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VII) Formalisme Quantique
Certains états quantiques ne peuvent être décrits par une fonction d’onde
telle que nous les avons vues (le spin par exemple). Le formalisme doit être
généralisé de manière a pouvoir décrire tous les systèmes.
En mécanique ondulatoire : L’état du système est décrit par une
fonction d’onde.
Dans le formalisme général : L’état du système est décrit par un
vecteur d’état faisant partie de l’espace des états du système.
Les vecteurs d’état peuvent être associés à une fonction d’onde, mais ce
n’est pas obligatoire.
Le formalisme quantique se retrouve basé sur les règles du calcul vectoriel
dans l’espace des états.
1) Notation de Dirac
Un vecteur quelconque de l’espace des états, e, est appelé vecteur-ket ou
plus simplement ket. On le note par le symbole
, en mettant à
l’intérieur un signe distinctif permettant de le différencier des autres états.
Par exemple, si le ket est associé à un état décrit pas une fonction y(r), on
pourra le noter :
y
: ket psi
Les fonctions que l’on manipulait en mécanique ondulatoire étaient
complexes. On admettra qu’il existe un espace dual, e*, de l’espace des
états dont les vecteurs d’états peuvent être associés aux fonctions complexes
conjuguées des fonctions associées aux vecteurs d’état de e.
A tout vecteur-ket de e, correspond un vecteur dans l’espace dual e* que l’on
nomme vecteur-bra ou bra.
y
: bra psi
NB : En anglais, bracket
signifie crochet.
Quelques propriétés :
-Si l est un complexe et |y> un ket de e, alors l |y> est également un ket de e
que l’on peut noter | l y> .
-Le bra associé à l |y> est l* <y| où l* est le complexe conjugué de l.on peut le
noter < l y|.
Attention, on a donc < l y| = l* <y|
Produit scalaire :
Le produit scalaire de deux kets |y> et |j> est noté < y | j >
On a les propriétés suivantes
< y | j > = < j | y >*
< y | l1 j1 + l2 j2 > = l1 < y | j1> + l2 < y | j2 >
< l1 j1 + l2 j2 | y > = l1*< j1 | y > + l2*< j2 | y
>
Normalisation et orthogonalité
y y dv=1
*
normalisation
< y | y >=1
tout l'espace
*
y
 i y j dv =  ij
tout l 'espace
Mécanique ondulatoire
othonormalité
< yi | yj >=ij
Formalisme quantique
La notation de Dirac est plus « légère »
Opérateurs :
Lorsque l’on fait agir l’opérateur A sur un ket |y>, on obtient un autre ket.
A |y> = |y’>
De même : A | l1 j1 + l2 j2 > = l1 A | j1 > + l2 A |j2 >
(li : complexes)
On appelle élément de matrice de A entre j et y, le produit scalaire :
< j | A |y> = < j | y’>
( c’est un nombre complexe !)
Le produit d’un ket par un bra est un opérateur !
Si
A= |y> < j |
Alors A |c> = |y> < j | c> = l |y>
l : complexe
Opérateurs (suite) :
On désigne par opérateur adjoint, A+, de l’opérateur A, l’opérateur qui
vérifie :
Si
A |y> = |y’> alors
< y’ | = < y | A+
Comme < y’ | j > = < j | y’ >*
Alors
D’où
< y’ | j > = < y | A+ | j > = < j | y’ >* = < j | A |y>*
< y | A+ | j > = < j | A |y>*
Lorsqu’un opérateur coïncide avec son adjoint : A= A+
On dit que A est HERMITIQUE et l’on a
< y | A | j > = < j | A |y>*
2) Définir une base dans l’espace des états
Comme dans tout espace vectoriel, il existe une infinité de bases
orthonormées que l’on peut définir dans e. Si cet espace est de dimension
N, alors on aura N vecteurs de base |ui> i=1…N vérifiant la relation
d’orthonormalité :
< ui | uj >=ij
Et tout ket |y> de e pourra s’écrire :
N
l
|y> = l1 |u1> + l2 |u2> + l3 |u3> +….. +lN |uN> =
Composantes de |y> sur les |ui>
i=1
n
un
Pour calculer les composantes, on utilise un opérateur de projection, Pi :
= |ui> <ui |
Qui permet de calculer li :
Pi |y> = l1 |ui> <ui | u1> +…..+ li |ui> <ui |ui> +….. +lN |ui> <ui |uN>
0
Pi |y> = li |ui>
0
1
0
0
Si l’on additionne tous les opérateurs projections, on doit retrouver toutes
les composantes du vecteur |y>
N
N
P y =l u =y
i=1
i
i=1
i
i
On a donc
N
P=1
i=1
i
Opérateur identité (ne fait rien)
Relation de fermeture
Signifie que la base est complète (suffisante pour bien décrire |y>)
Base discrète et base continue :
Lorsque les états sont quantifiés, on a une base discrète d’états, et on doit
utiliser le signe somme, comme dans les relations précédentes.
Lorsque les états ne sont pas quantifiés, on a une base continue, et on doit
utiliser le signe intégral.
< ui | uj >=ij
N
P=1
i=1
i
Base discrète
< wa | wb >=(a-b)

