MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 4

MECANIQUE QUANTIQUE
Chapitre 4 :
Formalisme mathématique de
la mécanique quantique
Pr. M. ABDABD-LEFDIL
Université
Université Mohammed VV- Agdal
Faculté
Faculté des Sciences
Département de Physique
Anné
Année universitaire 0707-08
Filiè
Filières SMSM-SMI
1
Introduction
L’objectif de ce chapitre:
Donner une vue d'ensemble des outils mathématiques de
base utilisés en mécanique quantique.
Regrouper les diverses notions utiles en mécanique
quantique en insistant particulièrement sur la commodité des
notations de Dirac.
Connaître des notions sur l'espace des fonctions d'onde,
Comprendre le concept d'état d'un système physique et
l'espace des états du système,
Savoir utiliser les notations de Dirac et faire des
manipulations sur les kets, les bras et les opérateurs.
2
1
I- Espace de fonctions
d’ondes L2
L'interprétation probabiliste de la fonction d'onde ψ(x,t)
d'une particule a été donnée au chapitre 2.
→
∫∫∫ ψ( r ,t)
2
d3r
représente la probabilité pour que, à
l'instant t, la particule soit trouvée dans le
volume d 3 r = dxdydz
la probabilité totale de trouver la
particule dans tout l'espace
étant égale à 1, on doit avoir :
∫∫∫
autour du point r.
→
ψ( r , t)
2
d 3r = 1
espace
Ainsi, on étudiera l’ensemble des fonctions de carré
sommable pour lesquelles l’intégrale ci-dessus converge.
3
- Étant donné la signification attribuée à la densité de
probabilité, les fonctions d'onde effectivement utilisées
possèdent certaines propriétés de régularité:
- Des fonctions partout définies, continues, et même
indéfiniment dérivables (par exemple, affirmer qu'une fonction
est vraiment discontinue en un point donné de l'espace n'a
aucun sens physique).
- Des fonctions d'onde à support borné (on est sûr que la
particule se trouve dans une région finie de l'espace).
4
2
1- Définition de L2 :
L2 est l'espace des
fonctions de carrés
sommables
(intégrables).
ℜ3 , ℜ + → C
→
→
( r , t ) → ψ( r , t )
→
∫∫∫ ψ( r , t )
2
d3r est finie
2- Caractéristiques de L2 :
L2 a une structure d’espace vectoriel sur le corps
des nombres complexes
Si : ψ1 ∈ L2 et ψ 2 ∈ L2
(λ1, λ 2 ) ∈ C2 , alors : ψ = λ1ψ1 + λ 2ψ 2 ∈ L2
2
2
2
2
ψ ∈L2 ⇔ λ1 ψ1 + λ2 ψ2 + λ∗1λ2ψ1∗ψ2 + λ1λ∗2ψ1ψ∗2
5
Les 2 derniers termes λ∗1λ2ψ1∗ψ2 + λ1λ∗2ψ1ψ∗2 ont la même
même
amplitude.
2
2
On peut les majorer par λ 1 λ 2 ψ 1 + ψ 2 .
(
)
ψ est alors une fonction dont l'intégrale converge,
puisque ψ1 et ψ2 sont de carré sommable.
6
3
3- Produit scalaire dans L2 :
A tout couple de 2
fonctions ψ1 et ψ2 pris
dans cet ordre, on
associe un nombre
complexe, noté (ψ1,ψ2)::
ψ1 ∈L2 et ψ2 ∈L2
→
→
(ψ1, ψ2 ) = ∫∫∫ψ ( r , t) ψ2( r , t) d3r
∗
1
Propriétés du produit scalaire:
(ψ1, ψ2 ) = (ψ2, ψ1 )∗
(ψ, ψ ) > 0. Si (ψ, ψ ) = 0 alors ψ = 0
(λ1ψ1, λ 2ψ2 + λ3ψ3 ) = λ∗1λ 2 (ψ1, ψ2 ) + λ∗1λ3 (ψ1, ψ3 )
(ψ1, ψ2 ) = (ψ2, ψ1 ) = 0 : ψ1 et ψ2 sont orthogonales
(ψi, ψi ) = 1: ψi est normée
L2 muni du produit scalaire défini comme cici-dessus a
7
une structure d'espace d'Hilbert.
II- Opérateurs linéaires:
Un opérateur linéaire A est, par définition, un être
mathématique qui, à toute fonction ψ appartenant à L2, fait
correspondre une autre fonction de L2 notée ϕ, la
correspondance étant linéaire :
→
→
A ψ ( r , t) = ϕ( r , t) avec ψ ∈ L2 et ϕ ∈ L2
On a aussi:
A(λ1ψ1 + λ2ψ2 ) = λ1(Aψ1) + λ2 (Aψ2 )
Exemples:
1- Opérateur parité A=π:
πψ ( x, y, z ) = ψ( − x,− y,− z )
2- Opérateur multiplication par x, que nous désignerons par X:
Xψ ( x, y, z ) = xψ ( x, y, z )
3- Opérateur dérivation par rapport à x:
Dxψ(x, y, z) =
∂ψ(x, y, z)
∂x
8
4
Des opérateurs comme X et Dx, agissant sur une fonction ψ de L2,
peuvent la transformer en une fonction qui n'est plus
nécessairement de carré sommable.
Produit d’opérateurs:
Soient deux opérateurs linéaires A et B. leur produit AB
→
→
→
Est défini par:
AB ψ ( r , t) = A (B ψ ( r , t)) = A ϕ( r , t)
On fait d'abord agir B sur ψ, ce qui nous donne une fonction ϕ,
ensuite A sur la fonction ϕ.
En général:
→
→
AB ψ ( r , t) ≠ BA ψ ( r , t))
On définit le commutateur [A,B] par: [A,B]=AB - BA
Exemple:
∂  h ∂  h
h
[
]
=
X
,
=
X
,
D
=
x − 1 = ih
x
9
i ∂ x  i  ∂ x  i
i
[X, Px ] =  X, h

