Exercices Fonctions 1ère S : Généralités et Solutions

1
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 1
1ere S Sciences math BIOF
Exercice 1 : Déterminer l’ensemble de définition
des fonctions suivantes définie par
1)
2
( ) 3 1f x x x  
. 2)
3
() 24
x
fx x
.
3)
4
2
2
() 4
x
fx x
. 4)
3
71
2
x
fx xx
.
5)
36f x x  
. 6)
25
2 5 3
x
fx xx
.
7)
232f x x x  
. 8)
39
1
x
fx x
.
9)
2
1
23
x
fx xx
. 10)
2
5
1
x
fx x
.
11)
x
fx x
. 12)
2
1
x
fx x
.
13)
21
( ) 3f x x x
x
.
14)
() 2 4 1
x
fx xx
. 15)
2sin
() 2cos 1
x
fx x
.
16)
2
2
2 2 13
6
xx
fx xx
.
17)
22 3 2 2 6f x x x   
18)
2
41
() 23
xx
fx xx
19)
2 1 3 5f x x x   
.
Solutions
1)
2
( ) 3 1f x x x  
f
Est une fonction polynôme donc Un réel a
toujours une image. Donc
f
D
2)
3
() 24
x
fx x
.
Pour les fonctions du type fractions
rationnelles, l’ensemble de définition est
l’ensemble des nombres pour lesquels le
dénominateur est non nul.
/ 2 4 0
f
D x x   
2 4 0x
ssi
42
2
x
Donc
2
f
D
On dira aussi que 2est une valeur interdite pour la
fonction
f
3)
4
2
2
() 4
x
fx x
.
2
/ 4 0
f
D x x   
240x
ssi
22
20x
ssi
2 2 0xx  
ssi
20x
ou
20x
ssi
2x
ou
2x
donc
2;2
f
D  
4)
3
71
2
x
fx xx
.
3
/ 2 0
f
D x x x   
320xx
ssi
220xx
ssi
0x
ou
220x
ssi
0x
ou
22x
ssi
0x
ou
2x
ou
2x
donc
2;0; 2
f
D  
5)
36f x x  
.
Pour les fonctions du type racine carrée, l’ensemble
de définition est l’ensemble des nombres pour
lesquels l’intérieur de la racine est positif
/ 3 6 0
f
D x x    
3 6 0x  
ssi
2x
ssi
6
3
x
ssi
36x  
Donc
;2
f
D 
6)
25
2 5 3
x
fx xx
.
2
/ 2 5 3 0
f
D x x x    
2
2 5 3 0xx  
2a
et
5b
et
3c
22
24 5 4 2 3 25 24 49 7 0b ac             
12
b
xa
et
22
b
xa
15 49 7 5 12 3
2 2 4 4
x   
et
25 49 5 7 2 1
2 2 4 4 2
x 
Donc
1;3
2
f
D
7)
2
2 3 1f x x x  
.
2
/ 2 3 1 0
f
D x x x    
soit
son
discriminant
1sm
Exercices avec solutions FONCTIONS - Généralités
PROF : ATMANI NAJIB

2
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 2
2
24 3 4 2 1 9 8 1 0b ac           
131
41
2 2 4
x  
et
231
21
2 2 4 2
x  
Donc
1
, 1,
2
f
D
8)
93
1
x
fx x
.
93
/ 0 1 0
1
fx
D x etx
x
9 3 0x  
ssi
1
3
x
ssi
93x  
10x
ssi
1x
Donc
1
1, 3
f
D
9)
2
1
23
x
fx xx
.
2
/ 2 3 0
f
D x x x     
2
2 3 0xx   
2a
et
1b
et
3c
22
24 1 4 2 3 1 24 25 5 0b ac            
Donc on a deux racines
11 5 4 1
2 2 4
x
et
21 5 6 3
2 2 4 2
x  
Donc
3
1, 2
f
D
10)
2
5
1
x
fx x
.
2
/ 1 0
f
D x x   
210x
ssi
21x
Cette équation n’admet pas de solution dans
Donc
f
D
11)
x
fx x
.
fx
ssi
x
et
0x
Or on sait que
0x
pour tout
x
Donc
fx
ssi
0x
Donc
0
f
D
12)
2
1
x
fx x
.
/ 2 0 1 0
f
D x x etx     
/ 2 1
f
D x x etx    
2,1 1,
f
D   
13)
21
( ) 3f x x x
x
/ 0 0
f
D x x etx    
/ 0 0
f
D x x etx   
,0
f
D 
14)
() 2 4 1
x
fx xx
.
/ 2 4 1 0
f
D x x x     
2 4 1 0xx   
ssi
2 4 1xx  
ssi
2 4 1xx  
ou
2 4 1xx   
ssi
2 4 1xx  
ou
2 4 1xx   
ssi
3x
ou
2 4 1xx  
ssi
3x
ou
35x
ssi
3x
ou
5
3
x
Donc :
5;3
3
f
D
15)
2sin
() 2cos 1
x
fx x
.
/ 2cos 1 0
f
D x x   
2cos 1 0x
ssi
1
cos 2 x
1
cos 2 x
ssi
cos cos 3 x
2
3
xk
ou
2
3
xk
où
k
Donc:
2 ; 2 /
33
f
D k k k
16)
2
2
2 2 13
6
xx
fx xx
22
2
2 2 13
/ 0 6 0
6
fxx
D x etx x
xx
- On détermine les racines du trinôme
2x22x13
:

