problème

Groupes finis et arithm´etique basique
1´ Enonc´e
Si p, q sont deux entiers relatifs, on note p∧qle pgcd de pet qet p∨qle ppcm de pet q.
– I – Les nombres de Fermat
On appelle nombre de Fermat tout entier de la forme :
Fn= 22n+ 1
o`u nest un entier naturel.
On v´erifie que Fnest premier pour n= 0,1,2,3,4 :
F0= 3, F1= 5, F2= 17, F3= 257, F4= 65 537.
Fermat pensait que tous les Fnsont premiers, mais Euler prouva que F5est non premier. On a
v´erifi´e ensuite que les Fnpour nallant de 6 `a 11 ne sont pas premiers. On conjecture qu’il n’y a
qu’un nombre fini d’entiers de Fermat premiers.
1. Montrer que, pour tout n≥2,le chiffre des unit´es de Fnest ´egal `a 7.
2. Montrer que pour tout n∈N, Fnet Fn+1 sont premiers entre eux.
3. Montrer que pour n6=mdans N, Fnet Fmsont premiers entre eux.
4. Montrer que pour n6=mdans Net pdans N∗, F p
net Fp msont premiers entre eux.
5. Montrer que :
∀n≥0, Fn+1 =
n
Y
k=0
Fk+ 2.
6. Soient r≥1 et a≥2 deux entiers.
(a) Montrer que si ar+ 1 est premier, alors aest pair et il existe un entier n≥0 tel que
r= 2n.
(b) Montrer que pour tout entier pair a≥2,les entiers un=a2n+1 sont deux `a deux premiers
entre eux.
7. Montrer que, pour tout n≥0, Fndivise 2Fn−2.
`
A l’´epoque de Fermat, on pensait que si un entier m≥2 est tel que mdivise 2m−2,alors m
est premier, ce qui est faux comme le montre la valeur de m= 341 = 11 ×31,mais c’est quand
mˆeme vrai pour plusieurs valeurs de m. On peut imaginer que partant de ce r´esultat Fermat
pensait que les Fnsont tous premiers.
8. Montrer que, pour n≥2, Fnne peut pas s’´ecrire comme somme de deux nombres premiers.
– II – Un th´eor`eme de Lagrange
1

Les groupes sont not´es multiplicativement et on note 1 l’´el´ement neutre.
Si Gest un groupe, pour tout adans G, on note hai=©ak|k∈Zªle sous groupe de Gengendr´e
par a.
Si haiest infini, on dit alors que aest d’ordre infini dans G, sinon on dit que aest d’ordre fini
dans Get l’ordre de aest θ(a) = card (hai).
Tous les groupes consid´er´es dans cette section sont finis avec au moins deux ´el´ements.
Pour tout entier naturel n≥2,on note Zn=Z/nZl’anneau des classes r´esiduelles modulo n, Z×
n
le groupe multiplicatif des ´el´ements inversibles de cet anneau et ϕ(n) le nombre d’´el´ements de Z×
n
(indicateur d’Euler). On pose ϕ(1) = 1.
Si kest un entier relatif, on note k=k+nZla classe de kdans Zn.
1. Soient Gun groupe fini et Hun sous-groupe. On rappelle que la relation gvhsi et seulement
si g−1h∈Hest une relation d’´equivalence sur G. L’ensemble quotient G
Hest l’ensemble des
classes `a gauche selon H:
gH ={gh |h∈H},
o`u gd´ecrit G. Le cardinal de G
Hest not´e [G:H] et appel´e l’indice de Hdans G.
(a) Montrer que pour tout g∈Gla classe `a gauche gH est de cardinal ´egal `a celui de H.
(b) Montrer que l’ordre de Hdivise celui de G(th´eor`eme de Lagrange).
2. Quelques applications du th´eor`eme de Lagrange.
(a) Montrer qu’un groupe fini de cardinal premier est cyclique.
(b) Petit th´eor`eme de Fermat. Soit pun nombre premier. Montrer que pour tout entier relatif
k, kp−kest divisible par p.
(c) Th´eor`eme d’Euler.
i. Montrer que pour tout entier naturel n≥2, ϕ (n) est le nombre de g´en´erateurs du
groupe cyclique (Zn,+) .
ii. Montrer que pour tout entier naturel n≥2, ϕ (n) est le nombre d’entiers compris
entre 1 et npremiers avec n.
iii. Montrer que pour tout entier relatif kpremier avec n, kϕ(n)−1 est divisible par n.
(d) Sous-groupes d’un groupe cyclique. On se donne un entier n≥2.
i. Montrer que les sous-groupes de (Zn,+) sont cycliques d’ordre un diviseur de n.
ii. Montrer que pour tout diviseur dde n, il existe un unique sous-groupe d’ordre dde
(Zn,+) .
(e) Montrer que si x, y sont deux ´el´ements d’un groupe fini Gd’ordres respectifs pet qpremiers
entre eux tels que xy =yx, alors xy est d’ordre pq. Si pet qne sont pas premiers entre
eux, xy est-il d’ordre p∨q?
(f) Soient Gun groupe commutatif et x, y deux ´el´ements de Gd’ordres respectifs pet q.
Montrer qu’il existe dans Gun ´el´ement d’ordre p∨q.
(g) Soient Gun groupe commutatif fini et µle plus grand des ordres des ´el´ements de G
(l’exposant de G). Montrer que pour tout x∈Gon a xµ= 1.
(h) Montrer que si Kest un corps commutatif, alors tout sous-groupe fini de K∗est cyclique.
En particulier, Z∗
pest cyclique pour ppremier.
(i) Diviseurs premiers des nombres de Fermat. On d´esigne par pun diviseur premier d’un
nombre de Fermat Fnet on suppose que p6=Fn.
2

