Licence de Physique, L3, 2013-2014

Licence de Physique, L3, 2013-2014 - Introduction à la mécanique quantique
Algèbre linéaire - Notation de Dirac
Quelques définitions
On introduit un produit scalaire 〈ϕ|ψ〉hermitien ayant les propriétés d’une forme sesquilinéaire :
〈ϕ|ψ〉=〈ψ|ϕ〉⋆
〈ϕ|aψ+bξ〉=a〈ϕ|ψ〉+b〈ϕ|ξ〉
〈aψ+bξ|ϕ〉=a⋆〈ψ|ϕ〉+b⋆〈ξ|ϕ〉
Un opérateur linéaire ˆ Fagissant sur un ket |ψ〉donne un nouveau ket |ψ′〉:
ˆ
F|ψ〉=|ψ′〉
et l’on définit l’opérateur adjoint ˆ F†de ˆ Fpar
〈ψ|ˆ F†=〈ψ′|
L’opérateur ˆ Fest hermitien s’il est autoadjoint : ˆ F†=ˆ F.
Utilisation de la notation de Dirac
Un espace vectoriel Emuni d’un produit scalaire hermitien est rapporté à une base orthonormée
discrète {|ei〉},i=1, . . . , N.
1.- Montrer que pour |ψ〉 ∈ E, la relation |ψ〉=Pici|ei〉entraîne Pi|ei〉〈ei|=1
1
1(relation de
fermeture) où 1
1
1est l’opérateur identité dans E.
2.- ˆ Aétant un opérateur linéaire défini sur E, on appelle trace de ˆ Ala quantité Tr ˆ A=Pi〈ui|ˆ A|ui〉.
Montrer que Tr (ˆ Aˆ B) = Tr (ˆ Bˆ A).
3.- Montrer que Tr ˆ Aest invariant dans un changement de base orthonormée.
4.- Un opérateur ˆ Hest hermitien s’il coïncide avec son adjoint ˆ H†où l’adjoint est défini par l’égalité
〈v|ˆ H|w〉=〈w|ˆ H†|v〉∗(∗est la conjugaison complexe) pour |v〉,|w〉quelconques. Montrer que les
valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles et que les vecteurs propres associés à des
valeurs propres distinctes sont orthogonaux. On rappelle que les valeurs propres λnet les vecteurs
propres associés |λn〉sont définis par ˆ H|λn〉=λn|λn〉avec || |λn〉||26=0.
5.- Procédé d’orthogonalisation de Schmidt : soit {|uj〉} une suite de vecteurs linéairement indépen-
dants (non nécessairement normés) dans E. Rappeler le procédé de Schmidt permettant d’obtenir
une suite orthonormée {|ei〉} à partir de la suite {|uj〉}. Que dire des vecteurs propres associés à un
sous-espace dégénéré d’un opérateur hermitien ?
6.- Soit ˆ Hun opérateur hermitien et ˆ Fun opérateur quelconque. Montrer que ˆ Fˆ Hˆ F†est hermitien,
que ˆ Fpeut s’écrire sous la forme ˆ A+iˆ Boù ˆ Aet ˆ Bsont hermitiens. Si ˆ Fest non hermitien, à quelle
condition ˆ F2l’est-il ?
Changement de base
Soit Hune matrice hermitienne :
H=3i
−i3
Trouver ses valeurs propres et vecteur propres. Ecrire la matrice de changement de base Uet son
adjoint U+. Calculer UU+. Conclusion ? Mettre Hsous forme diagonale grâce à U.
Matrices de Pauli
Soit Eun espace vectoriel à deux dimensions muni d’un produit scalaire hermitien et d’une base
orthonormée b:|1〉,|2〉.

2
1.- On considère l’opérateur dont la matrice dans la base bs’écrit :
σ2=0−i
i0
Quelle est la nature de σ2? Calculer ses valeurs propres et les vecteurs propres correspondants
(donner leur développement normé sur bet les
bras associés).
2.- Calculer les éléments de matrice représentant dans bles projecteurs sur les vecteurs propres de
σ2. Vérifier qu’ils satisfont une relation de fermeture.
3.- Les matrices de Pauli sont définies de la manière suivante :
σ1=0 1
1 0σ2=0−i
i0σ3=1 0
0−1
Vérifier que
σiσj+σjσi=2δi j1
1
1
σiσj−σjσi=2i
3
X
k=1
ǫi jk σk
avec
ǫi jk =
0 si 2 des indices sont égaux
1 si la permutation des 3 indices est paire
−1 si la permutation des 3 indices est impaire
Projecteurs
On considère un espace vectoriel Emuni d’un produit scalaire hermitien. On appelle |ϕn〉les
vecteurs propres d’un opérateur linéaire hermitien ˆ Het on suppose qu’ils forment une base or-
thonormée discrète de E. On définit l’opérateur
ˆ
U(m,n) = |ϕm〉〈ϕn|
1.- Calculer l’adjoint ˆ U†(m,n)de ˆ U(m,n).
2.- Calculer le commutateur [ˆ H,ˆ U(m,n)].
3.- Démontrer que :
ˆ
U(m,n)ˆ U†(p,q) = δnq ˆ U(m,p)
4.- Calculer Tr ˆ U(m,n).
5.- Soit ˆ Aun opérateur, d’éléments de matrice Am
nsur la base |ϕn〉. Montrer que :
ˆ
A=X
m,n
Am
nˆ
U(m,n)
6.- Montrer que :
Ap
q=Tr {ˆ
Aˆ U†(p,q)}