3
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 3
Le discriminant est ' = 22 – 4 x (-2) x 13 = 108
et ses racines sont :
12 108 1 3 3
2 2 2
x  
et
22 108 1 3 3
2 2 2
x  
- On détermine les racines du trinôme
26xx
:
Le discriminant est  = (-1) 2 – 4 x (-6) x 1 =25
et ses racines sont :
11 25 15
'2
2 1 2
x   
et
21 25 15
'3
2 1 2
x   
- On obtient le tableau de signe :
1 3 3 1 3 3
; 2 3;
22
f
D   
.
17)
22 3 2 2 6f x x x   
2
/ 2 3 2 2 6 0
f
D x x x     
22
14 4 6 14 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2         
2
14 4 6 2 3 2  
On a donc
2
2 3 2 2 3 2
21
x   
et
et
On a donc :
; 2 3 2;
f
D   
18)
2
41
() 23
xx
fx xx
2
/ 2 3 0
f
D x x x    
2
22 3 0 2 3 0x x x x      
on pose
xX
donc l’équation devient :
22 3 0XX  
Le discriminant est  = 22 – 4 x 1 x (-3)= 16 et
ses solutions sont :
12 16 3
21
X
et
22 16 1
21
X
Donc on a :
3x
et
1x
3x
n’a pas de solution
11xx  
ou
1x
donc
1;1
f
D  
19)
2 1 3 5f x x x   
.
/ 2 1 0 3 5 0
f
D x x et x     
13
/25
f
D x x etx
Donc
13
,
25
f
D
Exercice 2 : Etudier la parité des fonctions
suivantes définie par : 1)
2
35f x x
. 2)
3
fx x
3)
21
() x fx x
. 2)
21
()f x x x
.
3)
2
() 1
x
fx x
. 4)
2
1f x x
5)
3
2
2
() 5
x
fx x
. 6)
2
24f x x x  
.
7)
2x
fx
. 8)
2
x
fx x
Solutions :
1) Soit f une fonction tq :
2
35f x x
Donc
f
D
car
f
est une fonction polynôme
- Pour tout réel x, si
x
, alors
x
-
22
3 5 3 5f x x x
f x f x
Donc f est une fonction paire,
2)
3
fx x
on a
gx
ssi
0x
donc
f
D
- Pour tout réel x, si
x
, alors
x
2
24 2 3 2 4 1 2 6b ac       
12 4 6 2 8 6 14 4 6      
14 4 6 0   
1
2 3 2 2 3 2
2 3 2 14 4 6
2 1 2 1
x   
12 3 2 2 3 2 2 2 2
2 1 2
x   
22 3 2 2 3 2 4 3 23
2 1 2
x    