i. Montrer que p≥3.
ii. Montrer que 2 est d’ordre 2n+1 dans le groupe multiplicatif Z∗
p.
iii. Montrer que pcongru `a 1 modulo 2n+1.
iv. Montrer que p= 2n+1q+ 1,o`u qest un entier qui admet un diviseur premier impair.
Pour F5= 4 294 967 297,s’il n’est pas premier ses diviseurs premiers sont de la forme
p= 26q+ 1 = 64q+ 1 o`u les valeurs possibles de qsont 3,5,6,7,9,10,··· En essayant
successivement ces valeurs, on aboutit `a :
F5
641 =4 294 967 297 641 = 6700 417
et F5n’est pas premier.
v. Montrer que, pour n≥1, Fnest premier avec n.
– III – Infinitude de l’ensemble Pdes nombres premiers
On se propose ici de donner plusieurs d´emonstration du th´eor`eme d’Euclide sur l’infinitude de
l’ensemble Pdes nombres premiers.
Preuve 1 Rappeler la d´emonstration d’Euclide de l’infinitude de l’ensemble Pdes nombres premiers.
Preuve 2 Montrer que pour tout entier naturel n, on peut trouver un nombre premier pplus grand que
n. Conclure.
Preuve 3 On note :
P1={p∈ P | ∃n∈N;p= 4n+ 3}
P2={p∈ P | ∃n∈N;p= 6n+ 5}
(a) Montrer que P1est infini. Conclure.
(b) Montrer que P2est infini. Conclure.
De mani`ere plus g´en´erale on peut montrer que si aet bsont deux entiers premiers entre eux
alors il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme an +b(th´eor`eme de Dirichlet).
Preuve 4
(a) Montrer que si on dispose d’une suite (un)n∈Nstrictement croissante d’entiers naturels
diff´erents de 0 et 1 et deux `a deux premiers entre eux, on peut alors en d´eduire que P
infini.
(b) En utilisant les nombres de Fermat, montrer que Pinfini.
(c) Soient a, b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux avec b > a. On d´efinit la suite
(un)n∈Npar :
½u0=b
∀n≥1, un−a=un−1(un−1−a)
On a vu en premi`ere partie, que la suite (Fn)n∈Ndes nombres de Fermat v´erifie la relation
de r´ecurrence : ½F0= 3
∀n≥1, Fn−2 = Fn−1(Fn−1−2)
L’id´ee est donc de g´en´eraliser.
3

