feuille activités - MathsEnClair.com

f (2 + h ) − f (2)
s’appelle « taux
h
d’accroissement de f entre 2 et 2 + h ».
Le nombre
Activité.1 Formule du coefficient directeur de (AB)
Calculer le coefficient directeur de la droite (AB)
lorsque A(1;5) et B (4;7) .
Formule :
a( AB ) =
yB − y A
xB − x A
Définition
Le taux d’accroissement de f entre a et a + h est :
Ta ( h ) =
f (a + h ) − f (a )
.
h
Application.1
Calculer le coefficient directeur de la droite (AB) avec
A(3 ; 7) et B(5 ; 11).
Application.3
Pour chacune des fonctions suivantes, exprimer le
taux d’accroissement de f entre a et a + h pour la
valeur de a indiquée.
Activité.2 Point sur la courbe d’une fonction
1.
f ( x) = − x2 + 5 , a = 1 .
2.
f ( x ) = x 2 + 4 x + 7 , a = −1 .
Soit f la fonction définie sur  par : f ( x ) = x + 3 x .
2
On considère le point A appartenant à la courbe de f
et dont l’abscisse est x A = 2 , et le point M de la
courbe de f et dont l’abscisse est x M = 2 + h .
1. Calculer l’ordonnée du point A.
2. Montrer que l’ordonnée du point M
2
est : y M = h + 7h + 10 .
Le mot « accroissement » d’une fonction entre deux nombres
donnés ne signifie pas que la fonction est nécessairement
croissante sur un intervalle contenant ces deux nombres.
Activité.4 Nombre dérivé de f en a
Pour tout réel x, on pose : f ( x ) = x 2 + 2 x + 5
1. Donner le taux d’accroissement de f entre 3 et
3+ h.
2. Vers quel nombre tend le taux d’accroissement
lorsque h tend vers 0 ?
Ce nombre s’appelle « nombre dérivé de f en
a = 3 », et il se note : f ′(3) .
Définition
Le nombre dérivé de f en a , noté f ′( a ) est :
lim
h →0
Application.2
Pour tout réel x, on pose : f ( x ) = x 2 + 5 .
On note A le point de la courbe de f d’abscisse 3 et M
celui d’abscisse 3 + h .
1. Calculer f (3) , et exprimer f (3 + h ) à l’aide de h.
2. Donner l’expression du coefficient directeur de la
droite (AM) en fonction de h.
Activité.3 Taux d’accroissement
Pour tout réel x on pose : f ( x ) = x ² + 5 x − 3 .
Montrer que
f (2 + h ) − f (2)
est égal à h + 6 .
h
f (a + h ) − f (a )
.
h
Le taux d’accroissement de f entre a et a+h est le coefficient
directeur de la droite (AM) où A et M sont les points de la courbe
de f d’abscisses respectives a et a+h.
Le nombre dérivé s’interprète donc comme le coefficient directeur
de ce que devient la droite (AM) lorsque h tend vers zéro,
donc comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f
au point A.
Interprétation du nombre dérivé
Par définition, la tangente à la courbe de f au point A
d’abscisse a est la droite passant par A et de
coefficient directeur le nombre dérivé de f en a.
1
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Application.4
Pour x ≠ 3 , on pose : f ( x ) =
Formule de la tangente
y = f ′( a ) ( x − a ) + f (a ) .
1
.
x−3
1. Calculer f (5) ; exprimer f (5 + h ) à l’aide de h.
2. Exprimer le taux d’accroissement de f entre 5 et
5 + h à l’aide de h.
3. En déduire le nombre dérivé de f en 5.
4. Vérifier en représentant sur l’écran de la
calculatrice la courbe de f ainsi que la tangente à
cette courbe au point d’abscisse 5.
Application.6
Pout tout réel x, on pose : f ( x ) = − x ² + 9 .
1. Quel est le taux d’accroissement de f entre 2 et
2+h ?
2. En déduire le nombre dérivé de f en a = 2 .
3. Calculer une équation de la tangente à la courbe
de f au point d’abscisse 2.
4. Vérifier à la calculatrice en traçant la tangente à la
courbe de f au point d’abscisse 2.
Aide :
Activité.7
Activité.5 Commande « nbreDérivé() »
Pour tout réel x, on pose : f ( x ) = x 3 − 2 x + 3 .
En utilisant la commande nbreDérivé( ), déterminer le
nombre dérivé de f en a = 1 .
Application.5
Pour x ≠ 1 , on pose : f ( x ) =
x
.
x −1
1. A l’aide de la calculatrice, donner le nombre
dérivé de f en a = 2 .