III- Bases orthonormées complètes de L2
Suivant les cas, on aura à utiliser soit une base à indice
discret, soit une base à indice continu.
a) Cas d'une base discrète :
Soit Ui(x) un ensemble de fonctions appartenant à L2
où i = 1,2,…n. n peut être fini ou infini.
i) L'ensemble des Ui(x) est dit orthonormé si :
(u (x),u (x)) = ∫ u (x),u (x) dx = δ
i
j
∗
i
On rappelle que:
j
ij
Relation d’orthonormalisation
1 si i = j
δij = 
0 si i ≠ j
ii) L'ensemble des Ui(x) est dit complet si :
∀ ψ ∈ L2 : ψ(x) = ∑ c i ui ( x ) avec c i ∈ C
i
10
5
ψ se décompose suivant les Ui(x) de manière unique.
Cherchons l'expression de Ci. Projetons ψ(x) sur Uj(x), c'est-à-dire :
(u (x),ψ(x)) = ∫ u (x) ψ(x) dx = ∫u (x) ∑c u (x) dx
∗
j
j
∗
j
i i
i
(u (x),ψ(x)) = ∑c ∫u (x) u (x) dx = ∑c δ
j
∗
j
i
i
i
i
ij
= cj
i
iii) Relation de fermeture :
On a:


