Série de Fourier

Série de Fourier
Une série de Fourier est une série du type :
s(t) =
avec :
et pour :
Les nombres anet bnsont appelés
coefficients de Fourier
1
0)2sin()2cos(
nnn tnbtnaa
dttf
T
aT 0
0)(
1
1n
dttntf
T
aT
n
0)cos()(
2
dttntf
T
bT
n
0)sin()(
2

Théorème 1 (Lejeune-Dirichlet)
Toute fonction f, T périodique, C1 par
morceaux est décomposable en série de
Fourier. On a :
si f est continue au point t.
Et plus généralement :
1
0)sin()cos()(
n
nn tnbtnaatf
1
0)sin()cos(
2)()(
n
nn tnbtnaa
tftf

Analyse harmonique ou spectrale
composition fréquentielle du signal
a0représente la moyenne f sur une période
:
dttf
T
aT 0
0)(
1
-5-2.5 2.5 57.5 1012.5
1
2
3
4
5
6
fHxL
-5 -2.5 2.5 57.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
fHxL
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
a0

Analyse harmonique
est le fondamental :
c’est l ’harmonique le plus important : il donne le
rythme du signal.
-5 -2.5 2.5 57.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
fHxL
)2sin()2cos( 11 tbta
-5 -2.5 2.5 57.5 10 12.5
2
3
4
5

Analyse harmonique
2n
)sin()cos( tnbtna nn
Et pour
sont les harmoniques de rang n.
Ils représentent les détails du signal et sont de moins
en moins importants, au fur que n augmente.
1 2 3 4 5 6
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
harmonique de rang 2
1 2 3 4 5 6
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
harmonique de rang 3
1 2 3 4 5 6
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
harmonique de rang 4