Force

Force
Ce mot a dans le public deux sens
différents
Soit c’est un pouvoir de déplacer les
corps
Soit c’est un pouvoir d’accélérer les
corps
Soit c’est un pouvoir de déplacer les
corps
Chez les scientifiques ...
... le désaccord a duré longtemps ...
... à un tel point qu’ils se sont décidés d’accepter les deux définitions ...
... mais à condition de donner un nom différent à chacune d’elles ...
Soit c’est un pouvoir d’accélérer les
corps
Soit c’est un pouvoir de déplacer les
corps
nommé ENERGIE
nommé FORCE
Soit c’est un pouvoir d’accélérer les
corps
Soit c’est un pouvoir de déplacer les
corps
nommé ENERGIE
z
zo
xo
Une difficulté : un mouvement
naturel se fait toujours dans l’espace,
en trois dimensions.
M
Mo
Nous allons raisonner sur une des
coordonnées, l’abscisse,
yo
y
x
puis se dire que les conclusions sont
applicables aux deux autres, l’ordonnée et
la cote.
nommé FORCE
Soit c’est un pouvoir d’accélérer les
corps
Raisonnons donc en suivant l’abscisse
Si un corps subit une force CONSTANTE ...
... alors par définition l’accélération qu’elle produit est aussi constante ...
... qui elle-même est définie par la variation de la vitesse est proportionnelle au temps.
Un petit rappel : quand la vitesse est constante
par définition
ce qui, géométriquement se représente ainsi : un rectangle
de ’’longitude’’ t, de ‘’latitude’’ V et d’aire x - xo
temps et distance sont proportionnels.
Ce tableau donne
Vitesse
x – xo = V t
V
Aire = x – xo
Temps
t
Si la vitesse est variable
nous admettons toujours que l’aire
est égale à la distance.
Temps
Distance
t
x – xo
V
1
nommé FORCE
Soit c’est un pouvoir d’accélérer les
corps
Raisonnons donc en suivant l’abscisse
Considérons le cas d’une vitesse
augmentant proportionnellement au
temps.
Cette hypothèse nous donne
le tableau ci-contre :
Définition : le nombre ax est l’abscisse
de l’accélération.
Temps
Vitesse
acquise
t
vx – vxo
1
ax
Ce tableau nous donne l’équation :
vx – vxo = ax t (égalité des produits croisés)
Petite base
Cette formule nous donne la géométrie cidessous
Grande base
Grande base
Vitesse
Petite base
hauteur
L’aire du trapèze est la moitié de celle du rectangle
donc est égale à la multiplication de la demi-somme des bases par la hauteur
vx
vxo
Aire = xM – xMo
1
t
Temps
En conséquence
Aire = xM – xMo =
La distance s’obtient en multipliant
le temps par la demi-somme des
vitesses initiale et finale.
vx + vxo
2
t.
Raisonnons donc en suivant l’abscisse
xM – xMo =
vx – vxo = ax t
vx = a t + vxo
Additionnons vxo
aux deux membres
xM – xMo =
ax t + vxo + vxo
2
t=
ax t 2
2
ay t + 2 v xo
2
+ vxo t
t=
ax t
2
t +
On substitue
vx par ax t + vxo
parce que
2 vxo
ax t
2
2
t =
t =
ax t 2
+ vxo t
2
ax t t
2
Aire = xM – xMo =
La distance s’obtient en multipliant
la vitesse par le temps puis en
divisant le résultat par deux.
1
vx + vxo
2
t.
