feuille activités - MathsEnClair.com

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Activité.1 Formule du coefficient directeur de (AB)
Calculer le coefficient directeur de la droite (AB)
lorsque (1;5)Aet (4;7)B.
Formule : ( ) B A
AB B A
y y
ax x
−
=−
Application.1
Calculer le coefficient directeur de la droite (AB) avec
A(3 ; 7) et B(5 ; 11).
Activité.2 Point sur la courbe d’une fonction
Soit fla fonction définie sur par : 2
( ) 3f x x x= + .
On considère le point A appartenant à la courbe de f
et dont l’abscisse est 2
A
x=, et le point M de la
courbe de fet dont l’abscisse est 2
M
x h= + .
1. Calculer l’ordonnée du point A.
2. Montrer que l’ordonnée du point M
est : 27 10
M
y h h= + + .
Application.2
Pour tout réel x, on pose : 2
( ) 5f x x= + .
On note A le point de la courbe de fd’abscisse 3 et M
celui d’abscisse 3h+.
1. Calculer (3)f, et exprimer (3 )f h+à l’aide de h.
2. Donner l’expression du coefficient directeur de la
droite (AM) en fonction de h.
Activité.3 Taux d’accroissement
Pour tout réel xon pose : ( ) ² 5 3f x x x= + − .
Montrer que (2 ) (2)f h f
h
+ − est égal à 6h+.
Le nombre (2 ) (2)f h f
h
+ − s’appelle « taux
d’accroissement de fentre 2et 2h+».
Définition
Le taux d’accroissement de fentre aet a h+est :
( ) ( )
( )
af a h f a
T h h
+ −
=.
Application.3
Pour chacune des fonctions suivantes, exprimer le
taux d’accroissement de fentre aet a h+pour la
valeur de aindiquée.
1. 2
( ) 5f x x= − + ,1a=.
2. 2
( ) 4 7f x x x= + + ,1a= − .
Le mot « accroissement » d’une fonction entre deux nombres
donnés ne signifie pas que la fonction est nécessairement
croissante sur un intervalle contenant ces deux nombres.
Activité.4 Nombre dérivé de fen a
Pour tout réel x, on pose : 2
( ) 2 5f x x x= + +
1. Donner le taux d’accroissement de fentre 3et
3h+.
2. Vers quel nombre tend le taux d’accroissement
lorsque htend vers 0 ?
Ce nombre s’appelle « nombre dérivé de fen
3a=», et il se note : (3)f′.
Définition
Le nombre dérivé de fen a, noté ( )f a
′est :
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h
→
+ − .
Le taux d’accroissement de fentre aet a+h est le coefficient
directeur de la droite (AM) où A et M sont les points de la courbe
de fd’abscisses respectives aet a+h.
Le nombre dérivé s’interprète donc comme le coefficient directeur
de ce que devient la droite (AM) lorsque htend vers zéro,
donc comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f
au point A.
Interprétation du nombre dérivé
Par définition, la tangente à la courbe de fau point A
d’abscisse aest la droite passant par A et de
coefficient directeur le nombre dérivé de fen a.
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Application.4
Pour 3x≠, on pose : 1 ( ) 3 f x x =−.
1. Calculer (5)f; exprimer (5 )f h+à l’aide de h.
2. Exprimer le taux d’accroissement de fentre 5 et
5h+à l’aide de h.
3. En déduire le nombre dérivé de fen 5.
4. Vérifier en représentant sur l’écran de la
calculatrice la courbe de fainsi que la tangente à
cette courbe au point d’abscisse 5.
Activité.5 Commande « nbreDérivé() »
Pour tout réel x, on pose : 3
( ) 2 3f x x x= − + .
En utilisant la commande nbreDérivé( ), déterminer le
nombre dérivé de fen 1a=.
Application.5
Pour 1x≠, on pose : ( ) 1
x
f x x =−.
1. A l’aide de la calculatrice, donner le nombre
dérivé de fen 2a=.
2. En revenant à la définition, calculer (2)f′.
Activité.6 Formule de la tangente
Soit fune fonction, A le point d’abscisse ade sa
courbe représentative et T la tangente à cette courbe
au point A.
1. Quelle est l’ordonnée de A ?
2. Soit d d’équation :
( )
( ) ( )y f a x a f a
′
= − + .
a. Montrer que le point A appartient à d.
b. Quel est le coefficient directeur de d.
3. Que représente la droite d pour la courbe de f?
Formule de la tangente
( )
( ) ( )y f a x a f a
′
= − + .
Application.6
Pout tout réel x, on pose : ( ) ² 9f x x= − + .
