Corrigé

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 6 avril 2016
Quiz 5
Question 1.
Montrer que nZ+mZ=Zsi et seulement si (n, m) = 1.
Solution.
Clairement nZ+mZ⊆Z. Donc nZ+mZ=Zsi et seulement si nZ+mZ⊇Z
et nZ+mZ⊇Zsi et seulement si 1 ∈nZ+mZ, c’est-`a-dire si et seulement si
∃r, s ∈Ztels que rn +sm = 1 et donc si et seulement si (n, m) = 1. 
D´efinition. Soit Aun anneau commutatif et a1, . . . , an∈A. L’id´eal engendr´e
par a1, . . . , anest
(a1, . . . , an) = {x1.a1+. . . +xn.an|x1, . . . , xn∈A}.
C’est facile de montrer que {x1.a1+. . . +xn.an|x1, . . . , xn∈A}est le plus petit
id´eal qui contient a1, . . . , an.
Question 2.
Soient Aun anneau commutatif et a, b ∈A. Montrer que (a, b)=(a)+(b).
Solution.
On a (a, b) = {c.a+d.b |c, d ∈A}={c.a |c∈A}+{d.b |d∈A}= (a)+(b). 
Question 3.
Soit Aun anneau commutatif fini. Montrer que tout ´el´ement diff´erent de z´ero
est soit une unit´e soit un diviseur de z´ero (Suggestion : pour tout a∈A, consid´erer
la fonction ma:x7→ x.a).
Solution.
Soit a∈A− {0}.
Si ma:A→Aest injective, alors elle est surjective aussi, parce que Aest fini.
Donc il existe x∈Atel que x.a = 1, de mani`ere que aest une unit´e.
Si man’est pas injective, alors ils existent x, y ∈A,x6=y, tels que x.a =y.a,
de mani`ere que (x−y).a = 0. On a que x−y6= 0. Ainsi aest un diviseur de
z´ero. 

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 6 avril 2016
S´erie 5
Exercice 1.
Est-ce que (4, X) est un id´eal principal de Z[X] ? Justifier.
Solution.
Non. Supposons que (4, X) soit principal. Alors il existe f∈Z[X] tel que
(4, X)=(f). Donc fdivise 4 et il est donc de degr´e 0 (car Zest un anneau
int`egre). En plus, fdivise X, de mani`ere qu’il existe g∈Z[X] tel que f.g =X.
Donc f.g(1) = 1, donc fest une unit´e, c’est-`a-dire ±1. Finalement, on a qu’ils
existent h, k ∈Z[X] tels que h.4 + k.X =f=±1. Alors
h(0).4 = h(0).4 + k(0).0 = ±1.
Ceci est une contradiction, parce que 4 ne divise pas ±1 dans Z. Ainsi, (4, X)
n’est pas principal. 
Exercice 2.
Soient Aun anneau, Iet Jdes id´eaux bilat`eres.
Montrer que (A/I)/((I+J)/I)'(A/J)/((I+J)/J).
Solution.
Clairement I+Jest un id´eal bilat`ere contenant I. Par le troisi`eme th´eor`eme
d’isomorphisme, (I+J)/I est un id´eal de A/I et il existe un isomorphisme d’an-
neaux
A/(I+J)'(A/I)/((I+J)/I).
De mˆeme, I+Jest un id´eal bilat`ere contenant J, (I+J)/J est un id´eal de A/J
et
A/(I+J)'(A/J)/((I+J)/J).
Ainsi,
(A/I)/((I+J)/I)'(A/J)/((I+J)/J).
Exercice 3.
Soient m1, m2≥2 deux entiers premiers entre eux, et k1, k2∈Z. On consid`ere
le syst`eme de congruence
(?)n≡k1mod m1
n≡k2mod m2
(1) Soient a, b, c des entiers tels que a|bc. Montrer que si (a, b) = 1, alors a|c.

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(2) Montrer que si nest une solution du syst`eme (?), alors l’ensemble des
solutions du syst`eme (?) est la classe de congruence [n]m1m2.
(3) En utilisant une relation de B´ezout entre m1et m2, montrer que le syst`eme
(?) a une solution n∈Z.
(4) Retrouver les r´esultats des deux questions pr´ec´edentes en utilisant seule-
ment le th´eor`eme chinois.
(5) Red´emontrer le th´eor`eme chinois en utilisant les r´esultats des questions
(2) et (3).
Solution.
(1) Puisque aet bsont premiers entre eux, il existe une relation de B´ezout
ax+by = 1 pour x, y ∈Z. Soit kun entier tel que bc =ka. En multipliant
la relation de B´ezout par c, on obtient
c=cax + (cb)y=acx + (ak)y=a(cx +ky)
d’o`u a|c.
(2) Si un entier msatisfait le syst`eme de congruence (?), alors n−m≡0
(mod mi) pour i= 1,2. Par cons´equent, il existe k1, k2∈Ztels que
n−m=kimipour i= 1,2, d’o`u k1m1=k2m2. Comme m1|k2m2
et (m1, m2) = 1, on en conclut, par (1), que m1|k2. Ainsi, n≡m
(mod m1m2).
R´eciproquement, si mest un entier tel que m≡n(mod m1m2), alors
m≡n(mod mi) pour i= 1,2, donc mest une solution de (?).
(3) Puisque m1et m2sont premiers entre eux, il existe une relation de B´ezout
xm1+ym2= 1 pour x, y ∈Z. Par cons´equent, on a les congruences
xm1≡0 (mod m1)xm1≡1 (mod m2)
ym2≡1 (mod m1)ym2≡0 (mod m2).
Ainsi, en posant
n=k1ym2+k2xm1,
on obtient une solution au syst`eme (?).
(4) Par le th´eor`eme chinois, l’application
f:Z/(m1m2)Z→Z/m1Z×Z/m2Z
[x]m1m27→ ([x]m1,[x]m2)
est un isomorphisme. Le point (2) est ´equivalent `a l’injectivit´e de f: si
n, n0sont deux solutions de (?), alors
f([n]m1m2) = ([k1]m1,[k2]m2) = f([n0]m1m2),
d’o`u n≡n0(mod m1m2) si fest injective, et r´eciproquement. D’autre
part, le point (3) est clairement ´equivalent `a la surjectivit´e de f.