ψ(x) = ∑∫ ui∗(x' ) ψ(x' ) ui (x) dx'= ∫ ψ(x' )∑u∗i (x' ) ui (x) dx'
i


∑u (x' ) u (x) = δ(x − x' )
∗
i
Par conséquent, on a:
i
i
C’est la relation de fermeture
11
La relation de fermeture signifie que ψ(x) se décompose de
manière unique suivant la base des Ui(x).
ψ1 ∈L2 et ψ2 ∈L2
ψ1 = ∑ai ui (x) : ψ1∗ = ∑ai∗ ui∗(x) et ψ2 = ∑bj uj (x) :
i
i
i
Calculons le produit scalaire (ψ1,ψ2)
+∞
(ψ1,ψ2 ) =
∫ ∑a
∗
i
−∞ i
ui∗(x)∑bj uj (x) dx
j
+∞
(ψ1,ψ2 ) = ∑∑a b ∫ ui∗(x)uj (x) dx = ∑∑ai∗bjδij
∗
i j
i
j
(ψ1,ψ2 ) = ∑ai∗bi
i
-∞
i
j
12
6
b) Cas d'une base continue :
Soit vα(x) un ensemble de fonctions repéré par indice a continu
α ∈ℜ
L'ensemble des vα(x) forme une base si :
i) L'ensemble des vα(x) est dit orthonormé si :
+∞
(vα (x),vβ (x)) = ∫ v∗α (x)vβ (x) dx = δ(α − β)
-∞
ii) Relation de fermeture:
+∞
(vα (x),vα (x' )) = ∫ v∗α (x)vα (x' ) dα = δ(x − x' )
-∞
13
Remarque :
(vα (x),vα (x' )) = δ(0) = ∞
Même si vα(x) ∉ L2on peut décomposer ψ
base:
∈L2 suivant cette
ψ(x) = ∫ c(α) v α (x)dx où c(α) = (v α (x),ψ(x))
C(α) n'est autre que la composante de ψ(x) suivant vα(x).
iii) Produit scalaire :
ψ1 ∈L2 et ψ2 ∈L2
ψ1(x) = ∫ a(α) vα (x) dα : ψ1∗(x) = ∫ a∗(α) v∗α (x) dα
et ψ2(x) = ∫ b(β) vβ(x) dβ
14
7
(ψ1,ψ2 ) = ∫∫∫ a∗(α) v∗α (x) dα b(β) vβ (x) dβ dx
xαβ
⇔ (ψ1,ψ2 ) = ∫∫ a∗(α) b(β) δ(α - β) dα dβ
αβ
⇔ (ψ1,ψ2 ) = ∫ a∗(α) b(α) dα
α
Cas où ψ1=ψ2:
(ψ1, ψ1) = ∫ a∗ (α) a(α) dα = ∫ a(α) dα
2
α
15
Exemples de bases continues :
i) Base continue de Fourier - Base des ondes planes:
i
1 −hp x
vp(x) =
e
2πh
Exercice: vérifier les relations d’orthonormalisation et de
Fermeture?
Par conséquent, quelle que soit ψ(x) appartenant à L2, on peut
la décomposer en une combinaison d’ondes planes.
i
− px
1
h
c
(
p
)
e
dp
ψ(x) = ∫ c(p) vp (x) dp =
∫
2πh
C(p) n’est autre que
la T.F.(ψ(x)):
i
+ px
1
h
c(p) =
ψ
(
x
)
e
dx
∫
2πh
16
8
Base continue de Fourier à 3 dimensions
3
2
i→→
− p. r
h
 1 
vp ( r ) = 
 e
 2πh 
→
→
∫∫∫v ( r )v
∗
p
p'
→
→
→
→
( r ) d r = δ(p− p' )
3
→
→
→
∫∫∫v ( r )v ( r ' ) d p = δ( r − r ' )
∗
p
3
p
→
→
→
ψ( r ) = ∫∫∫ c(p ) v p ( r ) d3p
→
→
→
c(p ) = ∫∫∫ v ( r ) ψ( r ) d3r
ii) Base de Dirac:
∗
p
17
vα(x) = δy(x) = δ(y − x)
On vérifie aisément les relations d’orthonormalisation et de
fermeture. Par conséquent, quelle que soit ψ(x) appartenant à
L2, on peut la décomposer en une combinaison de « fonction »
de Dirac.
ψ(x) = ∫c(y) δ(y − x) dy
Une fonction d'onde ψ(x) représentant un état physique doit
Appartenir à L2. ψ ∈ L2
On définit une représentation par le choix d'une base
orthonormée et complète sur laquelle on développera la
fonction d'onde ψ.
Cette base peut être soit à indice discret, soit à indice
18
continu.
9
IV- Notation de Dirac
Introduction
Nous avons reporté dans le paragraphe III qu'une même
fonction peut être représenté par plusieurs ensembles
distincts de composantes, correspondant chacun au choix
d'une base.
Nous nous trouvons alors dans une situation analogue à
celle que l'on connaît bien pour l'espace ordinaire R3.
→
i
Banach, Fréchet et Hilbert ont eu l'idée d'employer un
langage géométrique pour résoudre des problèmes
d'analyse en considérant des fonctions comme des
vecteurs appartenant à des espaces appropriés (abstraits).
De ce fait, Dirac a transposé cette idée aux fonctions ψ(x)::
tout état quantique d'une particule sera caractérisé par un
vecteur d'état appartenant à un espace abstrait ξ, appelé
espace des états d'une particule.
19
En réalité, l'introduction des vecteurs d'état et de l'espace des
des
états n'apporte pas seulement une simplification du
formalisme. Elle permet aussi sa généralisation.
En effet, il existe des systèmes physiques dont la description
quantique ne peut pas se faire à partir d'une fonction d'onde:
Nous verrons que c'est le cas, même si l'on a affaire à une
seule particule, lorsque l'on tient compte des degrés de liberté
de spin.
spin.
Nous allons donc, dans le reste de ce chapitre, développer le
calcul vectoriel dans ξ. Les notions que nous allons introduire
et les résultats que nous obtiendrons sont valables quel que
soit le système physique considéré.
20
10
Vecteur ket et espace
des états
on a vu que :
- Ci = (Ui(x), ψ(x))
- C(α
C(α) = (vα(x), ψ(x))
→
i
base discrète
base continue
Ceci est analogue à la représentation d'un vecteur usuel
suivant une base, par exemple :→ →
V . i = Vx
Un élément quelconque, ou vecteur, de l'espace ξ est appelé
vecteur ket, ou plus simplement ket. On le note par le symbole
en mettant à l'intérieur un signe distinctif permettant de
caractériser le ket correspondant par rapport à tous les autres,
par exemple : ψ
21
Maintenant, nous allons définir l'espace ξr des états d'une particule
en associant à toute fonction d’onde de carré sommable →
ψ( r , t ) ∈ L2
un vecteur ket ψ ∈ ξ r
En résumé:
→
ψ( r , t ) ∈ L2 ⇔ ψ ∈ ξr
Nous désignerons par ξx l'espace des états d'une particule (sans
spin) à une seule dimension, correspondant à des fonctions
d'onde dépendant de la seule variable x.
Insistons sur le fait qu'il n'apparaît plus dans ψ de dépendance
par rapport à r mais seulement la lettre ψ qui rappelle à quelle
fonction il est associé :
→
→
ψ( r ) sera interprétée comme l'ensemble des composantes de ψ
22
11
Par convention |ψ> sera représenté par une matrice (ou vecteu
colonne) contenant les composantes de |ψ> dans la base
correspondante. Par exemple:
ψ( x ) = ∑ c i ui ( x ) → ψ = ∑ c i ui avec i ∈ N∗
i
i
ψ(x) = ∫ c(α) vα (x) dα → ψ = ∫ cα α dα avecα ∈ℜ
ψ




= 





c
1
c
2
.
.
c
.
n










ψ
Base discrète B.D.
 c (α 1) 


 c (α 2 )


.

= 

.


n
 c (α ) 

.


