Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 2

Terminale S - spécialité
corrigé du devoir maison n˚2
Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 2
Exercice 1 :
On souhaite résoudre dans Z2 l’équation 16x2 = y 2 + 7, c’est-à-dire que l’on cherche tous les couples d’entiers
relatifs (x ; y) vérifiant cette équation.
1. x et y étant deux entiers relatifs, on a :
16x2 = y 2 + 7
⇐⇒
16x2 − y 2 = 7
⇐⇒
(4x − y)(4x + y) = 7 .
2. De la question précédente, on déduit que (4x − y)(4x + y) est une décomposition de 7 en produit de facteurs
entiers relatifs (en effet, x et y sont des entiers relatifs). Sachant que les diviseurs de 7 sont −7; −1; 1 et 7, l’équation
est équivalente à :
(
(
(
(
4x − y = 1
4x − y = 7
4x − y = −1
4x − y = −7
ou
ou
ou
4x + y = 7
4x + y = 1
4x + y = −7
4x + y = −1
3. La résolution de ces systèmes donne
(
(
(
x = −1
x=1
x=1
ou
ou
y = −3
y = −3
y=3
ou
(
x = −1
y=3
Ainsi les couples d’entiers relatifs solutions sont (1 ; 3) ; (1 ; −3) ; (−1 ; −3) et (−1 ; 3).
Exercice 2 :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Il s’agit de démontrer une équivalence :
Montrons que si n = 3 ou n = 9 alors n − 2 divise n + 5
n
n−2
n+5
3
9
1
7
8
14
n − 2 divise
n+5
oui
oui
Réciproquement, supposons que n − 2 divise n + 5 et montrons que n = 3 ou n = 9.
On sait que n − 2 divise toute combinaison linéaire (avec des coefficients entiers) de n − 2 et n + 5. Ainsi, n − 2
divise (n + 5) − (n − 2) = 7.
Or, les diviseurs de 7 sont −7; −1; 1 et 7. D’où le tableau suivant :
n−2
n
n+5
−7
−1
1
7
−5
1
3
9
0
4
8
14
n − 2 divise
n+5
oui
oui
oui
oui
Mais n > 3, donc n = 3 ou n = 9.
On a donc démontré que n − 2 divise n + 5 si, et seulemnt si n = 3 et n = 9.
Exercice 3 :
1. Les diviseurs de 2013 sont −2013; −671; −183; −61; −33; −11; −3; −1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671 et
2013.
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2. d et k sont deux entiers naturels positifs non nuls.
a. Soit x un réel et n ∈ N∗ .
(x − 1)(1 + x + x2 + · · · + xn ) = (x + x2 + x3 + · · · + xn+1 ) − (1 + x + x2 + · · · + xn )
= xn+1 − 1
Ainsi, pour tout réel x, on a (x − 1)(1 + x + x2 + · · · + xn ) = xn+1 − 1.
b. Soit un entier a > 1, en posant x = ad etn = k − 1, l’égalité précédente donne :
k
2
k−1
= ad − 1
ad − 1)(1 + ad + ad + · · · + ad
ou encore, ad − 1)(1 + ad + a2d + · · · + ad(k−1) = adk − 1
Il est clair que la somme d’entiers 1 + ad + a2d + · · · + ad(k−1) est un entier. On en déduit que akd − 1 est
divisible par ad − 1.
3. Le nombre 22013 − 1 n’est pas divisible par 2 car 22013 est divisible par 2 donc 22013 − 1 est un nombre
impair.
2013 − 1 est divisible par 7 car 2013 = 3 × 671 donc 23×671 − 1 est divisible par 23 − 1 = 7
Le nombre 2
d’après la question 2.b.
2013 − 1 est divisible par 8 589 934 591 car 2013 = 33 × 61 donc 233×61 − 1 est divisible par
Le nombre 2
233 − 1 = 8 589 934 591 d’après la question 2.b.
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