wa wa = 1
Delta
de
Dirac
Base continue
Attention, une base discrète peut être de dimension infinie (N=
 )!
Représentation d’un ket :
Dans la base des |ui> le ket |y> est représenté par ses composantes ci
y =c1u1 +c2 u2 +...+cn un
Le ket est représenté par le vecteur colonne des coefficients
 c1 
c 
y = 2
 :. 
c 
 n
Cette notation implique que la base est clairement définie.
Au même ket correspondent des représentations différentes dans différentes bases.
Représentation d’un bra :
Dans l’espace dual, le bra associé au ket précédent, dans la base des bras <ui|
s’écrit :
y =c1* u1+c2* u2 +...+cn* un
Le bra est représenté par le vecteur ligne des coefficients
y = (c1* c2* .. cn*)
Cette notation implique que la base est clairement définie.
Au même bra correspondent des représentations différentes dans différentes bases.
Représentation d’un opérateur :
Dans la base |ui>, un opérateur A est représenté par une matrice dont les
éléments de matrices sont définis par :
Aij=< ui | A | uj >
Ligne
colonne
 A11A12....A1n 
 A A ....A 
2n 
A =  21 22
 : : : : 
 A A ....A 
nn 
 n1 n2
Matrice carrée
Application successive de deux opérateurs :
Soient A et B deux opérateurs représentés dans la base des |ui>.
L’action de A puis de B est représenté par la matrice dont les éléments sont :
< ui|BA| uj>
On peut insérer la relation de fermeture de la base |ui>.
ui BAu j = ui B uk uk Au j =BikAkj
k
k
1
C’est la formule usuelle du produit de matrice
Attention, certains opérateurs ne commutent pas
AB=(ABBA)0
AB BA
Application d’un opérateur à un ket :
Si
|y’>= A|y>
Les composantes de |y’> sont
ci’ = <ui|y’> = <ui| A|y>
En insérant la relation de fermeture :
ci' =  ui A u j u j y = Aijc j
j
j
On obtient la formule usuelle du produit matrice-vecteur
Le produit scalaire :
Si |y> et |j> sont deux kets, on peut calculer leur produit scalaire en
utilisant leur représentation dans une base |ui> :
y = ai ui
i
j = bi ui
i
qui est
y j = y ui ui j = ai bi
*
i
i
Le produit ket-bra :
Nous avons vu que le produit d’un ket par un bra est un opérateur
y = ai ui
i
y j
j = bi ui
i
=   u i ui y
i
=
j
*
a
b
  i j ui u j
i
On obtient finalement un opérateur
dont les éléments de matrice sont :
Aij=ai bj*
j uj uj
j
Représente une matrice
dont tous les éléments
sont nuls sauf celui de la
ligne i, colonne j, qui
vaut 1.
(facile à démontrer)