1. Quel est le taux d’accroissement de fentre 2et
2h+?
2. En déduire le nombre dérivé de fen 2a=.
3. Calculer une équation de la tangente à la courbe
de fau point d’abscisse 2.
4. Vérifier à la calculatrice en traçant la tangente à la
courbe de fau point d’abscisse 2.
Aide :
Activité.7
Courbe représentative de fet quelques tangentes.
1. Lire graphiquement (1)fet (1)f′.
Donner une équation de la tangente à Cfen A.
2. Lire graphiquement (3)fet (3)f′.
3. Que valent (2)f′et (4)f′?
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Application.7
Les tangentes à Cfen A, B, C, D et E sont indiquées.
1. Que vaut ( 2)f−,( 2)f′−. Donner une équation
de la tangente à Cf en A.
2. Donner une équation des tangentes à Cfen B, C, D
et E.
3. Résoudre ( ) 0f x
′=.
Activité.8
Soit fla fonction définie sur par 2 ( )f x x=.
1. Soit 0 xun réel quelconque. En revenant à la
définition du nombre dérivé, calculer 0 ( )f x
′.
2. En déduire : ( 1)f′−,(0)f′,(1)f′,(2)f′.
3. Définir la fonction dérivée f′en donnant
l’expression ( )f x
′.
Formule si 2 ( )f x x=, alors ( ) 2f x x
′=
Application.8
Soit fla fonction définie sur *par 1 ( )f x x =.
1. Soit 0 xun réel non nul.
En revenant à la définition du nombre dérivé,
montrer que: 02
0
1
( ) ( ) f x x
′= − .
2. En déduire ( 2)f′−,( 1)f′−,(1)f′,(2)f′.
3. Définir la fonction dérivée f′en donnant
l’expression ( )f x
′.
Formule si 1 ( )f x x =, alors 2
1
( )f x x
′= −
Activité.9
Pour chaque fonction fdéfinie sur , calculer
l’expression ( )f x
′.
1. ( ) 5f x
=
2. ( ) 3 7f x x
= −
3. ( ) 8f x x=4. 1
( )
2
f x x= −
5. ( ) 4 7f x x= − + 6. 2
( ) 2 3
f x x x= + −
7. ( )f x x=8. 3 2
( ) 7
f x x x x
= − +
Formules
si ( )f x ax b= + alors ( )f x a
′=
si ( )f x b=alors ( ) 0f x
′=
si ( )f x ax=alors ( )f x a
′=
si ( )f x x=alors ( ) 1f x
′=
Application.9
Soit fla fonction définie sur par
( )
2
2
( ) 3f x x= − .
1. Développer ( )f x , puis à partir de cette forme
développée, calculer ( )f x
′.
2. On se propose de vérifier à la calculatrice le calcul
de ( )f x
′:
−dans Y1 : entrer l’expression ( )f x , désactiver
le symbole « = » contrôlant l’affichage de la
courbe ( on ne souhaite pas tracer cette
courbe )
−dans Y2 : entrer « nbreDériv(Y1(X),X,X) »
−dans Y3 : entrer ce qui a été obtenu comme
expression pour ( )f x
′, choisir le tracé en
gras.
Choisir le paramétrage suivant :
Vous devez obtenir :
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Activité.10
Pour tout xdans
[
[
0;
+ ∞
, on pose : ( )
f x x
=.
1. Montrer que le taux d’accroissement de fentre
4
et 4
h
+
est : 1
4 2
h
+ +
.
En déduire le nombre dérivé de fen 2.
2. Soit
0
x
un nombre strictement positif.
a. Montrer que le taux d’accroissement de f
entre
0
x
et 0
x h
+
est :
0 0
1
x h x
+ + .
b. En déduire que 0
0
1
( ) 2 f x
x
′=.
c. Définir la fonction dérivée
f
′
en donnant
l’expression
( )
f x
′
.
Sur quel intervalle
f
′
est-elle définie ?
Formule si ( )
f x x
=, alors
1
( ) 2 f x
x
′=
Application.10
Pour tout
x
∈
[
[
0;
+ ∞
, on pose :
( ) 3
f x x x
= +
.
1. Calculer
( )
f x
′
.
2. En déduire
(1)
f
′
.
3. Donner une équation de la tangente à la courbe
de fau point de Cfd’abscisse 1.
Activité.11
Calculer
( )
f x
′
pour chacune des fonctions fsuivantes.
1. ( ) (3 1)
f x x x
= + × 2. ( ) ( 4)
f x x x
= − ×
3.
5 1
( )
2
x
f x
x
+
=
+
4.
