CHAPITRE 4: LES STATISTIQUES

CHAPITRE 4:
LES STATISTIQUES
I- Vocabulaire
Les statistiques consistent à étudier un caractère
d’une certaine population.
Exemple: on peut s’intéresser à la dernière note
obtenue en mathématiques (c’est le caractère)
par les élèves de seconde du lycée (c’est la
population).
Un caractère peut être quantitatif ou qualitatif.
Exemple: la couleur des cheveux est un
caractère qualitatif, la taille est un caractère
quantitatif.
Le mode d’une série statistique est la valeur de la
série qui a l’effectif le plus important.
Exemple: si les notes obtenues par dix élèves
sont: 12;7;8;15;12;18;12;8;9;15 alors le mode de
cette série est 12.
L’étendue d’une série statistique est la différence
entre la valeur maximale de la série et la valeur
minimale.
Exemple: pour l’exemple précédent, l’étendue
est de 18-7=11.
Pour résumer une série statistique donnée sous
forme de liste, on complète un tableau des
effectifs. Note 7
8
9
12
15
18
Exemple
Effectif 1
2
1
3
2
1
La fréquence d’apparition de chacune des
effectif
valeurs est donnée par la formule:
effectif total
La fréquence peut être donnée sous forme
décimale ou en pourcentage. Un pourcentage est
une fraction ayant pour dénominateur 100, par
exemple 0,352 vaut en pourcentage 35,2 soit
100
35,2%.
Exemple: le tableau des fréquences de l’exemple
précédent est:
Note
7
8
9
12
15
18
Fréquence
0,1
0,2
0,1
0,3
0,2
0,1
II- La moyenne
La moyenne d’une série statistique x, est notée x,
et peut être calculée de différentes manières:
-si la série de N valeurs est donnée sous forme
de liste: x1, x2, x3…, xN alors x= x1+x2+x3+…+xN
N
-si la série de N valeurs est donnée sous forme
de tableau des effectifs: valeurs x1 x2 … xP
effectif n1
n1*x1+n2*x2+…+nP*xP
alors x=
N
n2
…
nP
-si la série de N valeurs est donnée sous forme
de tableau des fréquences:
X1
X2
…
xP
Fréquence F1
F2
…
fP
Valeur
Alors x=f1*x1+f2*x2+…+fP*Xp
Exemple: calculer la moyenne de la série
Valeurs 7
9
10
13
18
Effectif 3
1
2
4
1
x= 3x7+1x9+2x10+4x13+1x18
11
21+9+20+52+18
x=
11
x= 120
11
x=10,90
Lorsque dans une série statistique, une valeur
semble trop éloignée des autres, on l’écarte dans
le calcul de la moyenne et on obtient ce qu’on
appelle une moyenne élaguée.
Exemple: calculer la moyenne de la série:
9;10;10;11,5;12;13;19
x= 9+10+10+11,5+12+13+19
7
x= 84,5
7
x=12,07
Xe= 9+10+10+11,5+12+13
65,5
Xe=
6
6
Xe≈10,9
III- La médiane
1) Définition
La médiane d’une série statistique est la valeur
de la série, notée Me, qui partage la série en
deux groupes de même effectif.
2) Médiane d’un caractère discret
Pour déterminer la médiane d’un caractère
discret, on commence par ranger les valeurs
dans l’ordre croissant.
-Si la série comporte un nombre impaire de
valeurs.
Exemple: si la série comporte 11 valeurs, la
médiane est la 6ème valeur.
-Si la série comporte un nombre paire de valeurs.
Exemple: si la série comporte 8 valeurs, la
médiane est la moyenne des 4ème et 5ème valeurs.
La 4ème et la 5ème valeurs forment un intervalle.
3) Médiane d’un caractère continu
Un caractère est dit continu si les valeurs sont
regroupés en classe.
Si on étudie la taille des élèves d’une classe, on risque
d’avoir autant de tailles différentes que d’élève. Il est
alors opportun pour regrouper les valeurs sous forme
d’intervalle.
Exemple:
Taill [145; [150; [155; [160; [165; [170; [175; [180;
e
150[ 155[ 160[ 165[ 170[ 175[ 180[ 185]
Effe 1
ctif
2
1
5
10
3
6
2
Pour déterminer la médiane de cette série, il faut
d’abord dresser le tableau des effectifs cumulés
croissants (ou décroissants), et pour ce faire on
remplace chaque intervalle par l’encadrement
correspondant.
Pour le tableau des effectifs cumulés croissants,
on retient la « partie supérieure » de
l’encadrement alors que pour les effectifs
cumulés décroissants, on retient la « partie
inférieure ». On a alors:
tail x<150 x<155 x<160 x<165 x<170 x<175 x<180 x≤185
le
EC 1
C
3
4
9
19
22
28
30
On place ensuite les points dans un repère. En
reliant les points, on obtient le polygone des
effectifs cumulés croissants (resp. décroissants).
La médiane de la série est l’abscisse du point du
polygone ayant pour ordonnée effectif total/2. Ici,
la médiane est d’environ 167 cm.
IV- Les quartiles
Le premier quartile, noté Q1, d’une série
statistique est la valeur de la série telle que au
moins ¼ des valeurs soient inférieur à Q1.
Le troisième quartile, noté Q3, d’une série
statistique est la valeur de la série telle que au
moins ¾ des valeurs soient inférieurs à Q3.
Remarque: comme pour la médiane, pour
déterminer les quartiles, il faut
commencer par ranger les valeurs de
la série dans l’ordre croissant.
Exemple: déterminer la médiane et les quartiles
de la série suivante:
-6;-3;-0,2;7;9;13;15;17;18;21;35.
L’effectif total est 11 donc la valeur médiane est
la 6ème valeur de la série soit 13.
Le premier quartile, Q1, est la 3ème valeur soit
-0,2.
Q1:11/4=2,75
Le troisième quartile, Q3, est la 9ème valeur soit
18.
Q3:11x3/4=8,25
L’écart interquartile Q3-Q1. On peut représenter
la série à l’aide d’un diagramme en boite:
min
Q1
Me
Q3
max
valeurs
Remarque: pour un caractère continu, on
procède de la même manière que
pour la médiane:
Q1 est alors l’abscisse du point des
effectifs cumulés croissants ayant
pour ordonnée: effectif total/4.
Q3 es l’abscisse du polygone des
effectifs cumulés croissants ayant
pour ordonnée: effectif totalx3/4.
V- Présentation d’une série statistique
Pour une meilleur lisibilité, une série statistique
peut être de différentes manières.
a) Le diagramme en bâton
Exemple: au large de l’Afrique du sud, on a
répertorié les tailles de 96 requins.
Taille 1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
effecti 7
f
10
24
32
18
4
1
b) Le diagramme circulaire
Pour l’exemple précédent:
TAILLE (m)
1
2
3
4
5
6
7
c) L’histogramme
L’histogramme est une présentation adopté aux
caractères continus.
Exemple: un supermarché a relevé es dépenses
de ses clients:
Dépenses [0;10[
[10;30[
[30;50[
[50;100]
effectif
16
8
10
12
[0;10[
[10;30[
[30;50[
[50;100]
EFFECTIF