Preuves

Preuves chapitre 5
TS 2
Compléments sur la dérivation
Preuve 1
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I et un réel x de cet intervalle.
f est donc dérivable en x donc il existe une fonction  telle que :
 Pour tout h tel que x  h  I on a f ( x  h)  f ( x)  hf ' ( x)  h (h) .
 lim  (h)  0
h 0
Alors lim f ( x  h)  lim  f ( x)  hf ' ( x)  h (h)  f ( x) donc f est continue en x, pour tout x.
h 0
h 0
Donc f est continue sur I.
Preuve 2
On considère la fonction f telle que f ( x)  x pour tout réel x.

f est continue sur

Pour tout réel h non nul
.
f (0  h)  f (0) h

h
h
h
1 ;
 Si h  0 alors h  h donc
h
h
 1 ;
 Si h  0 alors h  h donc
h
h
Donc la limite de
quand h tend vers 0 n’existe pas donc f n’est pas dérivable en 0.
h
Preuve 3
Soit a un réel de I. Comme u est dérivable sur I alors elle est dérivable en a.
Donc il existe une fonction  telle que :
 Pour tout h tel que a  h  I on a u (a  h)  u (a)  hu ' (a)  h (h) .
 lim  (h)  0 .
h 0
On pose k  hu ' (a)  h (h) .
On a vu(a  h)  vu(a)  k  .
Or lim k  0 .
h 0
Or v est dérivable sur J donc v est dérivable en u(a).
Donc il existe une fonction  telle que :
 Pour tout h tel que u (a )  k  J on a v(u(a)  k )  vu(a)  kv' u(a)  k (k ) .
 lim  (k )  0 .
k 0
Pour tout h non nul tel que a  h  I ,
(vou)( a  h)  (vou)( a) kv' u (a)   k (k )
t ( h) 

.
h
h
1
Preuves chapitre 5
TS 2
k
 u ' (a)   (h) , donc t (h)  u' (a)   (h)v' u(a)   (k ) .
h
D’où lim t (h)  u ' (a).v' u (a)  : limite finie.
Or k  hu ' (a)  h (h) donc
h 0
Cette limite est valable pour tout a de I. Donc vou est dérivable sur I et
(vou)' ( x)  u' ( x).v' u( x) pour tout x de I.
Preuve 4
Dérivée de
u f.
On a f  vou avec v( x)  x pour tout x  0 . u est dérivable sur J inclus dans I tel que
u  0 . v est dérivable sur 0; .
D’après le théorème sur la dérivée d’une fonction composée, f est dérivable sur J et pour tout
u ' ( x)
1
x de J, f ' ( x)  u ' ( x).v' u ( x)   u ' ( x).
. Vrai pour tout x dans J donc

2 u ( x) 2 u ( x)
u'
.
u '
2 u
 
2