i. Montrer que (un)n∈Nest une suite strictement croissante d’entiers naturels diff´erents
de 0 et 1.
ii. Montrer que pour tous m > n ≥0,on a :
um≡amod un
iii. Montrer que, pour tout n≥0, unest premier avec a.
iv. Montrer que les unsont deux `a deux premiers entre eux. Conclure.
(d) Soit aun entiers naturel impair sup´erieur ou ´egal `a 3.On d´efinit la suite (un)n∈Npar :
½u0=a
∀n≥1, un=u2
n−1−2
i. Montrer que (un)n∈Nest une suite strictement croissante d’entiers naturels impairs.
ii. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
½un+1 ≡ −2 mod un
∀m≥n+ 2, um≡2 mod un
iii. Montrer que les unsont deux `a deux premiers entre eux. Conclure.
Preuve 5
(a) Soit pun nombre premier impair. On se propose de montrer que −1 est un carr´e dans Zp
si, et seulement si, pest congru `a 1 modulo 4.
i. Montrer que si p≡3 mod 4,alors −1 n’est pas un carr´e dans Zp(ce qui revient `a
dire que l’´equation x2+ 1 = 0 n’a pas de solutions dans Zp).
ii. Montrer que si p≡1 mod 4,alors l’´equation x2+ 1 = 0 a deux solutions dans Z
pZqui
sont −r! et r! o`u r=p−1
2(−1 est alors un carr´e dans Zp).
(b) Montrer que l’ensemble :
P3={p∈ P | ∃n∈N∗;p= 4n+ 1}
est infini et conclure.
Pour les preuves 6. `a 11. on suppose que Pest fini et on note p1= 2 <··· , < prtous ses
´el´ements (pret donc le plus grand nombre premier).
Pour tout r´eel x, on note [x] sa partie enti`ere.
Preuve 6 Pour tout entier kcompris entre 1 et r, on note n=
r
Q
k=1
pk=pkqk.En utilisant les diviseurs
premiers de S=
r
P
k=1
qk,montrer qu’on aboutit `a une contradiction et conclure.
Preuve 7 Montrer que si pest un diviseur premier de m= 2pr−1,alors 2 est d’ordre prdans le groupe
multiplicatif Z∗
pet conclure.
Preuve 8 Soit nun entier naturel non nul.
(a) Soit mun entier compris entre 1 et 2n.Montrer que si m=
r
Q
k=1
pαk
kest la d´ecomposition
en facteurs premiers de m, on a alors αk≤npour tout kcompris entre 1 et r.
4

(b) En d´eduire que 2n≤(n+ 1)ret conclure.
Preuve 9 Soit nun entier naturel non nul.
(a) Soit mun entier compris entre 1 et pn
r.Montrer que si m=
r
Q
k=1
pαk
kest la d´ecomposition
en facteurs premiers de m, on a alors αk≤·nln (pr)
ln (2) ¸pour tout kcompris entre 1 et r.
(b) En d´eduire que pn
r≤nrµln (pr)
ln (2) + 1¶r
et conclure.
Preuve 10
(a) Soient xun r´eel strictement sup´erieur `a 1, n un entier naturel compris entre 1 et xet
n=
r
Q
k=1
pαk
kla d´ecomposition en facteurs premiers de no`u les αksont des entiers positifs
ou nuls. Montrer que pour tout kcompris entre 1 et r, on a :
αk≤·ln (x)
ln (2) ¸.
(b) En d´eduire que pour tout r´eel x > 1,on a :
x < µln (2x)
ln (2) ¶r
+ 1
et conclure.
Preuve 11
(a) Montrer, le plus simplement possible, que la s´erie P1
n2est convergente de somme S∈
]0,2[ .
(b) Pour n >
r
Q
k=1
pk,on partitionne l’ensemble E={1,2,··· , n}en distinguant les entiers
compris entre 1 et nqui sont sans facteurs carr´es (i. e. de la forme
r
Q
k=1
pεk
ko`u (ε1,··· , εr)∈
{0,1}r) de ceux qui sont divisibles par le carr´e d’un nombre premier, soit E=E1∪E2,
o`u :
E1=(m∈E|m=
r
Y
k=1
pεk
ko`u (ε1,··· , εr)∈ {0,1}r)
E2=©m∈E| ∃pk∈ P tel que p2
kdivise mª
i. Montrer que card (E1)≤2r.
ii. Montrer que, pour kcompris entre 1 et r, il y a au plus ·n
p2
k¸entiers mdans E
divisibles par p2
ket en d´eduire que :
card (E2)≤n(S−1) .
iii. Conclure.
– IV – Quelques applications
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