2
5
( ) x f x
x
+
=
On donnera
( )
f x
′
sous une forme telle que l’on
puisse en étudier le signe ( on ne demande pas
d’effectuer cette étude de signe ).
Formules
( )
u v u v v u
′
′ ′
× = × + ×
2
u u v v u
v v
′
′ ′
× − ×
  =
Application.12
Calculer
( )
f x
′
pour chacune des fonctions
fsuivantes :
1. ( ) ( 3 2)
f x x x
= − + × 2.
( )
2
2
( ) 5 1
f x x x
= × +
3.
2
2
4
( )
3 10
x
f x
x
+
=
+
4.
4
( ) 5f x
x
= +
Activité.13
On a utilisé la calculatrice en entrant
( )
f x
dans Y1, et
en posant Y2=nbreDérivé(Y1(X),X,X).
On obtient :
Courbe de en trait fin et courbe de ′en gras.
Traiter les questions suivantes, par lecture graphique :
1. Dresser le tableau de variation de la fonction
f
.
2. Dresser le tableau de signes de sa dérivée
f
′
.
3. Existe-il un lien entre le sens de variation de fet le
signe de sa dérivée
f
′
?
Le théorème fondamental
L’idée à retenir : le sens de variation d’une fonction
et le signe de sa dérivée sont liés.
Plus précisément, pour toute fonction fdérivable sur
un intervalle I:
f
est croissante sur I
f
′
est positive sur I
f
est décroissante sur I
f
′
est négative sur I
f
est constante sur I
f
′
est toujours nulle sur
I
Pour les exercices de type « sciences économiques »
Recette = Prix à l’unité × quantité produite
Bénéfice = Recette – Coût total
( )
( ) total
moyen
C q
C q q =
( ) ' ( )
marginal total
C q C q
=
( approximation )
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Exercice.1
Soit fdéfinie sur
{ }
1− −par : ( ) 1
x
f x x =+.
1. Montrer que le taux d’accroissement de fentre 2
et 2h+est égal à : 1
3 9h+.
2. En déduire le nombre dérivé de fen 2a=.
3. Donner une équation de la tangente à la courbe
de fau point d’abscisse 2.
Exercice.2
Pour tout réel x, on pose : 3 2 ( ) 2 2f x x x x= − − + .
1. Calculer ( )f x
′.
2. Résoudre l’équation ( ) 1f x
′= − .
En déduire les abscisses des points A et B de la
courbe de fpour lesquels la tangente est parallèle
à la droite d’équation y x= − .
3. Vérifier à la calculatrice en traçant la courbe de f
et les tangentes à cette courbe en A et en B.
Exercice.3
Pour tout [0; [x∈ + ∞ ,on pose : ( )f x x=.
1. Calculer une équation de la tangente à la courbe
de fau point d’abscisse 4.
On note g la fonction affine dont cette droite est
la représentation graphique.
2. En utilisant le fait que pour xproche de 4 les
valeurs de ( )g x et ( )f x ont des valeurs proches,
donner une estimation de 4,08 sans utiliser la
calculatrice.
Exercice.4
On pose, pour tout réel x:1 ( ) ² 2 2 f x x x =+ + .
1. Justifier que la fonction fest bien définie sur .
2. Calculer ( )f x
′.
3. Etudier le signe de ( )f x
′.
4. Dresser le tableau de variation de f.
Exercice.5
Courbe représentative de f et tangente en A.
1. Dresser le tableau de signes de ( )f x .
2. Résoudre l’équation : ( ) 0f x
′=.
3. Dresser le tableau de signes de ( )f x
′.
4. Que vaut (2)fet que vaut (2)f′?
Donner une équation de la tangente à Cfen A.
Exercice.5
Pour tout x∈:2
1
( ) ( 4 4)( 5)
2
f x x x x= − + − .
On note Cfla courbe représentative de fdans un
repère orthogonal.
1. Résoudre l’équation ( ) 0f x =et donner une
interprétation graphique des solutions obtenues.
2. On se propose de calculer ( )f x
′de deux façons
différentes.
Première méthode
Développer l’expression ( )f x , puis calculer la
fonction dérivée à partir de cette forme
développée de ( )f x .
Deuxième méthode
Calculer ( )f x
′en utilisant la formule
( )
u v ′ ×.
3. Résoudre l’équation ( ) 0f x
′=et donner une
interprétation graphique des solutions obtenues.
4. Donner une équation de la tangente TAà la
courbe de fau point A d’abscisse 1.
5. Il semble exister un point B de la courbe Cfdistinct
de A et en lequel la tangente est parallèle à la
droite TA. Calculer l’abscisse du point B.
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