00-Series-Fourier-Motivation

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File : Series-Fourier-Motivation-01
 dqsdq
 sdsdq
 qsdqsd
«»«»«»«»  
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HERE
Parler de la décomposiion d’un vecteur (ou d’une force ou d’’une vitesse) selon les 3
axes ;
Eléments d’algèbre linéaire (voir File : Orthogonal-Sets-Basis)
(p 99 et p 100 Schaum)
 Base orthogonale et expression d’un vecteur comme combinaison linéaire de
vecteurs orthogonaux « 2 » à « 2 »
Théo
 soit « ℬ = { l, 2, .., N } », un base orthogonale d’un espace vectoriel « V » =>
donc, on a un ensemble de « N » « vecteurs » « l » , « 2 », .., « N » de « V » , non nuls
et orthogonaux « 2 à 2 » :
 « < , j > = 0 » lorsque « i  j » où « i = 1, 2, .., N » et « j = 1, 2, .., N » ;
 « < i, j >  0 » lorsque « i = j » ;
 soit «  », une élément quelconque de « V » ;
Alors tout vecteur «  » de « V », peut être écrit comme combinaison liinéaires de
ces « N » vecteurs « l » , « 2 », .., « N » :
 = ( < , 1 > / < 1, 1 > ) . l + ( < , 2 > / < 2, 2 > ) . 2 + .. +
+ ( < , N > / < N, N > ) . N
Les scalaires « ai = < v, i > / < i, i > » sont les coefficients de FOURIER de « v » par
rapport à cette « ℬ = { l, 2, .., N } », par analogie avec les coefficients de FOURIER
d’une fonctions ;
Cas particulier
 soit « ℬ = { ul, u2, .., uN } », un base orthogonale d’un espace
vectoriel « V  ℝN » ;
Donc, on a un ensemble de « N » vecteurs « ul » , « u2 », .., « uN » de « ℝN » , non nuls
et orthogonaux « 2 » à « 2 » :
 « < ui , uj > = 0 » lorsque « i  j » où « i = 1, 2, .., N » et « j = 1, 2, ..,
N»;
 « < ui, uj >  0 » lorsque « i = j » ;

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
 soit « v », une élément quelconque de « ℝN » ;
Alors tout vecteur « v » de « ℝN », peut être écrit comme combinaison liinéaires de
ces « N » vecteurs « ul » , « u2 », .., « uN » :
v = ( < v, u1 > / < u1, u1 > ) . ul +
+ ( < v, u2 > / < u2, u2 > ) . u2 + .... +( < v, uN > / < uN, uN > ) . uN
NB : dans « ℝN », il faut veiller à ce qu’il y ait bien « N » vecteurs « ul » , « u2 », ..,
et « uN » et qu’ils soient non nuls ;
Les coefficients « ai = < v, ui > / < ui, ui > » constituent les coefficients de FOURIER
de » v » par rapport à ces ces « N » vecteurs « ul » , « u2 », .., « uN » ;
Ces coefficients jouent un rôle analogue à ceux d’une fonction dans le cas des séries
de FOURIER ;
Démonstration
On écrit la combinaison linéaire :
 = a1 . l + a2 . 2 + .. + aN . N ;
On a :
< , i > = a1 . < 1, i > + a2 . < 2, i > + .. + aN . < N, i > ;
Or :
 « < , j > = 0 » lorsque « i  j » où « i = 1, 2, .., N » et « j = 1, 2, .., N » ;
 « < i, j >  0 » lorsque « i = j » ;
Donc,
ai = < , i > / < i, i > ;
Donc,
 = ( < , 1 > / < 1, 1 > ) . l + ( < , 2 > / < 2, 2 > ) . 2 + .. +
+ ( < , N > / < N, N > ) . N ;
C.Q.F.D
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Exemple
(p 100 Schaum)
Soit les 4 vecteurs de de R3 :
u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, -3 , 2), u3 = (5, - 1, - 4), v = (4, 14, - 9) ;
Ecrire v comme une de la combinasion linéaire de u1, u2, u3, à l’aide des
coefficients x, y, z => v = x . u1 + y . u2 + z . u3 ;
Les 3 vecteurs u1, u2, u3 sont orthogonaux 2 à 2 car ::
 < u1, u2 > = 0 ;
 < u1, u3 > = 0 ;
 < u2, u3 > = 0
v = ( < v, u1 > / < u1, u1 > ) . ul + ( < v, u2 > / < u2, u2 > ) . u2 + .. +
+ ( < v, u3 > / < u3, u3 > ) . u3 ;
Or :






< u1, u1 > = XX ;
< u2, u2 > = XX
< u3, u3 > = XX
< v, u1 > = XX ;
< v, u2 > = XX ;
< v, u3 > = XX ;
Donc :
v = (4, 14, - 9) = XX . (1, 1, 1) + XX . (1, -3 , 2) + XX . (5, - 1, - 4) ;
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Motivations dans le cadre de la Physique et Motivations d’odre mathématique