Base continue B.C.
23
Vecteur bra et l’espace dual
des états
A tout vecteur ket |ψ> de ξ , on associera un vecteur dit
vecteur bra, noté <ψ
<ψ| appartenant à un espace appelé
appelé
espace dual de ξ et qu’on note ξ∗.
Là les composantes du vecteur bra seront représentées
par une matrice ligne contenant les composantes
conjuguées des coordonnées de |ψ>.
(
)
ψ = c1∗, c ∗2 ,.., c ∗n ,..
(
)
ψ = c∗(α1),c∗(α2 ),..,c∗(αn ),..
B.D.
B.C.
<ψ| et |ψ> sont adjoints l'un de l'autre, ou encore <ψ| est le
transposé conjugué de |ψ> et vis versa.
Remarque: En anglais, le symbole < | > est appelée « bracket »
(c’est-à-dire crochet), d’où l’appellation Bra pour la partie
gauche et< | , et ket pour la partie droite | >.
24
12
Correspondance entre |ψ> et <ψ|
Soit λ ∈ C,
ψ ∈ ξ → ψ ∈ ξ∗
λ ψ ∈ ξ → ψ λ∗ ∈ ξ∗
λ1 ψ1 + λ2 ψ2 ∈ ξ → ψ1 λ∗1 + ψ2 λ∗2 ∈ ξ∗
25
Produit scalaire en notation
de Dirac
Le produit scalaire de kets |ψ1>
par |ψ2> est noté par:
ψ 2 ψ1
Propriétés du produit scalaire:
ψ 2 ψ1 = ψ1 ψ 2
∗
ψ ψ > 0. Si ψ ψ = 0 alors ψ = 0
λ1ψ1 λ 2ψ 2 + λ 3ψ 3 = λ∗1λ 2 ψ1 ψ 2 + λ∗1λ 3 ψ1 ψ 3
ψ 2 ψ1 = ψ1 ψ 2 = 0 : ψ1 et ψ 2 sont orthogonales
ψi ψi = 1: ψi est normée
26
13
Choix d'une représentation
Choisir une représentation, c'est choisir une
base orthonormée, discrète ou continue, dans
l'espace des états ξ.
Les vecteurs et opérateurs sont alors
représentés dans cette base par des nombres :
composantes pour les vecteurs, éléments de
matrice pour les opérateurs.
Le calcul vectoriel devient alors le calcul
matriciel sur ces nombres.
Le choix d'une représentation est en principe
arbitraire. Dans chaque cas, on l'effectue de
façon à simplifier au maximum les calculs.
27
Relations d’orthonormalisation en
notation de Dirac
Un ensemble discret {|u
{|ui>}, ou continu {|v
{|vα>}, de kets est
dit orthonormé si les kets de cet ensemble satisfont à
la relation d'orthonormalisation:
ui uj = δij
vα vα' = δ(α − α' )
On note que <vα|vα> n’existe pas. Les {|v
{|vα>} ont une norme
infinie et n’appartiennent donc pas à ξ.
28
14
Relations de fermeture
en notation de Dirac- cas discret
Un ensemble discret {|ui>}de kets constitue une
base si tout ket |ψ> de ξ, peut être développé
d'une façon et d'une seule suivant les {|ui>}.
ψ = ∑ c i ui , calculons la projection de ψ sur u j :
i
u j ψ = ∑ c i u j ui =∑ c i δij = c j
i
i
D' où : ψ = ∑ c i ui = ∑ ui ψ ui
i
⇔
i
ψ = ∑ ui ui ψ = ∑ ui ui ψ
i
i
⇔