Raisonnons
Raisonnons
maintenant
doncsur
enles
suivant
trois coordonnées
l’abscisse
xM – xMo =
ax t 2
2
yxM – yxMo =
+ vxo t
ayx t 2
2
+ vyo
xo t
zM – zMo =
az t 2
+ vzo t
2
A chaque étape, nous avons non plus UNE
mais TROIS équations :
vx – vxo = ax t
vx = a t + vxo
vy – vyo = ay t
vy = a t + vyo
vz – vzo = az t
vz = a t + vzo
xM – xMo =
ax t + vxo + vxo
2
t=
et deux autrres calculs analogues,
un en ordonnée et un en cote
ay t + 2 v xo
ax t
2 vxo
a t2
t=
t +
t = x
+ vxo t
2
2
2
2
On substitue
vx par ax t + vxo
vy par ay t + vyo
vz par az t + vzo
zM – zMo =
yM – yMo =
Aire = xM – xMo =
La distance s’obtient en multipliant
la vitesse par le temps puis en
divisant le résultat par deux.
vz + vzo
2
vy + vyo
2
vx + vxo
2
t.
t.
t.
ax t 2
xM – xMo =
2
+ vxo t
yM – yMo =
ay t 2
zM – zMo =
+ vyo t
2
xM – xMo =
2
2
2
2
2
+ vzo t
2
2 secondes,
Imaginons que le corps dont la vitesse initiale est nulle se déplace pendant
ax
az t 2
,
yM – yMo =
ay
2
2
,
alors ces formules deviennent, parce que le carré de
xM – xMo = ax ,
et zM – zMo =
2
az
2
2
,
est 2,
yM – yMo = ay
et
zM – zMo = ax .
Ainsi, en 2 secondes, si sa vitesse initiale est nulle, le corps trace une flèche dont les
coordonnées sont celles de l’accélération.
Le calcul du carré de la longueur de cette flèche selon la formule
MMo2 = (xM – xMo)2 + (yM – yMo )2 + (yM – yMo )2
donne la formule du carré de l’accélération a 2 = ax2 + ay2 + az2
Comment Newton a défini la force ?
Nous allons procéder à deux expériences de pensée ...
• Soit un corps subissant une certaine force. Sa masse est m et son
accélération est définie par les trois coordonnées ax , ay et az .
• Expérience 1 - Si sa masse est doublée, alors si l’accélération produite
est la même ...
... nous admettrons que la force est aussi doublée.
• Expérience 2 - Si à masse égale l’accélération est doublée ...
... alors nous admettrons que la force est aussi doublée.
Comment exprimer cela dans le langage des mathématiques ?
Comment Newton a défini la force ?
• Soit un corps subissant une certaine force. Sa masse est m et son
accélération est définie par les trois coordonnées ax , ay et az .
• Expérience 1 - Si sa masse est doublée, alors si l’accélération produite
est la même ...
... nous admettrons que la force est aussi doublée ...
• Expérience 2 - Si à masse égale l’accélération est doublée ...
... alors nous admettrons que la force est aussi doublée ...
Etudions les trois définitions suivantes :
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
Nous voyons bien que les
résultats des deux expériences de
pensée précédentes sont
respectés.
Pour un corps
subissant une
force constante
sans vitesse initiale
l’accélération est aussi constante ...
xM – xMo =
ax t 2
2
donc, reprenant les formules
, yM – yMo =
choisissons comme temps de mouvement
ay t 2
2
et zM – zMo =
az t 2
2
,
2 m secondes.
2
Comme
2m
=2m
xM – xMo =
2 m ax
2
, yM – yMo =
2 m ay
2
et zM – zMo =
2 m az
2
donc
xM – xMo = m ax
, yM – yMo = m ay et
zM – zMo = m az .
,
Pour un corps
subissant une
force constante
sans vitesse initiale
... il trace une flèche que nous considérons comme représentant la force.
2m
secondes plus tard
Flèche force
Départ
donc ...
xM – xMo = Fx
yM – yMo = Fy
zM – zMo = Fz
xM – xMo = m ax
yM – yMo = m ay
zM – zMo = m az
Unité de la force
Rappelons-nous ...
... l’unité de l’accélération est le m s-2.
Comme la masse est en kilogrammes (kg)
... vu les formules
Fx = m ax , etc.
Si on nomme u l’unité de la force, nous avons en substituant les valeurs par leurs unités
u = kg m s-2
L’unité de la force est le kg m s-2 renommée Newton (N)