 Point de vue sur la série de Mac CLAURIN associée à une fonctrion « y = f (x) »
En utilisant les séries de Mac CLAURIN, ont peut [ approximier / approché ] une
fonction « y = f (x) » à l’aide d’un polynome « P (x) » de degré relativement élevé => les
diverses puissances de x, constituent en quelque sorte des briques élémentaires qui
interviennent dans la construction de l’approximatioa de cette fonction ;
C’est analogue à la la construction d’un mur à partir d’un grand nombre de briques
élémentaires toute du même type ou de type différents ;
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En prenant un autre point de vue, on peut dire que la fonction « y = f (x) » est décomposée
selon les diverses puissances de x, au travers du choix de bons coefficients ;
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(CROFT – DAVISON p 595)
 [ combinaison linéaire / superposition / somme ] d’harmoniques
Un signal « F (t) » périodique peut s’exprimer sous la forme
d’une [ combinaison linéaire / superposition / somme ] [ d’harmoniques / de sinus (et de
cosinus) ] ayant diverses fréquences, comme ceci :
F (t) = 2 . sin (1 . t) + 0,8 . sin (2 . 1 . t) + 0,7 . sin (4 . 1 . t) ;
Les pulsations des deux [ composantes spectrales / harmonique ] :
 0,8 . sin (2 . 1 . t) ;
 et « 0,7 . sin (4 . 1 . t) » ;
sont des multiples entier de la pulsation « 1 » de l’harmonique « 2 . sin (1 . t) » dont la
pulsation « 1 » est la plus basse pulsation ;
Cette composane spectrale « 2 . sin (1 . t) » constitue :
 l’harmonique fondamentale ;
 ou la 1ère harmonique ;
et sa pulsation « 1 » est la pulsation fondamentale ;
La compsante spectrale « 0,8 . sin (2 . 1 . t) » dont la pulsation est « 2 . 1 », est
la 2ème harmonique ;
Donc, toutes les pulsations sont des multples entiers de la pulsation fondamentale « 1 » ;
Or, étant donné que :
 sin (1 . t) ;
 sin (2 . 1 . t) ;
 sin (4 . 1 . t) ;
sont des fonctions périodiques => c’est pour cette raison que le signal
« F (t) = 2 . sin (1 . t) + 0,8 . sin (2 . 1 . t) + 0.7 . sin (4 . 1 . t) » résultant de la
superpostion de ces fonctions, est également périodique est sa période est égale à celle de
l’harmonique fondamentale (à démontrer !!!) ;
Donc, ce signal « F (t) » a la même pulsation « 1 » (à démontrer !!!) que l’harmonique
fondamentale « 2 . sin (1 . t) » ;
Dans un signal « F (t) » général qui s’exprime sous la forme d’une [ combinaison linéaire /
superposition d’harmoniques, certaines harmoniques peuvent [ être absentes /
manquantes ] ;
Ici, dans le signal « f (t) = 2 . sin (1 . t) + 0,8 . sin (2 . 1 . t) + 0.7 . sin (4 . 1 . t) »,
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la 3
ème
harmonique est absente ;
Divers signaux périodiques se manifestent en engineering (en plus des signaux
harmoniques habituels) ;
NB : dans certains cas, dans un signal « F (t) » périodique général, il arrive même que
l’harmonique fondamentale soit [ absente /manquante ], mais cependant ce signal « F (t) »
(résultant de la superposition d’harmoniques) a la même pulsation « 1 » que celle de
l’harmonique fondamentale ;
Ex : G (t) = cos (2 . 1 . t) + 0.5 . cos (3 . 1 . t) + 0.4 . cos (4 . 1 . t) ;
Ici aussi, dans « G (t) », toutes les pulsations des composantes spectrale :
 cos (2 . 1 . t) ;
 0,5 . cos (3 . 1 . t) ;
 0,4 . cos (4 . 1 . t) »
sont des multples entiers de la pulsation « 1 » de l’harmonique fondamentale qui ici est
absente ;
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(CROFT – DAVISON p 594)
p 594 : A présenter tout cela avec mes tournures de phrases à moi, qui sont plus
précises !!!