ψ = ∑ ui ui  ψ
 i

⇔


1I = ∑ ui ui  :
 i

C’est la relation
de fermeture
29
Relations de fermeture
en notation de Dirac- cas continu
Un ensemble continu {|v
{|vα>}, de kets constitue une base si
tout ket |ψ
|ψ> de x peut être développé d'une façon et d'une
seule suivant les {|v
{|vα>}.
ψ = ∫ c(α ) v α dα, calculons la projection de ψ sur v α ' :
v α ' ψ = ∫ c(α ) v α ' v α dα = ∫ c(α ) δ(α − α' ) dα = c(α' )
D' où : ψ = ∫ c(α ) v α dα = ∫ v α ψ v α dα
⇔
⇔
⇔
ψ = ∫ vα
v α ψ dα
ψ =
v α dα ψ
[∫ v
1I = [∫ v
α
α
vα
]
dα ] :
C’est la relation de
fermeture
1I désigne l'opérateur identité dans ξ
30
15
Equation de Schrodinger avec la
notation de Dirac:
Equation dépendante du temps:
ih
∂
ψ =Hψ
∂t
Equation indépendante du temps:
Hφ =Eφ
31
V- Représentation de A
par une matrice «carrée»
1- Définition :
On peut définir les opérateurs linéaires dans ξ
comme on l'a fait dans L2 (paragraphe II).
Supposons qu'à chaque ket |ψ> de ξ
corresponde un certain ket |ψ'> de ξ. On dira que
|ψ'> résulte de l'action d'un opérateur A sur |ψ>.
Si de plus cette correspondance est linéaire,
l'opérateur A ainsi défini est un opérateur
linéaire:
A|ψ> = |ψ'>
32
16
2- Propriétés et opérations :
i) A est nul si |ψ'> = 0, quel que soit |ψ> :
<ψ|A|ψ> = 0
ii) A et B sont égaux si <ψ|A|ψ> = <ψ|B|ψ>
∀
iii) Si la correspondance entre |ψ> et |ψ'> est
biunivoque, elle définit deux opérateurs linéaires A
et B : |ψ'> = A|ψ> et |ψ> = B|ψ'>
A et B sont alors par définition inverses l'un de
l'autre.
|ψ'> = A|ψ> = A(B|ψ'>)
|ψ> = AB|ψ>
AB = 1
33
iv) La somme des opérateurs linéaires est
commutative et associative :
A+B=B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
v) Le produit est associatif et distributif par rapport
à l'addition :
A(BC) = (AB)C
A(B + C) = AB + AC
vi) Le produit n'est pas commutatif (en général)
AB - BA = [A,B] commutateur
Si [A,B] = 0:
on dit que A et B commutent.
34
17
Opérations :
i) Soit λ un nombre complexe et A un opérateur
λ1A1|ψ1> = A1(λ1|ψ1>)
<ψ2|A2λ2 = λ2 <ψ2|A2
ii) A, B deux opérateurs tel que : S = A + B
S|ψ> = (A + B) |ψ>
= A|ψ> + B|ψ>
<ψ|S = <ψ|A + <ψ|B
iii) P = AB
P|ψ> = (AB)|ψ> = A(B|ψ>) = A|ψ'> = |ψ">
<ψ|P = <ψ|(AB) = (<ψ|A)B = <ψ1|B = <ψ2|
35
Remarques :
- On dit aussi que A et B sont inverses l'un
de l'autre si AB = BA = 1
car |ψ> = B|ψ'> = B(A|ψ>)
|ψ> = BA|ψ> ⇔ 1 = BA
AB = BA = 1 ⇔ [A,B] = 0
- L'inverse d'un opérateur A n'existe pas
toujours. Lorsqu'il existe, on le note A-1.
- Si deux opérateurs A, C possèdent chacun
un inverse, le produit AC possède un
inverse tel que : (AC)-1 = C-1A-1.
36
18
3- Représentation matricielle d'un opérateur :
On a vu que :|ψ
:|ψ> = Σ Ci |Ui>
où {|Ui>} forme une base orthonormée complète dans ξ.
Appliquons un opérateur A à |ψ
|ψ> tel que :
ψ' = A ψ
ψ =
∑c
i
ui
ψ' =
et
i
∑c
'
j
uj
j
c 'j = u j ψ ' =
∑c
i
u j A ui
i
=
∑c A
i
ji
i
c 1' = c 1A 11 + c 2 A 12 + c 3 A 13 + ... + c n A 1n
37
ψ' = A ψ
⇔
 c 1'   A 11 A 12 A 13 ... A 1n ..   c 1 
  
 
 c '2   A 21 A 22 A 23 ... A 2 n ..   c 2 
  
 . 
.  = .
 
.  .
 . 
 '  
 
 c n   A n 1 A n 2 A n 3 ... A nn ..   c n 
 . 
  .
.
 

 
38
19
4- Calcul de <ψ2|A|ψ1> :
ψ1 = ∑ ai ui et
ψ2 = ∑ bj uj
i
j
ψ 2 A ψ1 = ∑∑ aib∗j u j A ui = ∑∑ aib∗j A ji
i
j
i
j
5- Exemple d'opérateur linéaire : opérateur de
projection ou projecteur :
Soit |ψ> appartenant à ξ tel que <ψ|ψ> = 1
<ψ| de ξ*. On définit l'opérateur projecteur par :
Pψ = |ψ> <ψ|
i- Pψ |ψ1> = (|ψ> <ψ|) |ψ1>= |ψ> <ψ|ψ1> = λ |ψ>
ii- P2ψ = Pψ Pψ = (|ψ> <ψ|) (|ψ> <ψ|) = |ψ> <ψ|ψ> <ψ|
= |ψ> <ψ|= Pψ
D'où: une projection est équivalente à deux projections.
39
VI- Opérateurs adjoints :
1- Définition :
Deux opérateurs A et B sont dits adjoints l'un de
l'autre si leurs matrices représentatives (dans un
représentation bien définie) sont adjointes l'une
de l'autre.
Notation: L'adjoint de A est noté A+ et l'adjoint
de B est noté B+.
Exemple 2 matrices adjointes
l'une de l'autre :
Aij = ui A uj
A∗ji = uj A ui
+
∗
ui A uj = uj A ui
∗
 a1
A = 
 a3
 a1∗
+
A = ∗
a
 2
a2 

a 4 
a ∗3 

∗ 
a4 
40
20
D'une manière générale, l'adjoint A+ de A est défini par :
<ψ2|A+|ψ1> = (<ψ1|A|ψ2>)*
2- Propriétés :
Soit λ un nombre complexe. A et B sont des opérateurs.
i) (λA)+ = (λA)*T
conjugué du transposé
= λ*T A*T = λ* A+
ii)
(A + B)+ = A+ + B+
iii)
(AB)+ = B+A+
iv)
(A+)+ = A
v) Un opérateur A est dit unitaire s'il est l'inverse de
son propre adjoint : AA+ = A+A =1
Le produit C = AB (tel que A,B soient unitaires) est
aussi unitaire.
41
Règle importante :
Pour obtenir l'expression adjointe d'une expression
quelconque (contenant des nombres complexes, des
opérateurs, des ket et bra), on procède de la façon
suivante :
i) On inverse l'ordre des termes.
ii) Les bra deviennent ket et les ket deviennent bra.
Les complexes deviennent complexes conjugués et les
opérateurs deviennent opérateurs adjoints.
Exemple :
Soit: λ un nombre complexe.
complexe.
A, B, C et D sont des opérateurs. |ψ
|ψ1> et <ψ
<ψ2|
λ ABCD |ψ
|ψ1><ψ
><ψ2| a pour expression adjointe :
|ψ2><ψ
><ψ1| D+C+B+A+ λ*
42
21
VII/ Opérateur hermitique
(ou auto-adjoint) :
1- Définition :
A est hermitique si A+ = A
Dans |Ui> : A*ij = A*ji = Aij
2- Exemples:
a) Pψ = |ψ
|ψ><ψ
><ψ|
P+ψ = (|ψ
(|ψ><ψ
><ψ|)+
= |ψ
|ψ><ψ
><ψ| = Pψ
L'opérateur projecteur est hermitique.
b)
1 i 
1 i 
 : A = A +
 et A + = 
A = 
−
−
i
2
i
2




