Série de Fourier

Série de Fourier
Une série de Fourier est une série du type :
s(t) = a0   an cos( 2nt )  bn sin( 2nt ) 
n 1
1 T
a0   f (t )dt
avec :
T 0
2 T
an   f (t ) cos( nt )dt
et pour :
T 0
n 1
2 T
bn   f (t ) sin( nt )dt
T 0
Les nombres an et bn sont appelés
coefficients de Fourier
Théorème 1
(Lejeune-Dirichlet)
Toute fonction f, T périodique, C1 par
morceaux est décomposable en série de

Fourier. On a :
an cos(nt )  bn sin( nt ) 
f (t )  a0 

n 1
si f est continue au point t.
Et plus généralement


:
f (t )  f (t )
 a0 
2

 a cos(nt )  b sin( nt )
n
n 1
n
Analyse harmonique ou spectrale
composition fréquentielle du signal
a0 représente la moyenne f sur une période
:
H
L
f x
6
5
4
3
2
1
-5-2.5
2.5 5 7.5 1012.5
H
L
a0
f x
6
5
4
3
2
1
-5-2.5
2.5 5 7.5 1012.5
1
a0 
T
6
5
4
3
2
1

T
0
f (t )dt
1
2
3
4
5
6
Analyse harmonique
a1 cos(2t )  b1 sin( 2t )
est le fondamental :
c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le
rythme du signal.
H
L
f x
6
5
4
3
2
1
-5-2.5
5
4
3
2
2.5 5 7.5 1012.5
-5 -2.5
2.5
5 7.5 10 12.5
Analyse harmonique
an cos(nt )  bn sin( nt )
Et pour n  2
sont les harmoniques de rang n.
Ils représentent les détails du signal et sont de moins
en moins importants, au fur que n augmente.
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
harmonique
1
2
de rang
3
4
5
2
6
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
harmonique
1
2
de rang
3
4
5
3
6
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
harmonique
1
2
de rang
3
4
5
4
6
Synthèse harmonique
La somme de la moyenne, du fondamental et de
toutes les harmoniques reconstituent le signal :
6
5 66
6
665
6
5
5
5
55
454
4
4
4
44
3
3
3333
2
222
2
1
111
-5
-5
-5
-5
-5
-2.5
-2.5
-2.5
-2.5
-2.5
-2.5
2.5
2.5
2.5
5
5 55
7.5 10 10
10
12.5
10 12.5
12.5
7.5
7.5
7.5
7.5
10
10
12.5
12.5
12.5
Représentation spectrale
On représente la composition spectrale du
signal par un diagramme en bâton qui
matérialise l ’amplitude de chaque
2
2
A

a

b
harmonique : n
n
n
Spectre
de f
2
1.5
1
0.5
2
4
6
8
Propriétés des coefficients
Dans certains cas on saura, sans faire les
calculs, que des coefficients s ’annulent.
• Cas où f est paire : tous les bn sont nuls.
S ( f )  a0   an cos nt
n 1
2 T /2
a0  
f (t )dt
0
T
avec
et pour n  1
4 T /2
an  
f (t ) cos( nt )dt
T 0
Propriétés des coefficients
• Cas où f est impaire : tous les an sont nuls.
.
S ( f )   bn sin nt
n 1
avec pour n  1
4 T /2
bn  
f (t ) sin( nt )dt
0
T
Propriétés des coefficients
• Si f est impari-symétrique, elle ne contient
que des fréquences impaires :
a0  a2 n  b2n  0
S ( f )   a2 n 1 cos(( 2n  1)t )  b2 n 1 sin(( 2n  1)t )
n 1
a 2 n 1
4 T /2
 
f (t ) cos(( 2n  1)t )dt
0
T
et
b2 n 1 
4 T /2
f (t ) sin(( 2n  1)t )dt

0
T
Propriétés des coefficients
lim an  lim bn  0
n
n
• L’amplitude des hautes fréquences
diminue de plus en plus
EXEMPLE
[0,  [
• f ( x)  x sur
• f paire, 2 -périodique
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-10
-5
5
10
EXEMPLE
•
f paire : bn  0,  n  1
a0 
et pour

1

0
xdx 

n 1
an 
2


0
x cos nxdx
2
EXEMPLE


2 x sin nx  2  sin nx
an 
 
dx
0


n
n
0
2
 2 (1) n  1
n

n  1,

4
 2
an   n 

0
si n est im pair
si est pair
EXEMPLE
•
On a donc :

cos( 2n  1) x
S( f )   
2  n1 (2n  1) 2
4
et comme f est continue sur IR :
3

2.5

cos( 2n  1) x
f ( x)   
2  n1 (2n  1) 2
4
2
1.5
1
0.5
-10
-5
5
10
Ecriture complexe des séries de
Fourier
En utilisant les formules d’Euler on obtient:
n  
S ( f )   cn eint
n  
Où :
a 0  c0
1
c n  ( a n  ib n )
2
1
cn 
T
et
T

0
cn
1
 ( a n  ib n )
2
f (t )e int dt
L’égalité de Parseval
• On montre que l’énergie du signal est
égale à la somme des énergies des
harmoniques et de la valeur moyenne au
carré


1 T 2
1
2
2
2
f (t )dt  a0   ak  bk

T 0
2 k 1
