1 Divisibilité dans Z. Congruences. 2 Algorithme d`Euclide, identité

Arithm´etique dans Z. Exercices de r´evision pour la s´eance du 13 septembre
1 Divisibilit´e dans Z. Congruences.
Exercice 1 Soient aet bdeux entiers naturels. Est-il vrai que si aadivise bbalors adivise b.
Exercice 2
1. Prouver que deux entiers cons´ecutifs sont premiers entre eux.
2. Prouver que deux termes cons´ecutifs de la suite (pn + 1)n∈Nsont premiers entre eux quel que soit le
nombre premier p.
Exercice 3 Trouver les pde Ztels que 3p+ 4 divise 11p+ 8.
Exercice 4 Montrer que si la somme des deux fractions irr´eductibles est un entier, alors leurs d´enominateurs
sont ´egaux.
Exercice 5 R´esoudre dans N2l’´equation a2−b2= 239.
Exercice 6 Calculs modulo 7.
1. Dresser la table de multiplucation dans Z/7Z.
2. Resoudre dans Zla congruence x2+ 3 ≡0 mod 7.
Exercice 7 Trouver le plus petit entier qui a exactement 35 diviseurs positifs.
2 Algorithme d’Euclide, identit´e de Bezout, lemme chinois.
Exercice 8
1. Trouver par deux m´ethodes differentes les P GCD et P P CM de 5940 et 924.
2. Trouver tous les diviseurs communs de 5940 et 924.
Exercice 9
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide trouver deux entiers uet vtels que 70u+ 99v= 1.
2. Tel couple (u, v) est-il unique ?
3. Resoudre dans Z2l’equation 70u+ 99z= 11.
Exercice 10 On consid`ere le nombre premier p= 5. Elever au carr´e, ajouter 11, diviser par 24. Quel est le
reste ? Idem avec p= 37. Idem avec un nombre premier de votre choix. Est-ce un hasard ? Indication : v´erifier
que pour p > 3premier, p2≡1 mod (2) (puis p2≡1 mod (8)) et p2≡1 mod (3) puis utiliser le lemme
chinois.
3 Primalit´e
Exercice 11
1. Soit p un nombre premier. Montrer que xp≡xmod (p) pour tout entier x. En d´eduire que xp−1≡1
mod (p) si pne divise pas x.
2. Montrer qu’il existe un entier naturel k, non nul tel que 2k≡1 mod (p).
3. Soit kun entier naturel non nul tel que 2k≡1 mod (p) et soit nun entier naturel. Montrer que si k
divise nalors 2n≡1 mod (p).
4. Soit btel que 2b≡1 mod (p), b´etant le plus petit entier non nul v´erifiant cette propri´et´e. Montrer, en
utilisant la division euclidienne de npar b, que si 2n≡1 mod (p), alors bdivise n.
Exercice 12
1. Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4n−1.
2. Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4n+ 1.
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