43
3- Définition :
B est dit anti-hermitique si : B+ = -B
Conséquences :
Un opérateur quelconque peut être écrit (et d'une
seule façon) sous la forme d'une somme
d'opérateurs hermitique et anti-hermitique.
A = H A + IA
A + A+
A − A+
Où H A =
et IA =
2
2
On a : H +A = H A et I+A = −IA
44
22
- Toute combinaison linéaire à coefficients réels
d'opérateurs hermitiques est hermitique.
- Le produit AB de deux opérateurs hermitiques n'est
pas nécéssairement hermitique.
(AB)+ = B+A+ = BA
- si BA = AB : A et B commutent, alors (AB)+ = AB
Remarque:
AB=
AB+ BA 1
+ [A,B]
2
2
45
VIII/ Problème de valeurs propres :
1- Définition :
Soit A un opérateur linéaire. Par définition, on dira que le
nombre complexe an est valeur propre de A associé au
vecteur propre |ψ
|ψn> si : A|ψ
A|ψn> = an |ψn>
Exemple :
H|ψ
équation de Schrödinger
H|ψ> = E|ψ
E|ψ>
De même <ψ
<ψ'n|A = a'n <ψ'n|
Soit |ψ
|ψn> un vecteur propre Vp de A avec la vp an .
soit λ un complexe.
λ |ψn> est aussi Vp de A avec la même vp an.
A|λ
A|λ|ψn> = λ(A |ψ
|ψn> )
= λ(an |ψn> ) = an (λ |ψn> )
46
23
Si <ψn| λ* λ | ψn> = 1
λ * λ < ψn | ψ n > = 1
λ* λ = 1
λ = eiθ : facteur de phase
Si deux Vp ne diffèrent que par un facteur de
phase, ils représentent le même état quantique.
47
2- Dégénérescence :
S'il existe plusieurs kets propres linéairement
indépendants relatifs à la même valeur propre an, toute
combinaison linéaire de ces kets est aussi ket propre de
l’opérateur A relatif à la même vp an.
En d'autres termes, l'ensemble des kets propres de A
(relatifs à une valeur propre donnée an) forme un espace
vectoriel que l'on appelle sous espace relatif à la vp an.
Distinguons deux cas :
a) Si ce sous espace n'a qu'une dimension, on dira que la
vp an n'est pas dégénérée. En effet, à une vp correspond
un Vp seul .
b) Si ce sous espace est de dimension gn, on dira que la
vp est dégénérée gn fois.
gn est appelé ordre de dégénérescence de la vp an.
A|ψin> = an | ψin >
où i = 1, 2, …gn
48
24
3- Remarques :
a) gn peut être infini.
b) Le texte énoncé en 2) est valable aussi pour les bra
propres de A.
c) Si A est un opérateur quelconque, il n'existe pas de
relation simple entre le problème de valeurs propres relatif
aux ket et celui relatif aux bra.
Par contre, ces deux problèmes sont étroitement liés si A
hermitique, ce qui est un cas d'interêt pratique. En effet, si
A est hermitique (A = A+), on a :
i) Les deux spectres de vp de A sont identiques.
Langage: L'ensemble des vp d'un opérateur A est appelé
spectre de A.
ii) Toutes les vp sont réelles. En effet : A = A+ et
A|ψ
A|ψn> = an | ψn > et < ψn |A| ψn > = an < ψn|ψn >
iii) Tout bra conjugué d'un ket propre de A est bra
propre relatif à la même valeur propre et inversement.
Autrement dit, le sous espace des bra propres relatifs
à une valeur propre donnée est le dual du sous espace des
kets propres relatifs à la même vp.
49
Les Vp relatifs à des vp d'un opérateur
hermitique sont orthogonales.
En effet, soit A opérateur hermitique A = A+
Soient: A|ψ
A|ψ
A|ψ1> = a1 | ψ1 > et
A|ψ2 > = a2 |ψ2 >
avec a1 différente de a2
< ψ2 |A = < ψ2 |a2 = a2< ψ2 |
⇔ < ψ2 |A|
|A| ψ1 > = a2< ψ2 | ψ1 >
⇔ < ψ2 |A| ψ1 > = a1< ψ2 | ψ1 >
(a2 - a1) (<
(< ψ2 | ψ1 >) = 0
Comme (a2 - a1) est différent de zéro: < ψ2 | ψ1 >) = 0
| ψ1 > et | ψ2 > sont alors orthogonaux
50
25
4- Equation caractéristique d'un opérateur:
Soit un opérateur tel que : A|ψ> = a|ψ>.
ψ = ∑ci ui
i
A ψ = a∑ci ui et A ψ = ∑ci A ui
i
i
On multiplie par le bra <uj|, on obtient:
a∑ci uj ui = a∑ci δ ji 

