« < ui, uj > = 0 » lorsque « i j » où « i = 1, 2, .., N » et « j = 1, 2, ..,
N » ;
« < ui, uj > 0 » lorsque « i = j » ;
soit « v », une élément quelconque de « ℝN » ;
Alors tout vecteur « v » de « ℝN », peut être écrit comme combinaison liinéaires de
ces « N » vecteurs « ul » , « u2 », .., « uN » :
v = ( < v, u1 > / < u1, u1 > ) . ul +
+ ( < v, u2 > / < u2, u2 > ) . u2 + .... +( < v, uN > / < uN, uN > ) . uN
NB : dans « ℝN », il faut veiller à ce qu’il y ait bien « N » vecteurs « ul » , « u2 », ..,
et « uN » et qu’ils soient non nuls ;
Les coefficients « ai = < v, ui > / < ui, ui > » constituent les coefficients de FOURIER
de » v » par rapport à ces ces « N » vecteurs « ul » , « u2 », .., « uN » ;
Ces coefficients jouent un rôle analogue à ceux d’une fonction dans le cas des séries
de FOURIER ;
Démonstration
On écrit la combinaison linéaire :
= a1 . l + a2 . 2 + .. + aN . N ;
On a :
< , i > = a1 . < 1, i > + a2 . < 2, i > + .. + aN . < N, i > ;
Or :
« < , j > = 0 » lorsque « i j » où « i = 1, 2, .., N » et « j = 1, 2, .., N » ;
« < i, j > 0 » lorsque « i = j » ;
Donc,
ai = < , i > / < i, i > ;
Donc,
= ( < , 1 > / < 1, 1 > ) . l + ( < , 2 > / < 2, 2 > ) . 2 + .. +
+ ( < , N > / < N, N > ) . N ;
C.Q.F.D