Quelques groupes finis - En route pour l`agreg

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Quelques groupes finis
Résumé
On se fixe ici comme objectif d’identifier (à isomorphisme près) tous les groupes d’ordre inférieur ou égal à 10, à l’exception du cas d’ordre 8 qui sera vu ultérieurement : on distinguera 3
catégories de groupes. Cela permet de réviser pas mal de choses sur les groupes ; certains points
permettent de nourrir la leçon "Exercices sur les groupes".
références : [TT1 MP] [Meunier, T1,T3]
NB : certains bouquins (comme celui de P.Ortiz ou le fameux tome 1 d’exos d’algèbre pour
l’agreg de Francinou Gianella) abordent ces questions avec des prérequis trop poussés,
l’avantage du Meunier est qu’il reste à un niveau "élémentaire".
prérequis : il y a entre autres le théorème de Lagrange, le théorème de structure des groupes
cycliques ou encore la formule des classes [TT1 MP, 27, 29, 39]
1
Les groupes d’ordre premier
– Voici un résultat de cours à connaître [TT1 MP, 40] :
Proposition
Tout groupe d’ordre premier est cyclique ; il est engendré par n’importe lequel de ses
éléments différent du neutre.
Preuve :
Notons p le cardinal premier du groupe G. On montre que tout élément a ∈ G − {e} a un ordre
égal à celui de G : en effet, l’ordre de a, noté ω(a), divise l’ordre du groupe, qui est p ici, donc
ω(a) = p. Ainsi, <a> est un sous-groupe de G ayant le même nombre d’élément, donc <a> =
G.
– On règle ainsi le cas des groupes d’ordre 2, 3, 5, 7.
2
Les groupes d’ordre p2, avec p premier
– On va montrer le résultat suivant [Meunier T1, 14] :
Soit p un nombre premier.
Un groupe d’ordre p2 est isomorphe soit à Z/p2 Z, soit à Z/pZ × Z/pZ.
– Commençons par une application classique de la théorie des actions groupes dans le cas des
p-groupes (ie : des groupes de cardinal de la forme pn avec p premier et n∈ N) : le théorème de
1
Burnside [TT1 MP, 29] (c’est aussi dans [Meunier T1, 13] mais l’autre présentation est plus
concise) :
Exercice
Montrer que le centre d’un p-groupe n’est pas trivial.
indications : appliquer la formule des classes en faisant agir le groupe par automorphismes
intérieurs
– Voici un critère classique de commutativité [Meunier T1, 15] :
Exercice
Soit G un groupe de centre Z(G).
Montrer que si G/Z(G) est cyclique, alors G est commutatif.
indications : il suffit d’écrire
– Montrons enfin le résultat annoncé [Meunier T1, 14] :
Exercice
Soit G un groupe d’ordre p2 avec p premier.
1. Montrer que G est nécessairement abélien.
2. Montrer que si G est cyclique, alors il est isomorphe à Z/p2 Z.
3. Supposons que G n’est pas cyclique. Montrer que G est isomorphe à Z/pZ × Z/pZ.
indications :
1. utiliser le critère précédent
2. RAS
3. prendre deux éléments a et b différents du neutre tels que b ∈
/ hai et montrer que
l’application (x, y) ∈ hai × hbi 7−→ x.y ∈ G est un isomorphisme.
– On règle ainsi le cas des groupes d’ordre 4 et 9.
3
Les groupes d’ordre 2n, avec n premier
– On va montrer le résultat suivant [Meunier, T1 p 16 et T3 p 4] :
Soit n un nombre premier ≥ 3.
Tout groupe d’ordre 2n est isomorphe soit à Z/2nZ (commutatif), soit à Dn (non
commutatif).
– Rappels succints sur le groupe diédral [Meunier T3, 2] :
2
1. On considère l’espace R2 muni de sa structure affine euclidienne usuelle orientée. On
note (e1 , e2 ) sa base canonique.
On note r la rotation d’angle 2π
n de centre O avec n≥2 et s la symétrie orthogonale d’axe
(O,e1 ).
On définit le groupe diédral d’indice n comme étant Dn = hr, si le sous-groupe (de GL2 (R))
engendré par
r et s. n−1
On a Dn = e, r, ..., r , s, ros, ..., rn−1 os et Dn contient 2n éléments.
2. On considère (P) le polygone convexe régulier à n côtés défini par ses n sommets
A0 ,...,An−1 de la manière suivante : A0 ,...,An−1 appartiennent au cercle unité de centre O et
→
2kπ
vérifient (e1 , OAi ) =
n avec k = 0, 1, ..., n - 21.
On considère G = f isométrie a f f ine de R / f (P) = P .
On a G = Dn .
NB : on a donc (au moins) deux approches de ce groupe : soit par les isométries stabilisant un
polygones réguliers , soit comme sous-groupe engendré par un élément d’ordre n et un
élément d’ordre 2.
NB : on a aussi Dn = e, r, ..., rn−1 , s, sor, ..., sorn−1 en utilisant par exemple les égalités
sork = rn−k os pour k=0,1,...,n-1.
NB : certains bouquins notent Dn , d’autres D2n ...
– Montrons le résultat annoncé [Meunier, T1 p 16, complété par T3 p 4] :
Exercice
Soit G un groupe d’ordre 2n avec n premier ≥ 3.
1. Montrer qu’il est impossible que G admette que des éléments d’ordre 2.
2. a. Supposons que G admet un élément d’ordre 2n. Identifier alors G.
b. Supposons que G n’admet pas d’élément d’ordre 2n. Il admet donc un élément a
différent du neutre d’ordre n. On note alors H = <a>.
(i) Soit b un élément de G n’appartenant
H.
pas àn−1
Montrer que G = H∪bH = H∪Hb = e, a, ..., a , b, ab, ..., an−1 b et que b est d’ordre 2.
(En fait tout élément n’appartenant pas à H est d’ordre 2.)
(ii) Montrer alors que G est isomorphe à Dn .
indications :
1. raisonner par l’absurde, montrer que nécessairement ce groupe est commutatif, puis montrer
l’existence d’un sous-groupe d’ordre 4 pour aboutir à une contradiction
2. a. clair
b. (i) vérifier qu’on a bien 2n éléments distincts (raisonner par l’absurde) ; on raisonne par
l’absurde pour montrer que b est d’ordre 2 (b est dans ce cas d’ordre n)
(ii) C’est plus fastidieux : on considère naturellement l’application ϕ : Dn → G qui envoie ri
sur ai et ri os sur ai b pour i=0,1,...,n-1, et il s’agit de montrer que c’est un isomorphisme.
* C’est clairement une bijection.
* Pour montrer que c’est un morphisme, on utilisera les points suivants :
-> dans Dn , on a sork = rn−k os pour k=0,1,...,n-1
-> dans G : boak = an−k ob pour k=0,1,...,n-1 (point qu’on montrera).
– On règle ainsi le cas des groupes d’ordre 6 et 10.
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