i
i

et ∑ci uj A ui = ∑ci A ji 
i
i

∑c (A
i
ji
− a δ ji ) = 0
i
51
Si i = 1, 2, …, n, on est en présence d'un
système linéaire à n inconnues, il aura pour
solution (autre que Ci = 0):
Det (A - a Ι) = 0
Ι est la matrice unité.
C’est l’équation caractéristique de l'opérateur A
ou équation aux valeurs propres dont les
solutions sont les vp a.
52
26
IX/ Observables:
1- Définition :
Une observable est un opérateur hermitique dont
le système de Vp forme une base orthonormée
complète dans l'espace des états.
i = 1, 2,…, gn
A|Uin> = an |Uin>
(gn degré de dégénérescence)
i = 1, 2,…, gn
On a : <Uin|Uin’> = δnn‘
nn‘
A l'intérieur du sous espace de an (qu'on notera
ξn), on peut choisir les |Uin> tel que : <Uin|Ujn> = δij
d'où:
<Uin|Ujn’> = δij δnn'
53
L'ensemble des | Uin> est complet :
gn
∑∑
i =1
n
u in u in = 1
Soit Pn: projecteur sur le sous espace ξn
Pn =
∑
gn
∑
i=1
u in
u in
Pn = 1
n
54
27
2- Exemples d'observables :
a) Projecteur :
Pψ = |ψ
|ψ> <ψ
<ψ|
b) Opérateur position X :
Soit |ψ
tel que
X|ψ
|ψ> de ξ
X|ψ> = |ψ
|ψ'> de ξ
Dans la représentation {|x>} (base de Dirac),
X vérifie : <x|X|ψ
<x|X|ψ> = x<x|ψ
x<x|ψ> = x ψ(x)
i) Montrer que X est hermitique :
<ϕ|X|ψ
|X|ψ> = <ψ
<ψ|X|ϕ
|X|ϕ>*
ii) Chercher les vp de X:
X|x'> = λ|x'>
x
λ=x’
<x| …
Conclusion :
L'opérateur X appelé aussi opérateur position est
55
donc une observable.
c) Opérateur impulsion P :
Soit |ψ> de ξ tel que
P|ψ> = |ψ'> de ξ
1) Dans la représentation {|p>} : base de Fourier
<p|P|ψ> = p <p|ψ>=p ψ(p)
i) Montrer que P est hermitique :
<ϕ|P|ψ> = <ψ|P|ϕ>*
ii) Chercher les vp d P
2) Dans la représentation {|x>}
Calculons <x|P|ψ> et introduisons la relation de
fermeture:
∫
p
p
dp = 1
56
28
x P
ψ
=
=
∫
x
p
p
1
2 π h
∫
e
P
ipx
h
ψ
p
dp
p
ψ
dp
ipx
x P
x P
x P
D ' où
1
e h p ψ ( p ) dp
∫
2 π h
∂
h ∂ ψ ( x )
h
ψ
=
=
x ψ
∂ x
i
i ∂ x
∂
h
ψ
=
ψ
x
i ∂ x
∂
h
: P →
i ∂ x
ψ
=
Conclusion: P est hermitique et {|p>} forme une
base orthonormée et complète, alors l’opérateur
impulsion P est une observable.
57
3- Fonctions d'observables :
Soit A|ψ
A|ψ> = a|ψ
a|ψ> A est une observable
Toute fonction f(a) des valeurs propres a d'une observable A
permet de définir un opérateur linéaire fonction de cette
observable.
Par définition :
f(A) |ψ> = f(a) |ψ>
Remarques :
i) Si f est une fonction polynôme, cette définition coïncide
avec celle que l'on obtient par application des règles de
l'algèbre des opérateurs.
ii) Tout Vp de A est Vp de f(A).
iii) Cas de dégénérescence : les Vp de A relatifs à une
même vp a sont aussi Vp de f(A) avec la même vp f(a).
58
29
Exemples :
i) eA eB ≠ eA+ B
ii) eA eB = eB eA
si
[A,B] = 0
iii) X|x> = x|x>
iv) au potentiel V(x), on associe l’observable V(X)
V(X)|x> = V(x)|x>
et
<x'|V(X)|x> = V(x) <x'|x>
= V(x) δ(x' - x)
59
X/ Observables qui commutent et
variables compatibles
:
Considérons deux observables A et B et supposons
que le spectre des vp est discret et qu'elles
possèdent une fonction propre commune |ψn>.
A|ψn> = an|ψn>
B|ψn> = bn|ψn>
Pour que ces deux équations soient vérifiées
simultanément, une condition s'impose :
(AB - BA) |ψn> = [A,B] |ψn> = 0 |ψn> = 0
c'est-à-dire que le commutateur [A,B] a |ψn> comme
Vp correspondant à une vp nulle. En effet :
60
30
AB|ψn> = A (B|ψn>)
= A (bn|ψn>)
= bn (A|ψn>) = bn an|ψn>
BA|ψn> = B A|ψn>= B an|ψn>= anB|ψn>= anbn|ψn>
(AB - BA) |ψn> = 0 = 0 |ψn>
D'une manière générale, on a le théorème suivant : Si
deux observables commutent, elles possèdent un
système de base commun à A et B, et réciproquement.
Langage :
- Un système de base d'une observable donnée est
tout système orthonormé complet de VP de cette
observable.
- Les VP qui diffèrent entre eux par un facteur de
phase ne sont pas considérés comme distincts. Ils