2. En revenant à la définition, calculer f ′(2) .
Courbe représentative de f et quelques tangentes.
Activité.6 Formule de la tangente
Soit f une fonction, A le point d’abscisse a de sa
courbe représentative et T la tangente à cette courbe
au point A.
1. Lire graphiquement f (1) et f ′(1) .
1. Quelle est l’ordonnée de A ?
3. Que valent f ′(2) et f ′(4) ?
Donner une équation de la tangente à Cf en A.
2. Lire graphiquement f (3) et f ′(3) .
2. Soit d d’équation : y = f ′( a ) ( x − a ) + f (a ) .
a. Montrer que le point A appartient à d.
b. Quel est le coefficient directeur de d.
3. Que représente la droite d pour la courbe de f ?
2
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Activité.9
Pour chaque fonction f définie sur  , calculer
l’expression f ′( x ) .
Application.7
1.
f ( x) = 5
2.
3.
f ( x) = 8x
4.
5.
f ( x ) = −4 x + 7
f ( x) = x
6.
f ( x ) = 3x − 7
1
f ( x) = − x
2
2
f ( x) = x + 2 x − 3
8.
f ( x) = x3 − x2 + 7 x
7.
Formules
si f ( x ) = ax + b
Les tangentes à Cf en A, B, C, D et E sont indiquées.
1. Que vaut f ( −2) , f ′( −2) . Donner une équation
de la tangente à Cf en A.
2. Donner une équation des tangentes à Cf en B, C, D
et E.
3. Résoudre f ′( x ) = 0 .
si f ( x ) = b
alors f ′( x ) = 0
si f ( x ) = ax
alors f ′( x ) = a
si f ( x ) = x
alors f ′( x ) = 1
Application.9
(
)
Soit f la fonction définie sur  par f ( x ) = x 2 − 3 .
2
1. Développer f ( x ) , puis à partir de cette forme
Activité.8
Soit f la fonction définie sur  par f ( x ) = x 2 .
1. Soit x0 un réel quelconque. En revenant à la
définition du nombre dérivé, calculer f ′( x0 ) .
développée, calculer f ′( x ) .
2. On se propose de vérifier à la calculatrice le calcul
de f ′( x ) :
−
2. En déduire : f ′( −1) , f ′(0) , f ′(1) , f ′(2) .
3. Définir la fonction dérivée f ′ en donnant
l’expression f ′( x ) .
Formule
alors f ′( x ) = a
si f ( x ) = x 2 , alors f ′( x ) = 2 x
Application.8
Soit f la fonction définie sur  * par f ( x ) =
1
.
x
−
−
dans Y1 : entrer l’expression f ( x ) , désactiver
le symbole « = » contrôlant l’affichage de la
courbe ( on ne souhaite pas tracer cette
courbe )
dans Y2 : entrer « nbreDériv(Y1(X),X,X) »
dans Y3 : entrer ce qui a été obtenu comme
expression pour f ′( x ) , choisir le tracé en
gras.
Choisir le paramétrage suivant :
1. Soit x0 un réel non nul.
En revenant à la définition du nombre dérivé,
1
.
( x0 ) 2
2. En déduire f ′( −2) , f ′( −1) , f ′(1) , f ′(2) .
3. Définir la fonction dérivée f ′ en donnant
l’expression f ′( x ) .
montrer que: f ′( x0 ) = −
Formule
si f ( x ) =
Vous devez obtenir :
1
1
, alors f ′( x ) = − 2
x
x
3
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Activité.10
Pour tout x dans [ 0; + ∞[ , on pose : f ( x ) =
x.
Application.12
Calculer f ′( x ) pour chacune des fonctions
f suivantes :
1. Montrer que le taux d’accroissement de f entre
4 et 4 + h est :
1
.
h+4 +2
En déduire le nombre dérivé de f en 2.
2. Soit x0 un nombre strictement positif.
a. Montrer que le taux d’accroissement de f
1
.
x0 + h + x0
entre x0 et x0 + h est :
b. En déduire que f ′( x0 ) =
1.
f ( x ) = ( −3x + 2) × x 2.
3.
f ( x) =
x2 + 4
3x 2 + 10
4.
f ( x ) = x 2 × ( 5 x + 1)
f ( x) = 5 +
4
x
Activité.13
On a utilisé la calculatrice en entrant f ( x ) dans Y1, et
en posant Y2=nbreDérivé(Y1(X),X,X).
On obtient :
1
.
2 x0
c. Définir la fonction dérivée f ′ en donnant
l’expression f ′( x ) .
Sur quel intervalle f ′ est-elle définie ?
Formule
si f ( x ) = x , alors f ′( x ) =
2 x
Application.10
x + 3x .
