la norme d`un ket.

Chapitre II : Les outils Mathématiques et le formalisme de la
Mécanique Quantique.
II-1) Les postulats de la Mécanique Quantique.
1-1) Le premier postulat.
A un instant t0 fixé, l’état d’un système physique est défini par
la donnée d’un ket appartenant à l’espace des états E.
)( 0 t
L’espace des états à une structure d’espace vectoriel Hilbertien. (On verra ce
que cela implique) .
Le fait d’appeler les vecteurs d’états « ket » (en Français on devrait dire « chet »)
a été introduit par P. Dirac. Cette notation simplifie considérablement le formalisme
de la Mécanique Quantique.
Remarque : Jusqu’à nouvel ordre, nous omettrons la dépendance en temps d’un
vecteur d’état. On retrouvera cette dépendance lorsque l’on étudiera le sixième
Postulat.

1-1-a) La structure de l’Espace vectoriel des états.
L’espace des états est linéaire
21 et Si
sont deux vecteurs d’état pouvant représenter
le système, ceci implique que tout combinaison linéaire de ces deux
kets est encore un vecteur d’état du système.
C 212211 ,
On doit pouvoir définir la norme d’un ket.
Ce problème est délicat car il nous faut définir un produit scalaire, car
par définition, la norme d’un vecteur est le produit scalaire de ce vecteur par
lui-même. Cette norme est nécessairement réelle.
Dans l’espace Hilbertien, il faut nécessairement définir un espace dual de E
que l’on note E* dans lequel les vecteurs s’appellent les « bras » (en
français on dirait les « crocs ») . On note ces bras de la façon suivante :
*
Le carré de la norme d’un ket est défini par :
RN  0.
2

1-1-b) Le produit scalaire.
On vient du « même coup » de définir le produit scalaire.
Celui-ci est défini par le produit d’un bra par un ket (un braket en anglais,
en français un crochet).
Les règles de constitution de ce produit scalaire doivent être comprises :
-Le produit scalaire du ket par le ket est donné par le produit
du bra par le ket que l’on note :
C ,
-Le produit scalaire du ket par le ket est donné par le produit
du bra par le ket que l’on note :
C * ,
On constate que : , ceci nous permet pour la première
fois de définir la conjugaison hermitique notée (*) :
-Le conjugué hermitique d’un nombre est, tout simplement, son complexe
conjugué.
-Le conjugué hermitique d’un ket est un bra :
-Le conjugué hermitique d’un bra est un ket:
-Dans les expressions de la mécanique quantique, et lors d’une conjugaison
hermitique : Les kets prennent la place des bras , les bras prennent la place
des kets.
*
*
 *
 *

Ainsi :
*
*
*
Exemples de calculs de produits scalaires :
Soit à calculer : , où
,
2211
2211
2
2
*
1
1
*
*
Propriété très importante :
La norme d’un ket est nécessairement réelle :
Si la norme d’un ket est nulle ceci signifie que est le ket du
vide, le ket zéro :
0
*

1-1-c) Les bases de l’Espace des Etats E.
Un ket, représentant l’état d’un système physique, a une existence
propre. Cependant, pour faire des calculs il est nécessaire de le représenter dans une
base. Autrement dit, on doit définir ses coordonnées c’est-à-dire ses
composantes.
Rappel :Vous êtes tous habitués à faire ceci pour l’espace vectoriel
Dans cet espace à 3 dimensions, nous définissons 3 vecteurs de base
tel que :
3
ijji
yzxzzz
zyxyyy
zxyxxx
zyx
uu
uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
uuu
.
0. ; 0. ; 1.
0. ; 0. ; 1.
0. ; 0. ; 1.
,,: Base
ii
i
iizzyyxx
zz
yy
xx
z
y
x
uVc
ucuVuVuVV
uVV
uVV
uVV
V
V
V
V
VV
.
...
.
.
.
3
1
3