4
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-
33
fx xx
f x f x
Donc
f
est une fonction impaire,
3 )
32
2f x x x
h
est une fonction polynôme donc Un réel a
toujours une image. Donc
f
D
- Pour tout réel x, si
x
, alors
x
-
32
32
32
22
2
f x x x x x
f x x x f x
Donc
f
est une fonction ni paire ni impaire,
3)
21
() x
fx x
on a
fx
ssi
0x
donc
f
D
- Pour tout réel x, si
x
, alors
x
-
22
11
() xx
fx xx
f x f x
Donc
f
est une fonction impaire,
4)
21
()f x x x
on a
fx
ssi
0x
donc
f
D
- Pour tout réel x, si
x
, alors
x
-
222
1 1 1
()f x x x x
x x x
f x f x
Donc
f
est une fonction ni paire ni impaire,
5)
2
() 1
x
fx x
on a
fx
ssi
210x
210x
ssi
21x
ssi
1x
ou
1x
donc
1;1
f
D  
- Pour tout réel x, si
1;1x  
, alors
1;1x   
-
22
() 1
1
xx
fx x
x
f x f x
Donc
f
est une fonction paire
6)
2
1f x x
.
2
/1 0
f
D x x   
2
10x
ssi
21x
ssi
1x
ou
1x
Donc
1,1
f
D
- Pour tout réel x, si
1,1x
, alors
1,1x  
-
22
( ) 1 1f x x x
f x f x
Donc
f
est une fonction paire
7)
3
2
2
() 5
x
fx x
.
2
/ 5 0
f
D x x   
250x
ssi
25x
pas de solutions
Donc
f
D
- Pour tout réel x, si
x
, alors
x
-
33
22
22
() 5
5
xx
fx x
x
f x f x
Donc
f
est une fonction impaire
8)
2
24f x x x  
.
2
/ 2 4 0
f
D x x   
Or on sait que
2
20x
Pour tout réel x, donc
2
2 4 0 4x  
donc
2
2 4 4 0x  
Donc
f
D
- Pour tout réel x, si
x
, alors
x
-
22
( ) 2 4 2 4f x x x x x
f x f x
Donc
f
est une fonction paire
9)
2x
fx
.
/0
f
D x x  
Donc
0;
f
D
On a
2
mais
2
Donc
f
est une
fonction ni paire ni impaire
8)
2
x
fx x
on a
fx
ssi
20x
ssi
2x
Donc
2
f
D
on a
2f D
mais
22 t D   
Donc
f
D
n’est pas symétrique par rapport a
O
Donc
f
est une fonction ni paire ni impaire

5
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 5
Exercice 3 : Soit la fonction définie par :
3
5 ( ) ( ) 2 3f x f x x x   
Pour tout réel x
1)montrer que
f
est une fonction impaire
2)donner une expression de
()fx
Pour tout
réel x
Solution : soit
x
On a
3
5 ( ) ( ) 2 3f x f x x x   
(1)
Pour tout réel x
On remplaçant x par –x on trouve :
3
5 ( ) ( ) 2 3f x f x x x     
Donc :
3
5 ( ) ( ) 2 3f x f x x x    
(2)
(1)+ (2) donne :
6 ( ) ( ) 0f x f x  
donc :
( ) ( ) 0f x f x  
donc :
( ) ( )f x f x  
x
Donc
f
est une fonction impaire
2)on a :
3
5 ( ) ( ) 2 3f x f x x x   
Et puisque
f
est une fonction impaire donc :
3
5 ( ) ( ) 2 3f x f x x x  
33
13
4 ( ) 2 3 ( ) 24
f x x x f x x    
Exercice 4 :Soit la fonction définie par :
1
() 23
x
fx x
et
f
C
la courbe de
f
Dans le
repère
0; ;ij
orthonormé
Montrer que
f
C
symétrique par rapport à l’axe
des ordonnée
Solution :
3
/ 2 3 0 / 2
f
D x x x x
Donc :
33
;
22
f
D
Il suffit de montrer que
f
est une fonction paire
- Pour tout réel x, si
33
;
22
x
alors
33
;
22
x
-
11
( ) ( )
2 3 2 3
xx
f x f x
xx
Donc
f
est une fonction paire
Par suite la
f
C
symétrique par rapport à l’axe
des ordonnée
Exercice 5 : étudier les variations des fonctions
définies par : 1)
75f x x
2)
2
gx x
Solution :1)
f
est une fonction polynôme donc
f
D
Soit
1
x
et
2
x
tq
12
xx
Donc
12
77xx
car
70
Donc
12
7 5 7 5xx
Alors
12
f x f x
d’où f que est strictement
croissante sur
2) Soit g une fonction tq :
2
gx x
gx
ssi
0x
Donc
0
g
D
a)Soit
10;x 
et
20;x 
tq
12
xx
Donc
12
11
xx
Donc
12
22
xx
car
20
Alors
12
f x f x
d’où f que est strictement
décroissante sur
0;
b)Soit
1;0x 
et
2;0x 
tq
12
xx
Donc
12
11
xx
Donc
12
22
xx
car
20
Alors
12
f x f x
d’où f que est strictement
décroissante sur
;0
b)tableau de variation :
Exercice 6 : étudier les variations de la fonction
définie par:
2
32f x x
Solution :
f
D
soient
1
x
et
2
x
tq
12
xx
on a :
1 2 1 2
;3T x x x x
a)Soit
10;x 
et
20;x 
Donc
10x
et
20x
Donc
12
0xx
Donc
12
30xx
car
30
Donc
1 2 1 2
; 3 0T x x x x  
d’où f que est croissante sur
0;
b)Soit
1;0x 
et
2;0x 
Donc
10x
et
20x
Donc
12
0xx
Donc
12
30xx
car
30