Analyse de FOURIER
L’analyse de FOURIER est un outil mathématique qui permet aux :
 physiciens ;
 et ingénireurs ;
de décomposer un signal « F (t) » (périodque) (une forme d’onde) assez général en ses
[ diverses compsantes spectrales / divers harmoniques ] consitutives ;
Cette décompostion constitue la décompostion de ce signal « F (t) » en sa série de
FOURIER associée ;
Cet outil mathématique permet ainsi de faire sur le plan mathématique à un signal, ce que
sur le plan physique, un prisme fait (en quelque sorte) subir à un rayon lumineux : le
prisme décomposer le rayon lumineux en ses « 7 » composantes spectrales :
 depuis la couleur rouge ;
 jusqu’à la couleur mauve / indigo ;
Par ailleurs, l’utilité des série de FOURIER, c’est qu’elles permettent de reconstituer des
signaux périodiques :
 signal carré ;
 signal triangle ;
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 signal en dents de scie, ... ;
au moyen de briques élementaires ;
Ces briques élémentaires sont des sinusoïdes bien choisie c-à-d des sinusoïdes qui ont la
bonne fréquence, la bonne amplitude maximale et le bon déphasage de l’une par rapport à
l’autre ;
Cette reconstition de signaux périodiques est réalisées au moyen [ de combinaison linéaire
infinies <-> superposition d’un nombre infinie ] de ces sinusoïdes bien choisies ;
En fait, l’idée des séries de FOURIER est la même que celle, en algèbre linéaire, qui
consiste à exprimer tout vecteur de l’espace « 3-D » comme une combinaison linéaire des
vecteurs d’un base quelconque de R3 ;
Fondamentalement, l’idée des séries de FOURIER, c’est de représenter n’importe quel
signal périoidque f (t) de période T,par une [ somme / superposition ] de fonctions
« sinius » bien choisis, c-à-d des fonctions « sinius » qui ont la bonne vakeur de crête, la
bonne fréquence et le bon déphasage de l’un par rapport à l’autre :
n N
« g (t) =

Cn . sin (n . 1 . t + n) »
n0
Dessin d’un signal trianulaire où la période T est représentée ;
Les diverses sinusoïdes « Cn . sin (n . 1 . t + n) » s’appellent les harmoniques ou bien les
composantes spectrales qui [ constituant le / entrent dans la fabrication du ] signal
périodique f (t) ;
L’ harmoniques « C1 . sin (n . 1 . t + 1) » s’appelle l’harmonique fondamentale (ou bien
la fondamentale) et sa période est égale à la période du signal périodique f (t) ;
L’ harmoniques « C2 . sin (n . 2 . t + 1) » s’appelle la 2ème ’harmonique ;
L’ harmoniques « Cn . sin (n . 1 . t + n) » s’appelle l’’harmonique de rang « n » ;
En fait, la fréquence de l’harmoniques de rang « n », est un multiple entier « n » de la
fréquence « 1 » de l’harmonique fondamentale
Exemple d’pplication concrète des séries de FOURIER
Soit :
 un un système linéaire dont on connaît [ les / l’effet sur les ] réponses suite à
l’application de divers compsantes spectrales individuelles ;
 un signal « F (t) » assez général résultant de la superpositon de divers composantes
spectrales ;
Il est ainsi possible de connaître [ le / l’effet sur la ] réponse de ce système linéaire suite à
l’application de ce signal « F (t) » sur son entrée ;
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C’est pour cette raison que souvent :
 les physiciens ;
 et les ingénireurs ;
trouvent utile de penser à un signal « F (t) » :
 en terme de ses composantes spectrales constitutives ;
 plutôt qu’en terme de sa répresentation dans le domaine temporel ;
Ce point de vue « fréquentiel » qui est un point de vue alternatif par rapport au point de
vue « temporel », [ consittue / s’appelle ] une representation du signal « F (t) » dans le
domaine fréquentiel ;
Ce point de vue « fréquentiel » est particulièrement utile lorsqu’on essaie de comprendre
l’effet d’un filtre électronique sur un signal « F (t) » ;
Les ingénieurs en télécommunication utilisent intensivement ces filtres électroniques dans
les équipements électroniques de réception des signaux afin de filtrer les composantes
spectrales indésirables présentes dans le signal reçu, c-à-d :
 enlever la portesue (the transmission signal) ;
 et ne garder que le signal audio qu’on a voulu transmettre ;
Ces filtres sont également utilisés dans divers domaines de l’ingéniérie ;
Ainsi, la capacité d’analyser des formes d’ondes de divers types, est une importante
engineering skill surtout en « HF » ;
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