PRIMITIVES

PRIMITIVES
§ 1 Notion de primitive d'une fonction sur un intervalle
Définition :
f est une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée F' est égale à f
Exemples :
f est la fonction définie sur ℝ par f(x) = 5x + 2.
5
La fonction F définie sur ℝ par F(x) = x2 + 2x est une primitive de f sur ℝ.
2
5
Les fonctions G définies sur ℝ par G (x) = x2 + 2x + C où C est une constante réelle sont également des
2
primitives de f sur ℝ.
§ 2 Existence de primitive d'une fonction sur un intervalle
Théorème :
Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I
§ 3 Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I.
On suppose qu'il existe une primitive F de f sur I.
L'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G définies sur I par G(x) = F(x) + C où C
décrit ℝ.
Démonstration :
. Si G est une primitive de f sur I alors G est dérivable sur I et G’ = f donc G’ = F',
la dérivée de la fonction G - F est nulle sur l'intervalle I, G - F est donc constante sur I : il existe un réel C tel
que pour tout réel x de I, G(x) - F(x) = C
. Réciproquement, si la fonction G est définie sur I par G (x) = F (x) + C avec C réel ;
alors G est dérivable sur I et G' = F' =f. G est donc une primitive de f sur I.
Remarques :
. Si la fonction f admet une primitive sur un intervalle alors elle en admet une infinité.
. Si F et G sont deux primitives d'une fonction f sur un intervalle I alors elles diffèrent
d'une constante. Il existe un réel C tel que la courbe CG représentant G dans un repère
(O ; i , j ) soit l'image de la courbe C F représentant F par la translation de vecteur C j
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§ 4 Primitive prenant une valeur donnée en un réel donné
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I. On Suppose que f admet des primitives sur I. x0 est un réel de I
et y0 est un réel donné.
Il existe une unique primitive G de f sur I telle que G (x0) = y0
Démonstration :
Si F est une primitive de f sur I alors toute primitive de f sur I est définie par :
G(x) = F(x) + C avec C réel.
La condition G(x0) = y0 s'écrit F(x0) + C = y0 c'est-à-dire C = y0 - F(x0). Il existe donc une unique primitive
G de f sur I telle que G(x0) = y0 elle est définie par :
G(x) = F(x) + y0 - F(x0).
§ 5 Primitives des fonctions usuelles
On donne ci-dessous les primitives de certaines fonctions connues. Ces primitives ont été obtenues à partir
des dérivées connues.
L'intervalle I devra être convenablement choisi.
k désigne une constante réelle.
Fonction
f(x) = 0
Primitives
F(x) = k
ℝ
f(x) = 1
F(x) = x + k
ℝ
f(x) = a
F(x) = ax + k
ℝ
f(x) = x
1
x² + k
2
1
F(x) = x3 + k
3
1
F(x) =  + k
x
F(x) = 2 x + k
ℝ
F(x) =
f(x) = x²
f(x) =
f(x) =
f(x) = xn
1
x²
1
Intervalle
ℝ
]-∞ ; 0[ ou ]0 ; + ∞[
]0 ; + ∞[
x
n ∈ ℤ \ {- 1}
1
x
f(x) = ex
f(x) =
1 n+1
x +k
n 1
F(x) = ln x + k
F(x) =
]-∞ ; 0[ ou ]0 ; + ∞[ ou ℝ
]0 ; + ∞[
F(x) = ex + k
ℝ
f(x) = sin x
F(x) = - cos x + k
ℝ
f(x) = cos x
F(x) = sin x + k
f(x) = 1 + tan² x =
1
cos ² x
F(x) = tan x + k
ℝ
π
 π

  2  kπ; 2  kπ 
avec k ∈ ℤ
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Exemples :
Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner un intervalle I sur lequel f a des primitives et donner toutes
les primitives de f sur I.
a) f(x) = x7
1
b) f(x) = 3
x
x4 1
c) f(x) =
x²
Propriétés :
Soit I un intervalle.
Si F est une primitive de f sur I et G est une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur I et si a est un réel, alors aF est une primitive de af sur I.
Remarques :
Les propriétés ci-dessus ont été utilisées "naturellement" dans les exercices précédents.
Attention :
Une primitive d'un produit ne sera pas obtenue en prenant le produit des primitives, puisque la dérivée d'un
produit n'est pas le produit des dérivées.
Exemples :
Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner un intervalle I sur lequel f a des primitives et donner toutes
les primitives de f sur I.
2
a) f(x) = 5x2 + x +
x
b) f(x)= 3sin x + 2 cos x
ex  4
c) f(x) =
3
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§ 6 Primitives et opérations sur les fonctions
u est une fonction dérivable sur un intervalle I
Fonction f
u’un
(n ∈ℕ*)
u'
u²
u'
un
(n ∈ℕ, n ≥ 2)
u'
u
u'
u
u’eu
f(x) = sin (ax + b)
f(x) = cos (ax + b)
Primitives de f sur I
1 n+1
u +C
n 1
1
 +C
u
1
1

 n 1  C
n 1 u
2 u +C
ln (u) +C
eu + C
1
F(x) = − cos(ax + b)
a
1
F(x) =
sin(ax + b)
a
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Conditions sur u
Pour tout x de I, u(x) ≠ 0
Pour tout x de I, u(x) ≠ 0
Pour tout x de I, u(x) > 0
Pour tout x de I, u(x) > 0
Pour tout x de ℝ
Pour tout x de ℝ