acceleration

L’accélération
ac comme dans accroître ...
celere comme dans célérité
C’est quand la vitesse augmente ...
... ou diminue
(et dans ce cas, on parle de ralentissement)
Seulement voilà
Difficile
: comment
à dire ...parler de la géométrie
C’est pourquoi nous allons
de l’accélération quand celle-ci varie ?
commencer par ce cas particulier :
Temps
Vitesse
acquise
t
v – vo
1
a
Cette hypothèse nous donne
le tableau ci-contre
supposer l’accélération constante, ce
qui se définit par « la vitesse
augmente proportionnellement au
temps ».
Définition : le nombre vo est la valeur de
la vitesse initiale.
Faisons un peu de géométrie.
Ce tableau nous donne l’équation
Quelle est la formule de l’aire d’un
trapèze ?
v – vo = a t (égalité des produits croisés)
Cette grandeur est par définition l’accélération
Cette formule nous donne la géométrie cidessous
vo
v
Les deux trapèzes
sont égaux
Vitesse
v
vo
Aire = xM – xMo
vo
Aire = xM – xMo =
1
t
L’aire du trapèze est donc égale à la
moitié de celle du rectangle
t
Temps
(v + vo) t
2
1
=
2
(v + vo) t
v
Et dans l’espace à trois dimensions ?
xM – xMo =
v – vo = a t
Additionnons vo des deux côtés :
xM – xMo =
1
2
1
2
a t 2 + vo t
1
(avt + vo + vo) t =
2
1
(a t + 2 vo) t =
2
a t 2 + vo t
v – vo + vo = a t + vo
v = a t + vo
On substitue v par a t + vo
Aire = xM – xMo =
(v + vo) t
2
1
=
2
(v + vo) t
Et dans l’espace à trois dimensions ?
xM – xMo =
1
2
zP
ax t 2 + vxo t
1
1
1
2 + v at t 2 + v t z – z
yM – yMo = xM – xaMo
t
az t 2 + vzo t
=
M
Mo =
y
yo
o
2
2
2
Cote = xP – xM
P
v – vo = a t
zM
M
1
O
xM
1
1
yM
yP
Ordonnée = yP – yM
xP
Abscisse = xP – xM
Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS
Donc, au lieu d’écrire UNE équation on en écrit TROIS
Quand le corps trace la flèche accélération
xM – xMo =
1
2
ax t 2 + vxo t
yM – yMo =
1
2
1
zM – zMo =
ay t 2 + vyo t
2
2 secondes
Imaginons que le corps dont la vitesse initiale est nulle se déplace pendant
v – vo = a t
xM – xMo =
2 est 2
Alors les formules ci-dessus deviennent, parce que le carré de
1
2
ax 2 + 0 x
2 , yM – yMo =
1
2
ay 2 + 0 x
2
,
zM – zMo =
az t 2 + vzo t
1
2
az 0 + 0 x
2
donc
xM – xMo = ax
yM – yMo = ay
zM – zMo = az
Ainsi, en 2 secondes, si sa vitesse initiale est nulle, le corps trace lui-même une
flèche dont les coordonnées sont celles de l’accélération.
Le calcul du carré de la longueur de cette flèche
donne la formule du carré de l’accélération
MMo2 = (xM – xMo)2 + (yM – yMo )2 + (yM – yMo )2
a 2 = ax2 + ay2 + az2
Unité de l’accélération
xM – xMo =
1
2
ax t 2 + vxo t
yM – yMo =
1
2
ay t 2 + vyo t
zM – zMo =
v – vo = a t
Pour cette formule, substituons les valeurs par leurs unités
m s-1 = u s
Multiplions par s-1
m s-1 s-1 = u s s-1
En se servant des propriétés des puissances
Quelles propriétés ?
qm qn = qm + n
Celle de la
multiplication des
puissances
L’unité d’une accélération est le m s-2 ou m / s2
m s -2 = u
1
2
az t 2 + vzo t
Vecteur accélération
Problème de géométrie :
Un point sur ce corps ...
... mais lequel ?
M
Un corps ...
A
... on le suit pendant
2 secondes
L’ensemble de ces flèches mérite un nom ...
... et un symbole ...
Définition : un vecteur un ensemble de
flèches parallèles, de même orientation et de
même longueur.
Définition : l’ensemble de flèches parallèles,
de même orientation et de même longueur
que MA est le vecteur MA.
Ainsi, l’ensemble MA est le vecteur accélération a .