Les bases des probabilités

Les bases des
probabilités
Julia Bozukova
Notion
Signification
Exemple
Expérience aléatoire
Son résultat dépend du hasard. Lancer un dé
Expérience aléatoire à
plusieurs étapes
Expérience composée de
plusieurs étapes
Lancer un dé deux fois et
noter les résultats
Univers des résultats
possibles : Ω
L’ensemble de tous les
résultats possibles d’une
expérience aléatoire.
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Événement
C’est un sous-ensemble de
l’univers des résultats
possibles.
A: Obtenir un nombre pair
A = {2,4,6}
Événement
élémentaire
Le résultat de cet événement
est unique.
B: Obtenir le nombre 6
B = {6}
Événements compatibles
Peuvent se réaliser en même
temps.
A: Obtenir un nombre pair
B: Obtenir un multiple de 3
Événements
incompatibles
Ne peuvent pas se réaliser en
même temps.
A: Obtenir un nombre pair
B: Obtenir un diviseur de 3
Événements
complémentaires
Ils n’ont pas des résultats communs,
mais, ensemble, ils contiennent tous
les résultats possibles
A= {Obtenir un nombre pair} =
{2,4,6}
B= {Obtenir un nombre impair} =
{1,3,5}
AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
Probabilité d’un
événement
Quelle est la chance(la probabilité)
qu’un événement se produise? Pour
la calculer:
On lance une pièce de monnaie
et ensuite, un dé. Calculer la
probabilité d’avoir une Face
suivie d’un nombre pair
(événement A).
P(A) = Nmbr de cas favorables
Nmbr total résultats possibles
Ω = {P1, P2, P3, P4, P5, P6,
F1, F2, F3, F4, F5, F6}
Intersection
d’événements
A∩B
L’événement formé par l’ensemble
des résultats communs des deux
évènements.
A = {F2, F4, F6}
P(A) = 3/12 = ¼ = 25%
A: { Obtenir un nombre pair }
B: { Obtenir un diviseur de 4 }
A = {2,4,6}; B = {1,2,4}
A ∩ B = {2,4}
Union
d’événements
compatibles A U B
La probabilité que A OU B se
produisent.
P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A ∩ B)
A: { Obtenir un nombre pair }
B: { Obtenir un multiple de 3 }
P(AUB)=1/2 + 2/6 – 1/6 = 2/3
Notion
Signification
Exemple
Union d’événements
incompatibles A U B
La probabilité que A OU
B se produisent.
P(A U B) = P(A)+P(B)
A: { Obtenir un nombre pair }
B: { Obtenir un diviseur de 3 }
P(AUB)=1/2 + 2/6 = 5/6
Événements
indépendants
La réalisation de l’un ne
dépend pas de la
réalisation de l’autre.
Lancer un dé deux fois. Le résultat du
deuxième lancé ne dépend pas du
résultat du premier.
Dénombrement des résultats d’une
expérience aléatoire à plusieurs étapes
Tableau
1
Pile
Diagramme en
arbre
Face
1
2
3
4
5
6
(P,1)
(F,1)
(P,2)
(F,2)
(P,3)
(F,3)
(P,4)
P
3
4
5
6
1
(F,5)
(P,6)
(F,6)
P1, P2, P3,
P4, P5, P6,
F1, F2, F3,
F4, F5, F6
2
3
F
4
5
6
Résultats:
2
(F,4)
(P,5)
Ω = {P1, P2, P3, P4,
1
2
Énumération
systématique
P5, P6, F1, F2, F3,
F4, F5, F6}
Le principe de multiplication


Ce principe s’applique aux expérience aléatoires
à plusieurs étapes.
Le nombre de résultats possibles =
(nombre de résultats possibles de l’étape 1) x
(nombre de résultats possibles de l’étape 2) x
……..
(nombre de résultats possibles de l’étape n)
 Exemple:
6.2.6 = 72
résultats
possibles
Quel est le nombre de
résultats possibles de l’expérience
composée par les étapes suivantes:
lancer un dé, lancer une pièce de
monnaie et lancer un autre dé?