Formalisme quantique.

VII) Formalisme Quantique
Certains états quantiques ne peuvent être décrits par une fonction d’onde
telle que nous les avons vues (le spin par exemple). Le formalisme doit être
généralisé de manière a pouvoir décrire tous les systèmes.
En mécanique ondulatoire : L’état du système est décrit par une
fonction d’onde.
Dans le formalisme général : L’état du système est décrit par un
vecteur d’état faisant partie de l’espace des états du système.
Les vecteurs d’état peuvent être associés à une fonction d’onde, mais ce
n’est pas obligatoire.
Le formalisme quantique se retrouve basé sur les règles du calcul vectoriel
dans l’espace des états.

1) Notation de Dirac

Un vecteur quelconque de l’espace des états, ε , est appelé vecteur-ket ou
plus simplement ket. On le note par le symbole , en mettant à
l’intérieur un signe distinctif permettant de le différencier des autres états.
Par exemple, si le ket est associé à un état décrit pas une fonction ψ (r), on
pourra le noter :
ψ
: ket psi
A tout vecteur-ket de ε, correspond un vecteur dans l’espace dual ε* que l’on
nomme vecteur-bra ou bra.
Les fonctions que l’on manipulait en mécanique ondulatoire étaient
complexes. On admettra qu’il existe un espace dual, ε*, de l’espace des
états dont les vecteurs d’états peuvent être associés aux fonctions complexes
conjuguées des fonctions associées aux vecteurs d’état de ε.
ψ
: bra psi NB : En anglais, bracket
signifie crochet.

Quelques propriétés :
-Si λest un complexe et |ψ> un ket de ε, alors λ |ψ> est également un ket de ε
que l’on peut noter | λ ψ> .
-Le bra associé à λ |ψ> est λ* <ψ| où λ* est le complexe conjugué de λ.on peut le
noter < λ ψ|.
Attention, on a donc < λ ψ| = λ* <ψ|
Produit scalaire :
Le produit scalaire de deux kets |ψ> et |ϕ> est noté < ψ | ϕ >
On a les propriétés suivantes
< ψ | ϕ > = < ϕ | ψ >*
< ψ | λ
1
ϕ
1
+ λ
2
ϕ
2
> = λ
1
< ψ | ϕ
1
> + λ
2
< ψ | ϕ
2
>
< λ
1
ϕ
1
+ λ
2
ϕ
2
| ψ > = λ
1
*< ϕ
1
| ψ > + λ
2
*< ϕ
2
| ψ >

Normalisation et orthogonalité
'
* 1
tout l espace
dv
ψ ψ
=
∫
ij
espaceltout
ji
dv δψψ =
∫
'
*
Mécanique ondulatoire Formalisme quantique
< ψ | ψ >=1
normalisation
othonormalité <
ψ
i|
ψ
j>=
δ
ij
La notation de Dirac est plus « légère »