Récapitulatif






Ket | >
(
)




















(
)












(
Bra < |
Opérateur A















 = 















=l
)
AB=C
< | > = scalaire


=







| > < | = opérateur
Exemple : la monnaie (qu)antique
Tétradrachme d'argent
Tête d'Athéna avec des feuilles d'olivier sur le casque
Revers: chouette, rameau d'olivier, croissant de lune
Vers 460-450 avant JC
L’espace des états pour l’observable « face visible » est composée de
deux états propres :
Face, noté par le ket | f >
Pile, noté par le ket | p >
La fonction d’onde décrivant la pièce est :
|y> = a | f > + b | p >
Avec a2+b2=1
a peut être différent de b car les calculs de probabilités n’étaient pas
encore très connus à l’époque, et la pièce est très mal équilibrée.
1
f = 
0
 0
p = 
1
a 
y = 
b 
L’opérateur suivant permet de « retourner » la pièce :
0 1
A=

1
0


En effet :
A f =  01 1 =  0 = p
 1 0  0  1 
A p =  01 0 =  1 = f
 1 0  1   0
Sont effet sur la fonction d’onde est moins clair !
Ay =  01 a  =  b  = b f +a p
 1 0  b   a 
En fait, cet opérateur permute les coefficients (et les probabilités) de chaque face.
 1 0
L’opérateur du tricheur : B= a 
 0 0
donne toujours le résultat « pile » lorsque l’on mesure la face visible :
1
B y = a

0
  a
 1
0
  =   = f
 b
 0
0
La combinaison de A et B donne :
1
BA y =  a

0
AB y
1


b
a
0   0 1  a 
0




a  = b f
=
=
a

   
  1 0 


b


 
b   0 a
0
0
0


 
 0 1   1
 a
= 
 1 0   0

0

0
 a   0
  = 1
 b   a
0  a   0
  =  = p
0   b   1 

A et B ne
commutent pas
L’exemple de la monnaie n’est pas très physique, mais il existe beaucoup
de systèmes simples à 2 états.
Spin de l’électron
Polarisation
de la
lumière
Observables :
Un opérateur qui peut être associé à une observable doit coïncider avec
son adjoint (propriété d’hermiticité) et on a alors :
< ui | A | uj > = < uj | A |ui>*
Au niveau de la matrice représentant l’opérateur, cela signifie que :
* Les éléments symétriques par rapport à la diagonale
principale sont complexes conjugués.
* Les éléments sur la diagonale principale sont réels.
Exemple
d’observable :
 1
12i
A= i
 0

1+2i
8
0
6
i
0
3
2+i
0 
6 
2i 
2 
NB : une matrice réelle
symétrique non nulle est
toujours une observable
Diagonale principale
Recherche des états propres et des valeurs propres associées à un opérateur :
La résolution de l’équation
A| y > = l| y>
est bien connue en algèbre linéaire. La diagonalisation de A permet de
déterminer les valeurs de l et les kets | y> associés.
VOUS DEVEZ ABSOLUMENT SAVOIR
DIAGONALISER UNE MATRICE.
En faisant court, si la matrice A est exprimée dans une base orthonormée :
1) Les valeurs propres sont les solutions de : det(A - l1 ) = 0
2) On trouve les fonctions propres en résolvant le système
d’équations pour chaque valeur de l.
Propriétés utiles et fondamentales :
• Les vecteurs propre d’un opérateur sont orthogonaux.
• La matrice de l’opérateur, représentée dans la base de ses
vecteurs propres est diagonale. Les éléments diagonaux sont les
valeurs propres.
• Les valeurs propres d’une observable sont réelles.
• Le nombre d’états propres est égal à la dimension de la matrice.
• La même valeur propre peut être associée à plusieurs états
propres. On dit qu’elle est dégénérée.