trigonométrie et ptolémée

TRIGONOMÉTRIE ET PTOLÉMÉE
Trigonométrie : formules fondamentales
Ptolémée : son théorème
Valeurs exactes : base d'une table
Robert Lacroix
Séminaire Salésien, Sherbrooke
rlacroix @microtec.ca
Introduction
Parler de nos jours de table de trigonométrie est anachronique. Les étudiants imaginent difficile-
ment comment les mathématiciens des siècles passés ont déterminé les valeurs des fonctions trigonométriques
pour divers angles. Pas d'électricité, partant pas de calculatrice, comment faire pour évaluer sin 37,5° à 7
•\I3
chiffres après la virgule ? On sait que sin 60° = —, y a-t-il beaucoup d'angles dont le sinus se calcule exacte-
ment ? Que vaut sin 1° ?
Développée par Euclide, Archimède et Appolonius, la géométrie s'impose comme modèle de rigu-
eur intellectuelle et de logique pour les générations futures de mathématiciens. Au deuxième siècle après
Jésus-Christ, le besoin intense de créer un modèle cohérent de l'univers se fait sentir chez les intellectuels
grecs et romains. Formé à la discipline intellectuelle de la géométrie, Ptolémée s'impose la tâche de créer ce
modèle de l'univers et le chef-d'oeuvre d'astronomie, VAlmagest, est le fruit de ses réflexions.
Afin de calculer des rapports de distances et décrire les mouvements des objets célestes, Ptolémée
avait besoin de rapports trigonométriques précis, d'où s'imposait la création d'une table de trigonométrie.
Mais par où commencer cette table ? Comment relier les sinus des angles entre eux ? C'est Ptolémée qui
découvrit le théorème qui permet de trouver les relations nécessaires à la construction d'une table. En termes
modernes, c'est la formule de sin(x ± y).
Plusieurs routes mènent à Rome nous dit un adage populaire. Ainsi, pour le bénéfice du lecteur je
lui offre une deuxième façon de trouver sin(J: ± y) et COS(A: ± >»). Cette fois je trouve les liens qu'il y a entre les
coordonnées d'un point par rapport à différents systèmes de coordonnées qui sont obtenus l'un de l'autre par
une rotation.
Dès que nous avons trouvé les valeurs exactes du sinus et du cosinus d'un angle (par exemple 36°)',
nous montrons une figure géométrique qui permet de calculer exactement le sinus et le cosinus de la moitié de
l'angle ( 18° ). Par cela, nous aurons notre première relation fondamentale entre les sinus de divers angles.-
Pourquoi des noms tels tangente, cotangente, sécante et cosécante ? Il y a quelques années, j'expliquais à un
étudiant un problème relatif à une tangente à un cercle. Quelle ne fut pas ma surprise de constater que le terme
tangente était empreint d'ambiguïté pour lui : il reliait ce terme à la tangente trigonométrique. Momentané-
ment, pour lui, c'était la même chose. Ce phénomène, même rare, ne me surprend pas. N'arrive-t-il pas de
temps à autre de se faire demander dans un cours d'introduction à la trigonométrie où est situé le sinus dans le
triangle rectangle ?
Cette question soulevée a été pour moi une belle occasion de réfléchir à ces notions en trigonomé-
trie. Quelques heures plus tard, je traçais une figure contenant les 6 rapports trigonométriques. En page 375 du
tome 2, le livre Mathématique soleil 5 offre une figure qui donne les segments qui représentent chacune des
six fonctions trigonométriques. Le lecteur peut apprécier la différence entre ma figure et celle de ce livre.
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Tangente, cotangente, sécante et cosécante : des appellations « naturelles »
L'histoire des mathématiques ne nous dit pas comment ont été choisis les noms des fonctions trigo-
nométriques comme tangente, cotangente, sécante et cosécante. La figure 1 ci-dessous^nous fait apparaître ces
quatre (4) rapports trigonométriques.
Soit P(x,}'), un point du cercle ayant une unité de
rayon et centré à l'origine d'un plan cartésien. Par
le point P, traçons le segment tangent au
cercle oià le point A est situé sur l'axe des Y et le
point B est situé sur l'axe des X. Soit 0, l'angle
que fait par le rayon OP avec l'axe des X.
La figure présente de nombreux triangles
semblables entre eux. Une proportion évidente
mBP V ^. . , , j J
est—— = —. Ainsi, la longueur de BP est —.
mOP X X
On sait que la hauteur OP relative à l'hypoténuse
du triangle AOB est moyenne proportionnelle
entre les longueurs des segments BP et AP :
(mÔP)^ = mÂP • mBP => 1 = mÂP • mBP et
T75 1 ^
mAP = mBP y
Figure 1
Sachant que + / = 1 et en appliquant le théorème de Pythagore aux triangles OPB et OPA, on
trouve aisément — pour la longueur de OB et — pour la longueur de OA.