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(5) Comme dans le cours, on commence par montrer que l’application fci-
dessus est un homomorphisme bien d´efini. Or, on vient de montrer que la
bijectivit´e de f´etait ´equivalente aux points (2) et (3) de l’exercice. Ainsi,
fest un isomorphisme si l’on suppose ceux-ci.
Exercice 4.
(1) R´esoudre le syst`eme de congruences n≡5 mod 21
n≡2 mod 11
(2) Trouver toutes les solutions de l’´equation x2= 1 dans Z/323Z.
Solution.
(1) On proc`ede en suivant la preuve, constructive, du point (3) de l’exercice
3.. Une relation de B´ezout entre 11 et 21 est par exemple 2 ·11 −21 = 1.
Par cons´equent, une solution au syst`eme est donn´ee par
n= 5 ·2·11 −2·21 = 68.
Par le point (2) de l’exercice 3., l’ensemble des solutions du syst`eme est
la classe [68]231 ={68 + 231k:k∈Z}.
(2) Par le th´eor`eme chinois, l’application
f:Z/(17 ·19)Z→Z/17Z×Z/19Z
[x]323 7→ ([x]17,[x]19)
est un isomorphisme. Donc pour trouver les solutions de l’´equation x2= 1
dans Z/323Zon peut trouver les solutions de ([x]17,[x]19)2= ([1]17 ,[1]19)
et prendre les pr´eimages par f. On a x2= 1 si et seulement si x=
±1 soit dans Z/17Zsoit dans Z/19Z, car ils sont des corps. Donc on a
exactement 4 solutions, `a savoir f−1(±[1]17,±[1]19). Pour les calculer, on
proc`ede comme dans (1). Une relation de B´ezout entre 17 et 19 est par
exemple 9 ·17 −8·19 = 1. Par cons´equent, les 4 solutions, `a ´equivalence
pr`es, au syst`eme sont donn´ees par
±1·9·17 −(±1) ·8·19 = {±1,±305}.
Par le point (2) de l’exercice 3., l’ensemble des solutions est donc
{±[1]323,±[305]323}.

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Exercice 5.
Soit pun nombre premier. Montrer que Z[X]/(p, X2+ 1) est isomorphe `a
(Z/pZ)[X]/(X2+ 1) et Z[i]/(p).
Solution.
Par le quiz 2., on a que (p, X2+ 1) = (p) + (X2+ 1) dans Z[X]. Comme dans
l’exercice 2., on a donc
(1) Z[X]/(p, X2+ 1) '(Z[X]/(p))/((p, X2+ 1)/(p))
et
(2) Z[X]/(p, X2+ 1) '(Z[X]/(X2+ 1))/((p, X2+ 1)/(X2+ 1)).
On consid`ere (1). On a que
f:Z[X]→(Z/pZ)[X],
n
X
j=0
ajXj7→
n
X
j=0
[aj]pXj
est un homomorphisme (facile `a v´erifier) et son noyau est (p). Donc
(Z[X]/(p)) '(Z/pZ)[X]
par le premier th´eor`eme d’isomorphisme. En plus,
f((p, X2+ 1)) = (f(p), f(X2+ 1)) = (0, X2+ 1) = (X2+ 1)
dans (Z/pZ)[X]. Ainsi
Z[X]/(p, X2+ 1) '(Z[X]/(p))/((p, X2+ 1)/(p)) '(Z/pZ)[X]/(X2+ 1).
On consid`ere (2). On a que
g:Z[X]→Z[i], p(X)7→ p(i)
est un homomorphisme (facile `a v´erifier) et son noyau est (X2+ 1). Donc
(Z[X]/(X2+ 1)) 'Z[i]
par le premier th´eor`eme d’isomorphisme. En plus,
g((p, X2+ 1)) = (g(p), g(X2+ 1)) = (p, 0) = (p)
dans Z[i]. Ainsi
Z[X]/(p, X2+ 1) '(Z[X]/(X2+ 1))/((p, X2+ 1)/(X2+ 1)) 'Z[i]/(p).