Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 2

Terminale S - sp´ecialit´e corrig´e du devoir maison n˚2
Correction du devoir non surveill´e de math´ematiques no2
Exercice 1 :
On souhaite r´esoudre dans Z2l’´equation 16x2=y2+ 7, c’est-`a-dire que l’on cherche tous les couples d’entiers
relatifs (x;y)v´erifiant cette ´equation.
1. xet y´etant deux entiers relatifs, on a :
16x2=y2+ 7 ⇐⇒ 16x2−y2= 7 ⇐⇒ (4x−y)(4x+y) = 7 .
2. De la question pr´ec´edente, on d´eduit que (4x−y)(4x+y)est une d´ecomposition de 7en produit de facteurs
entiers relatifs (en effet, xet ysont des entiers relatifs). Sachant que les diviseurs de 7sont −7; −1; 1 et 7, l’´equation
est ´equivalente `a :
(4x−y= 1
4x+y= 7 ou (4x−y= 7
4x+y= 1 ou (4x−y=−1
4x+y=−7ou (4x−y=−7
4x+y=−1
3. La r´esolution de ces syst`emes donne
(x= 1
y= 3 ou (x= 1
y=−3ou (x=−1
y=−3ou (x=−1
y= 3
Ainsi les couples d’entiers relatifs solutions sont (1 ; 3) ; (1 ; −3) ; (−1 ; −3) et (−1 ; 3).
Exercice 2 :
Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 3.
Il s’agit de d´emontrer une ´equivalence :
Montrons que si n= 3 ou n= 9 alors n−2divise n+ 5
n n −2n+ 5 n−2divise
n+ 5
318 oui
9 7 14 oui
R´eciproquement, supposons que n−2divise n+ 5 et montrons que n= 3 ou n= 9.
On sait que n−2divise toute combinaison lin´eaire (avec des coefficients entiers) de n−2et n+ 5. Ainsi, n−2
divise (n+ 5) −(n−2) = 7.
Or, les diviseurs de 7sont −7; −1; 1 et 7. D’o`u le tableau suivant :
n−2n n + 5 n−2divise
n+ 5
−7−5 0 oui
−1 1 4 oui
138 oui
7 9 14 oui
Mais n>3, donc n= 3 ou n= 9.
On a donc d´emontr´e que n−2divise n+ 5 si, et seulemnt si n= 3 et n= 9.
Exercice 3 :
1. Les diviseurs de 2013 sont −2013; −671; −183; −61; −33; −11; −3; −1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671 et
2013.
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2. det ksont deux entiers naturels positifs non nuls.
a. Soit xun r´eel et n∈N∗.
(x−1)(1 + x+x2+···+xn) = (x+x2+x3+··· +xn+1)−(1 + x+x2+···+xn)
=xn+1 −1
Ainsi, pour tout r´eel x, on a (x−1)(1 + x+x2+··· +xn) = xn+1 −1.
b. Soit un entier a>1, en posant x=adet n=k−1, l’´egalit´e pr´ec´edente donne :
ad−1)(1 + ad+ad2+···+adk−1=adk−1
ou encore, ad−1)(1 + ad+a2d+···+ad(k−1)=adk −1
Il est clair que la somme d’entiers 1 + ad+a2d+···+ad(k−1) est un entier. On en d´eduit que akd −1est
divisible par ad−1.
3. Le nombre 22013 −1n’est pas divisible par 2car 22013 est divisible par 2donc 22013 −1est un nombre
impair.
Le nombre 22013 −1est divisible par 7car 2013 = 3 ×671 donc 23×671 −1est divisible par 23−1 = 7
d’apr`es la question 2.b.
Le nombre 22013 −1est divisible par 8 589 934 591 car 2013 = 33 ×61 donc 233×61 −1est divisible par
233 −1 = 8 589 934 591 d’apr`es la question 2.b.
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