ⎠ ℜ0 Composantes tangentielle et normale de l’accélération : Soient : • G un vecteur unitaire normal en M à la orienté vers trajectoire T(M∈S/R0), l’intérieur de la courbure ; • M un vecteur unitaire tangent en M à T(M∈S/R0), orienté comme la trajectoire. S T(M∈S/R0) R0 M O Q M G R Dans cette base (G,M), l’accélération peut s’écrire : :(M/R0) = an×G + at×M avec : • • an = accélération normale = v2 R at = accélération tangentielle = (R représente le rayon de courbure) dv dt VITESSE - ACCELERATION S.PIGOT M_212-01.DOC(Word7) Page 3 / 6 CINEMATIQUE Version 02 3 CAS DU MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORME C’est le mouvement le plus simple, sans accélération (a=0) et avec une vitesse constante au cours du temps. Il est noté M.T.R.U. 3.1 Equations de mouvement x Soient : t0 : instant initial, t0 = 0 ; x0 : le déplacement initial, à t = t0 ; v0 : la vitesse initiale, à t = t0 ; x(t) : le déplacement à l’instant t. v(t) : la vitesse à l’instant t. x0 Origine du repère O Equations Instant t0 Graphe de position x(t) a(t) = 0 v(t) = v0 = constante x(t) = v0 *∆t + x0 Q Instant t Graphe de vitesse v(t) x(t) = v0.t + x0 v(t) = v0 v0 x0 0 x0 et v0 sont les conditions initiales du mouvement ; ∆t = t-t0 0 t t 4 CAS DU MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORMEMENT ACCELERE Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l’accélération reste constante au cours du temps. Il est noté M.T.R.U.V. 4.1 Equations du mouvement x Soient : t0 : instant initial, t0 = 0 ; x0 : le déplacement initial; a0 : l’accélération initiale ; v0 : la vitesse initiale ; x : le déplacement à l’instant t. x0 v v0 O Instant t0 Equations a(t) = a0 = constante v(t) = a0.x ∆t + v0 x(t) = 1 a0.x ∆t ² + v0.x ∆t + x0 2 x0, v0 et a0 sont les conditions initiales du mouvement. Instant t Graphe de position Graphe de vitesse x v v = v0 + a.t x = f(t) (branche de parabole) x0 0 v0 t VITESSE - ACCELERATION S.PIGOT M_212-01.DOC(Word7) Q 0 t Page 4 / 6 CINEMATIQUE Version 02 5 MOUVEMENT DE ROTATION : GENERALITES 5.1 Rotation d’un solide M2 La rotation d’un solide est définie par son mouvement angulaire (tous les points de ce solide ont même vitesse angulaire). Instant t2 M1 θ2 Instant t1 ∆θ θ2 = θ1 + ∆θ θ1 Q 5.2 Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation ω ωmoy = Vitesse angulaire moyenne : Vitesse angulaire instantanée : ω= θ2 − θ1 ∆θ = t2 − t1 ∆t [en radian / seconde] dθ = θ' = θ& dt Remarques : 1 tour = 2π radian = 360°; Si N est la vitesse de rotation en tour/min, alors : ω= 5.3 Accélération angulaire α dω & α= = ω' = ω dt ou d 2θ α = 2 = θ' ' = &θ& dt 5.4 Vitesse d’un point TM VM VM = ω.OM = ω.r M VP Remarque : puisque ω a même valeur pour tous les points du solide, la vitesse linéaire O(M∈S/R ) varie linéairement avec la distance r 0 r VN O N P à l’axe de rotation. Q VITESSE - ACCELERATION S.PIGOT π.N 30 M_212-01.DOC(Word7) Page 5 / 6 CINEMATIQUE Version 02 6 CAS DU MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORME L’accélération angulaire α est nulle. Ce mouvement est noté M.R.U. 6.1 Equations de mouvement Les équations de mouvement sont : θ’’(t) = 0 ω(t) = ω0 = constante θ(t) = ω0.x ∆t + θ0 ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement. 7 MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORMEMENT VARIE L’accélération angulaire α est constante. Ce mouvement est noté M.R.U.V. 7.1 Equations de mouvement Les équations de mouvement sont : θ’’(t) = θ0’’ = constante ω(t) = θ0’’. x ∆t + ω0 θ(t) = 12 .θ0’’. x ∆t ² + ω0. x ∆t + θ0 ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement. Remarque : • • Si θ0’’ >0, il y a accélération du mouvement. Si θ0’’ <0, il y a décélération du mouvement (ou freinage). VITESSE - ACCELERATION S.PIGOT M_212-01.DOC(Word7) Page 6 / 6 CINEMATIQUE Version 02