Raisonnement avec les rapports de similitudes uniquement
C'est une belle occasion d'appuyer notre raisonnement sur la notion de rapport de similitude :
Le rapport de similitude entre les AOBP et AOPH est = —. Ainsi,
^^ mOH X
mOB = -• mOP = 1 • 1 = i. et mBP = -• mPH=
X
l
X
l
X
Le rapport de simg°itude entre les AOPA et ABPO est = —. Ainsi,
^^ ^ mBP y
X 1 1
mPA = - mOP = -•! = -et mOA = - mBO = - - = -
y )' >' 3' y X y
y X 1
Dans une seule et même figure, nous avons fait apparaître les rapports —, —, et - . La figure nous
^ }' y
montre que BP est un segment tangent au cercle ainsi que le segment AP, il est tout à fait naturel alors de
définir le rapport Z par tangente de l'angle 0 et le rapport — par cotangente de l'angle 0. Comme l'axe des X
X y
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coupe le cercle et que OB est un segment de cet axe, on définit tout aussi naturellement le rapport - comme
X
étant la sécante de l'angle 0. Une observation analogue amène à nommer le rapport — cosécante de l'angle 0.
y
Dans ce qui suit, nous présentons des figures riches en informations qui permettent d'exprimer les
0
fonctions de - ou de 20 en fonction de 0.
2
0 0 0
Fonction du demi-angle : sin -, cos - et tan -.
2 2 2
La figure ci-contre représente un triangle rectangle
ABC dans lequel 0 est la mesure de l'angle A. De
plus nous avons prolongé le côté CA d'une
longueur mAD égale à celle de l'hypoténuse.
Puisque le triangle BAD est isocèle dors il est
0
évident que la mesure de l'angle D est —.
D
+ + cf = + 2bc
6
A l'aide de cette figure nous sommes en mesure d'exprimer les fonctions trigonométrique de — en
fonction de sin0 et cos0.
La fonction => , 0
tan —
2
. 0
sm—
2
0
cos-
2
Dans le triangle BCD => a a b
+ c
Dans le triangle BCD => b
+ c -Jlc^
+ 2bc
On divise le numérateur et
le dénominateur par c
= >
a
c
a
c (b
+ c)
c
On divise le numérateur et
le dénominateur par c
= > b c
- + -
c c -Jlc^
+ lbc
c
a
c
c
b c
- + -
c c
On divise le numérateur et
le dénominateur par c
= > b c
- + -
c c
Ibc 2c' 2bc
V C c
sin0 = — et COS0 = —
c c
= >
sin0 sin0 1 + COS0 _ H-COS0
sin0 = — et COS0 = —
c c
= > COS0-I-1 V2-I-2COS0 V2-I-2COS0 V 2
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Fonction du double d'un angle : sin 29, cos 26
Considérons le triangle APB inscrit dans le demi-
cercle de centre O et rayon unité. Du point P,
traçons la perpendiculaire PH au diamètre AB.
. mPH
sm20 = = mPH
mOP _
mPH mBP
mPH =
• mBA = 2sin6cos6
mBP mBA
sin2e = 2sinecos0
cos2e = ^ = mÔH
mOP
mOH = mOA - m^ = 1 - mAH
mAH mAP
mAH =
• mAB = 2sin6sin0
mAP mAB
cos20 = l-2sin^e
Théorème de Ptolémée
Ptolémée est connu pour sa création du modèle géocentrique de l'univers. Pour développer son
modèle, Ptolémée dut prendre un appui solide sur la géométrie et asseoir son astronomie sur la trigonométrie
sphérique. Le théorème que nous présenterons est à la base de la création d'une table de trigonométrie par
Ptolémée lui-même. Voici ce théorème suivi de la preuve fournie par Ptolémée.
Dans un quadrilatère inscriptible la
somme des produits des longueurs des
côtés opposés est égale au produit des
longueurs des diagonales.
mBD m AC = mDA • mBC H- mDC • mAB
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Preuve
Considérons le quadrilatère ABCD inscrit dans un
cercle de centre O. Supposons que l'angle ACD
est plus petit que l'angle BCA. Traçons le
segment CI tel que l'angle BCI soit congruent à
r angle DCA. Le point I étant sur la diagonale
BD. Le triangle BIC est semblable au triangle
ADC*, et les triangles DIC et ABC sont aussi
semblables.
' ZD AC = ZDBC car il interceptent un même arc.
ABIC ~ AADC
mBI mDA
mBC mAC
mDA mBC
1) mBI =.- =—
mAC
ADIC ~ AABC
mDÏ mÂB
mDC mAC
2)
mAC
En additionnant membres à membres les équations 1) et 2) on obtient
^ ^ mDA-mBC mDC mAB
mBI + mDI = mBD = +
mAC mAC
donc :
mBD • mAC = mDA • mBC + mDC • mAB
CONSTRUCTION D'UNE TABLE DE TRIGONOMÉTRIE
La construction d'une table de trigonométrie requiert initialement la connaissance des valeurs des
fonctions trigonométriques de certains angles. Les fonctions trigonométriques d'autres angles sont obtenues à
partir de fonctions des sommes, des différences, des demi-sommes et des demi-différences de ces angles.
Commençons par trouver sin (;c + y).
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