2. En déduire f ′(1) .
3. Donner une équation de la tangente à la courbe
de f au point de Cf d’abscisse 1.
Activité.11
Calculer f ′( x ) pour chacune des fonctions f suivantes.
3.
5x + 1
f ( x) =
x+2
2.
f ( x ) = ( x − 4) × x
4.
x2 + 5
f ( x) =
x
On donnera f ′( x ) sous une forme telle que l’on
puisse en étudier le signe ( on ne demande pas
d’effectuer cette étude de signe ).
2. Dresser le tableau de signes de sa dérivée f ′ .
Le théorème fondamental
L’idée à retenir : le sens de variation d’une fonction
et le signe de sa dérivée sont liés.
Plus précisément, pour toute fonction f dérivable sur
un intervalle I :
f est croissante sur I  f ′ est positive sur I
f est décroissante sur I  f ′ est négative sur I
f est constante sur I  f ′ est toujours nulle sur
I
Pour les exercices de type « sciences économiques »
Recette = Prix à l’unité × quantité produite
Bénéfice = Recette – Coût total
Cmoyen ( q) =
Formules
( u × v )′ = u ′ × v + v ′ × u
Traiter les questions suivantes, par lecture graphique :
3. Existe-il un lien entre le sens de variation de f et le
signe de sa dérivée f ′ ?
1. Calculer f ′( x ) .
f ( x ) = (3x + 1) × x
en trait fin et courbe de ′ en gras.
1. Dresser le tableau de variation de la fonction f .
Pour tout x ∈ [ 0; + ∞[ , on pose : f ( x ) =
1.
Courbe de
1
 u ′ u′ × v − v ′ × u
  =
v2
v
Ctotal ( q)
q
Cmarginal ( q) = C 'total (q)
( approximation )
4
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2
Exercice.5
Exercice.1
Soit f définie sur  − {−1} par : f ( x ) =
x
.
x +1
1. Montrer que le taux d’accroissement de f entre 2
et 2 + h est égal à :
1
.
3h + 9
2. En déduire le nombre dérivé de f en a = 2 .
3. Donner une équation de la tangente à la courbe
de f au point d’abscisse 2.
Exercice.2
Pour tout réel x, on pose : f ( x ) = x 3 − x 2 − 2 x + 2 .
1. Dresser le tableau de signes de f ( x ) .
1. Calculer f ′( x ) .
2. Résoudre l’équation : f ′( x ) = 0 .
2. Résoudre l’équation f ′( x ) = −1 .
En déduire les abscisses des points A et B de la
courbe de f pour lesquels la tangente est parallèle
à la droite d’équation y = − x .
3. Vérifier à la calculatrice en traçant la courbe de f
et les tangentes à cette courbe en A et en B.
Exercice.3
Pour tout x ∈ [0; + ∞ [ ,on pose : f ( x ) =
x.
1. Calculer une équation de la tangente à la courbe
de f au point d’abscisse 4.
On note g la fonction affine dont cette droite est
la représentation graphique.
2. En utilisant le fait que pour x proche de 4 les
valeurs de g ( x ) et f ( x ) ont des valeurs proches,
donner une estimation de
Courbe représentative de f et tangente en A.
4,08 sans utiliser la
calculatrice.
4. Que vaut f (2) et que vaut f ′(2) ?
Donner une équation de la tangente à Cf en A.
Exercice.5
Pour tout x ∈  : f ( x ) =
1 2
( x − 4 x + 4)( x − 5) .
2
On note Cf la courbe représentative de f dans un
repère orthogonal.
1. Résoudre l’équation f ( x ) = 0 et donner une
interprétation graphique des solutions obtenues.
2. On se propose de calculer f ′( x ) de deux façons
différentes.
Première méthode
Développer l’expression f ( x ) , puis calculer la
fonction dérivée à partir de cette forme
développée de f ( x ) .
Deuxième méthode
Exercice.4
On pose, pour tout réel x : f ( x ) =
3. Dresser le tableau de signes de f ′( x ) .
1
.
x² + 2 x + 2
1. Justifier que la fonction f est bien définie sur  .
2. Calculer f ′( x ) .
3. Etudier le signe de f ′( x ) .
4. Dresser le tableau de variation de f.
Calculer f ′( x ) en utilisant la formule ( u × v )′ .
3. Résoudre l’équation f ′( x ) = 0 et donner une
interprétation graphique des solutions obtenues.
4. Donner une équation de la tangente TA à la
courbe de f au point A d’abscisse 1.
5. Il semble exister un point B de la courbe Cf distinct
de A et en lequel la tangente est parallèle à la
droite TA. Calculer l’abscisse du point B.
5
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