représentent le même état quantique.
61
Signification physique du théorème :
Les variables dynamiques représentées par ces
deux observables qui commutent peuvent être
définies de façon précise simultanément : ce sont
des variables compatibles (ou variables
simultanément mesurables).
Remarques :
X, Px ne sont pas compatibles car [X, PX ] = ih
62
31
Théorème 1 :
Soient |ψ1> et |ψ2> deux vecteurs propres de A tel
que :
A|ψ1> = a1|ψ1>
avec a1 ≠ a 2
A|ψ2> = a2|ψ2>
Si [A,B] = 0, alors <ψ2|B|ψ1> = 0
En effet, calculons
<ψ2|[A,B]|ψ1> = <ψ2|AB - BA|ψ1>
0 = <ψ2|a2B - Ba1|ψ1>
= a2 <ψ2|B|ψ1> - a1 <ψ2|B|ψ1>
= (a2 - a1) <ψ2|B|ψ1>
Or a1 ≠ a 2 : <ψ2|B|ψ1> = 0
63
Théorème 2 :
Si |ψin> est VP de A avec la vp an, alors B|ψin> est
aussi VP de A dans le cas où [A,B] = 0.
Le sous espace ξn est invariant sous l'effet de B.
ξn est l'espace de dégénérescence de an.
En effet :
car A et B commutent
[A,B] |ψin> = 0
A(B|ψin>) - B(A|ψin>) = 0
A(B|ψin>) = an (B|ψin>)
64
32
XI/ E.C.O.C : Ensemble Complet
d’Observables qui Commutent:
1- Définition :
On dit qu'un ensemble A, B, C… d'observables
forme un E.C.O.C si :
i) les observables commutent toutes deux à deux :
[A,B] = [A,C] = [B,C] = … = 0
ii) Si leur système de base commun est défini de
façon unique.
A chaque ensemble de vp a,b,c… d'observables
(A,B,C…), correspond un et un seul Vp commun (à
un facteur de phase près).
65
Ce vecteur propre peut être regardé comme
fonction des vp a,b,c…
Ce vecteur est parfois noté |abc…> ou encore
|ψabc…>
A|abc…> = a |abc…>
A|ψabc…> = a |ψabc…>
B|abc…> = b |abc…>
C|abc…> = c |abc…>
66
33
a) Cas d'une seule observable :
i) Si A est observable et si aucune des vp n'est
dégénérée, alors la donnée de la vp détermine de
manière unique les Vp correspondant.
A forme à elle seule un E.C.O.C.
A|ψn> = an |ψn>
A observable et an non dégénérée: A est un
E.C.O.C
ii) Si an est dégénérée
A|ψin> = an |ψin>
A n'est pas un E.C.O.C.
i = 1, 2,…gn
67
b) Cas de deux observables :
Soient deux observables A, B tel que : [A,B] = 0.
Par diagonalisation de B dans le sous espace
propre an. On détermine les VP communs à A et B
qu'on peut noter {|ψn,p>} ou |np>, avec :
et
B|ψn,p> = bp |ψn,p>
A|ψn,p> = an |ψn,p>
i) Si à {an,bp} correspond un VP unique, alors {A,B}
est un E.C.O.C.
ii) Si an est dégénérée (gn: ordre de dégénérescence)
ou bp est dégénérée (gp: ordre de dégénérescence)
alors {A,B} n'est pas un E.C.O.C.
On prend alors une 3ème observable C tel que :
[A,C] = [B,C] = 0 et on la diagonalise dans ξn,p (ξn,p
sous espace propre de bp).
68
34
2- Remarques :
i) On convient généralement à former un E.C.O.C avec le
minimum d'observables possibles, tel que si on enlève une
observable, cet ensemble cesse d'être un E.C.O.C.
ii) Soit {A,B,C} trois observables formant un E.C.O.C tel que:
B
vp bp et C
vp cq
A
vp an,
Le VP commun et unique sera noté : |ψ
|ψnpq> ou encore
|anbpcq>
iii) Rôle des E.C.O.C dans la détermination de l'état
quantique d'un système : connaître l'état quantique
d'un système, c'est avoir fait sur le système le
maximum de mesures compatibles.
Soit an une vp dégénérée d'une observable A. L'état
quantique du système n'est pas alors parfaitement
connu. On fait intervenir une autre observable
jusqu'à l'obtention de l'E.C.O.C.
69
Exemples :
a- Particule sur un axe ox :
X|x> = x|x>
X est l’observable position
X est un E.C.O.C car à chaque vp correspond un
seul vecteur propre |x>.
b- Particule dans le plan oxy :
X|xy> = x|xy> où y est quelconque
X n'est pas un E.C.O.C car à chaque vp correspond
plusieurs vecteurs propres |xy>
c- {X,Y} est un E.C.O.C
A chaque {x,y} un seul vecteur propre |xy>
{X,Y} une observable position: suivant ox et suivant
70
oy.
35