Licence de Physique, L3, 2013-2014

Licence de Physique, L3, 2013-2014 - Introduction à la mécanique quantique
Algèbre linéaire - Notation de Dirac
ƒ Quelques définitions
On introduit un produit scalaire ⟨ϕ|ψ⟩ hermitien ayant les propriétés d’une forme sesquilinéaire :
⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ψ|ϕ⟩⋆
⟨ϕ|aψ + bξ⟩ = a⟨ϕ|ψ⟩ + b⟨ϕ|ξ⟩
⟨aψ + bξ|ϕ⟩ = a⋆ ⟨ψ|ϕ⟩ + b⋆ ⟨ξ|ϕ⟩
Un opérateur linéaire F̂ agissant sur un ket |ψ⟩ donne un nouveau ket |ψ′ ⟩ :
F̂ |ψ⟩ = |ψ′ ⟩
et l’on définit l’opérateur adjoint F̂ † de F̂ par
⟨ψ| F̂ † = ⟨ψ′ |
L’opérateur F̂ est hermitien s’il est autoadjoint : F̂ † = F̂ .
ƒ Utilisation de la notation de Dirac
Un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire hermitien est rapporté à une base orthonormée
discrète {|ei ⟩}, i = 1, . . . , N .
P
P
1.- Montrer que pour |ψ⟩ ∈ E, la relation |ψ⟩ = i ci |ei ⟩ entraîne i |ei ⟩⟨ei | = 1 (relation de
fermeture) où 1 est l’opérateur identité dans E.
P
2.-  étant un opérateur linéaire défini sur E, on appelle trace de  la quantité Tr  = i ⟨ui |Â|ui ⟩.
Montrer que Tr (ÂB̂) = Tr (B̂ Â).
3.- Montrer que Tr  est invariant dans un changement de base orthonormée.
4.- Un opérateur Ĥ est hermitien s’il coïncide avec son adjoint Ĥ † où l’adjoint est défini par l’égalité
⟨v|Ĥ|w⟩ = ⟨w|Ĥ † |v⟩∗ (∗ est la conjugaison complexe) pour |v⟩, |w⟩ quelconques. Montrer que les
valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles et que les vecteurs propres associés à des
valeurs propres distinctes sont orthogonaux. On rappelle que les valeurs propres λn et les vecteurs
propres associés |λn ⟩ sont définis par Ĥ|λn ⟩ = λn |λn ⟩ avec || |λn ⟩||2 6= 0.
5.- Procédé d’orthogonalisation de Schmidt : soit {|u j ⟩} une suite de vecteurs linéairement indépendants (non nécessairement normés) dans E. Rappeler le procédé de Schmidt permettant d’obtenir
une suite orthonormée {|ei ⟩} à partir de la suite {|u j ⟩}. Que dire des vecteurs propres associés à un
sous-espace dégénéré d’un opérateur hermitien ?
6.- Soit Ĥ un opérateur hermitien et F̂ un opérateur quelconque. Montrer que F̂ Ĥ F̂ † est hermitien,
que F̂ peut s’écrire sous la forme  + i B̂ où  et B̂ sont hermitiens. Si F̂ est non hermitien, à quelle
condition F̂ 2 l’est-il ?
ƒ Changement de base
Soit H une matrice hermitienne :
H=
3
−i
i
3
Trouver ses valeurs propres et vecteur propres. Ecrire la matrice de changement de base U et son
adjoint U + . Calculer U U + . Conclusion ? Mettre H sous forme diagonale grâce à U.
ƒ Matrices de Pauli
Soit E un espace vectoriel à deux dimensions muni d’un produit scalaire hermitien et d’une base
orthonormée b : |1⟩, |2⟩.
2
1.- On considère l’opérateur dont la matrice dans la base b s’écrit :
σ2 =
0
i
−i
0
Quelle est la nature de σ2 ? Calculer ses valeurs propres et les vecteurs propres correspondants
(donner leur développement normé sur b et les bras associés).
2.- Calculer les éléments de matrice représentant dans b les projecteurs sur les vecteurs propres de
σ2 . Vérifier qu’ils satisfont une relation de fermeture.
3.- Les matrices de Pauli sont définies de la manière suivante :
σ1 =
0
1
1
0
σ2 =
0
i
−i
0
σ3 =
1
0
0
−1
Vérifier que
σi σ j + σ j σi = 2δi j 1
σi σ j − σ j σi = 2i
3
X
ǫi jk σk
k=1
avec
ǫi jk =

0
1

−1
si 2 des indices sont égaux
si la permutation des 3 indices est paire
si la permutation des 3 indices est impaire
ƒ Projecteurs
On considère un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire hermitien. On appelle |ϕn ⟩ les
vecteurs propres d’un opérateur linéaire hermitien Ĥ et on suppose qu’ils forment une base orthonormée discrète de E. On définit l’opérateur
Û(m, n) = |ϕm ⟩⟨ϕn |
1.- Calculer l’adjoint Û † (m, n) de Û(m, n).
2.- Calculer le commutateur [Ĥ, Û(m, n)].
3.- Démontrer que :
Û(m, n)Û † (p, q) = δnq Û(m, p)
4.- Calculer Tr Û(m, n).
5.- Soit  un opérateur, d’éléments de matrice Amn sur la base |ϕn ⟩. Montrer que :
 =
X
Am
n Û(m, n)
m,n
6.- Montrer que :
Apq = Tr {ÂÛ † (p, q)}