C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers

C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers
Activité 1 Des angles dans un cercle
1. Conjecture n° 1 avec TracenPoche
Construis un cercle de centre O et de rayon 5 unités en utilisant le bouton
AMB et 
ANB (utilise
points A, B, M et N sur le cercle. Marque les angles 
AMB et 
ANB en utilisant le bouton
a. Mesure les angles 
pour différentes positions de M.
. À l'aide du bouton
, place quatre
).
AMB et 
ANB
. Compare les mesures des angles 
AMB et 
ANB ont la même mesure ?
b. Comment caractériserais-tu les positions de M lorsque les angles 

c. Que faut-il faire pour changer la mesure de l'angle ANB ?
2. Conjecture n° 2 avec TracenPoche
AOB . puis fais apparaître la mesure de l'angle 
AOB .
Sur la figure précédente construis l'angle au centre 
AOB ?
a. Quel est l'arc de cercle intercepté par l'angle 
AOB et 
AMB lorsque ces deux angles interceptent le
b. Quelle relation semble-t-il y avoir entre les mesures de 
même arc de cercle ?
3. Démonstration de la conjecture n° 2
)
AMB et 
AOB interceptent l'arc
A, B et M sont trois points du cercle de centre O de telle sorte que les angles 


AB
AMB.
AOB
de cercle
. Montrons que
=2×
M
a. Premier cas : [AM] est un diamètre du cercle.
•
Quelle est la nature du triangle OMB ? Justifie ta réponse.
•
Exprime les mesures des angles du triangle OMB en fonction la mesure
AMB.
en degré x de l'angle 
•
AOB .
Déduis-en la mesure de l'angle 
O
M
A
B
AMB.
b. Deuxième cas : Le point O appartient au secteur angulaire 
On appelle N le point du cercle de sorte que [MN] soit un diamètre.
AMN et 
AON ?
• Que dire des angles 
•
NMB et 
NOB ?
Que dire des angles 
•
Montre alors que, dans ce cas, la propriété est vérifiée.
O
A
B
N
AMB.
c. Troisième cas : Le point O n'appartient pas au secteur angulaire 
En considérant le diamètre [MN], compare, comme au deuxième cas,

AMN et 
AON , puis 
BMN et 
BON . Compare à l'aide d'un calcul 
AMB et 
AOB .
M
A
4. Démonstration de la conjecture n° 1
N
O
B
)
ANB interceptent
AMB et 
A, B,M et N sont trois points du cercle de centre O de telle sorte que les angles 
AMB = 
ANB .
le même petit arc de cercle AB . Montrons que 
M
N
O
A
Compare chaque angle inscrit avec l'angle au
Activités 1/2
B
( )
centre qui intercepte le même arc puis conclus.
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Activité 2 Polygones réguliers
A
1. Les triangles
a. Parmi les triangles, lesquels sont des polygones réguliers ?
C
b. Construis un tel triangle CAR de côté 5 cm. On appelle O le centre de son cercle
circonscrit.
c. Que représentent les droites (AO), (RO) et (CO) pour ce triangle ?
R
ROC.
COA , 
AOR et 
d. Détermine la mesure des angles 
e. Construis un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 6 cm.
2. Les quadrilatères
a. Parmi les quadrilatères, lesquels sont des polygones réguliers ?
b. Construis un carré DIME de côté 5 cm. On appelle O le centre de son cercle circonscrit.
EOD.
DOI , 
IOM , 
MOE et 
c. Détermine la mesure des angles 
d. Construis un carré inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 4 cm.
3. Une rosace
a. Construis un cercle
de centre O et de rayon 4 cm et la rosace inscrite dans ce
cercle dont les sommets s'appellent A, B, C, D, E et F.
B
C
b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?
A
O
c. Quelle est la nature des triangles AOB, BOC, COD, DOE, EOF et AOF ?
Justifie ta réponse.
D
d. Montre que les angles de ce polygone ont la même mesure.
F
AOB , 
BOC , 
COD , 
DOE , 
EOF et
e. Quelles sont les mesures des angles au centre 

FOA ?
E
f. Propose une méthode de construction de ce polygone en utilisant le rapporteur.
4. Polygone régulier à
n côtés
a. Recherche le nom des polygones qui ont entre 5 et 12 côtés.
b. En t'aidant des réponses aux questions précédentes, détermine la mesure d'un angle au centre déterminé par
deux sommets consécutifs d'un polygone régulier à n côtés.
c. Propose une méthode de construction d'un polygone régulier à
n côtés.
d. Construis un polygone régulier à huit côtés inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm.
e. Calcule la mesure de l'angle formé par deux côtés consécutifs de cet octogone.
Activités 2/2
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