Preuves

Preuves chapitre 5 TS 2
1
Compléments sur la dérivation
Preuve 1
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I et un réel x de cet intervalle.
f est donc dérivable en x donc il existe une fonction telle que :
 Pour tout h tel que
Ihx 
on a
)()(')()( hhxhfxfhxf
.
0)(lim0
h h
Alors
)()()(')(lim)(lim 00 xfhhxhfxfhxf hh  
donc f est continue en x, pour tout x.
Donc f est continue sur I.
Preuve 2
On considère la fonction f telle que
xxf )(
pour tout réel x.
 f est continue sur .
 Pour tout réel h non nul
h
h
hfhf 
 )0()0(
 Si
0h
alors
1 h
h
donchh
;
 Si
0h
alors
1 h
h
donchh
;
Donc la limite de
h
h
quand h tend vers 0 n’existe pas donc f n’est pas dérivable en 0.
Preuve 3
Soit a un réel de I. Comme u est dérivable sur I alors elle est dérivable en a.
Donc il existe une fonction telle que :
 Pour tout h tel que
Iha 
on a
)()(')()( hhahuauhau
.
0)(lim0
h h
.
On pose
)()(' hhahuk
.
On a
kauvhauv  )()(
.
Or
0lim0
k h
.
Or v est dérivable sur J donc v est dérivable en u(a).
Donc il existe une fonction telle que :
 Pour tout h tel que
Jkau )(
on a
)()(')())(( kkaukvauvkauv
.
0)(lim0
k k
.
Pour tout h non nul tel que
Iha 
,
hkkaukv havouhavou
ht )()('))(())(( )(
.

Preuves chapitre 5 TS 2
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Or
)()(' hhahuk
donc
)()(' hau
h
k
, donc
)()(')()(')( kauvhauht
.
D’où
)(').(')(lim0auvauht
h
: limite finie.
Cette limite est valable pour tout a de I. Donc vou est dérivable sur I et
)(').(')()'(xuvxuxvou 
pour tout x de I.
Preuve 4
Dérivée de
fu 
.
On a
vouf 
avec
xxv )(
pour tout
0x
. u est dérivable sur J inclus dans I tel que
0u
. v est dérivable sur
;0
.
D’après le théorème sur la dérivée d’une fonction composée, f est dérivable sur J et pour tout
x de J,
)(2
)('
)(2
1
).(')(').(')(' xu
xu
xu
xuxuvxuxf 
. Vrai pour tout x dans J donc
u
u
u2
'
'
.