Révisions mathématiques - Poly

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -
MATHEMATIQUES 10 :
SUITES :
- DEMONSTRATION PAR RECURRENCE - COURS + ENONCE EXERCICE -
Olivier CAUDRELIER
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I. Principe :
Soient des dominos alignés de manière régulière : à quelles conditions tombent-ils tous ?
·
Pour un domino quelconque, situé à n’importe quel rang p, soit celui-ci tombe, soit celui-ci ne
tombe pas.
Prenons l’éventualité où celui-ci tomberait ; on suppose donc comme vraie l’hypothèse : le
domino du rang p tombe
Phase d’hérédité : on montre alors que dans cette éventualité où le domino du rang p
tombe, le domino suivant - rang (p + 1) - tombe également
·
On a supposé que le domino du rang p tombait ; y-a t’il effectivement un domino qui tombe ?
Phase d’initialisation : on montre qu’effectivement il existe un domino – souvent le
premier, le rang 0 – qui tombe
·
Conclusion : il existe bien un domino qui tombe ; et l’on a démontré que lorsqu’un domino
tombait, le suivant tombait également ; donc le 2e tombe, puis le 3e, etc… ceci jusqu’à l’infini
II. Etude d’un exemple-type :
Ex : soit
montrer par récurrence que
;
est majorée par 2
(En rouge : la rédaction, toujours la même, qui guidera toute démonstration par récurrence)
Préciser la propriété de récurrence
; ici
: pour tout n
,
1. Initialisation :
on montre que la propriété est effectivement vraie au rang 0 (ou 1, ou 2… cela dépend de
l’exercice)
, donc
est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p
, c’est-à-dire :
montrons que la propriété est vraie au rang supérieur (p + 1) , c’est-à-dire :
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;
car la fonction
Ainsi, si la propriété
3. Conclusion :
pour tout n
III.
est croissante sur
est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
la propriété
est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc
Hypothèses à connaitre :
Ø Si l’on souhaite montrer la majoration :
: pour tout n
,
Ø Si l’on souhaite montrer la minoration :
: pour tout n
,
Ø Si l’on souhaite montrer la croissance :
: pour tout n
,
Ø Si l’on souhaite montrer la décroissance :
: pour tout n
Ex : soit
,
;
montrer par récurrence que
est croissante
: pour tout n
,
1. Initialisation :
;
et
est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p
, c’est-à-dire :
montrons que la propriété est vraie au rang (p + 1) , c’est-à-dire :
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est vraie
car la fonction
Ainsi, si la propriété
est croissante sur
est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
3. Conclusion : la propriété
est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc
tout n
; on a donc, pour tout n
,
croissante
IV.
est vraie pour
Méthode de la fonction auxiliaire :
Au lieu de procéder par encadrements successifs comme ci-dessus, méthode qui peut s’avérer lourde
pour des fonctions beaucoup plus compliquées, on peut étudier une fois pour toutes la fonction
associée et s’en servir lors de la récurrence
Reprise de l’exemple :
a) montrer par récurrence que
b) montrer par récurrence que
est majorée par 2
est croissante
a) on introduit la fonction
f est dérivable sur
définie sur
donc sur
comme composée de fonctions dérivables sur
et l’on a :
donc f est croissante sur
1. Initialisation :
, donc
est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p
, c’est-à-dire :
montrons que la propriété est vraie au rang supérieur (p + 1) , c’est-à-dire :
73
;
:
Ainsi, si la propriété
est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
3. Conclusion : la propriété
pour tout n
b)
: pour tout n
est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc
est vraie
,
1. Initialisation :
;
et
est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p
, c’est-à-dire :
montrons que la propriété est vraie au rang (p + 1) , c’est-à-dire :
Ainsi, si la propriété
est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
3. Conclusion : la propriété
est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc
tout n
; on a donc, pour tout n
,
croissante
est vraie pour
(Notons la rapidité et l’élégance de la démonstration une fois f introduite et succinctement étudiée)
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Exercices sur le chapitre de la Démonstration par Récurrence
exercice 1 :
Soit
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
exercice 2 :
Soit
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
exercice 3 :
Soit
En utilisant la fonction associée
n, on a :
, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
exercice 4 :
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
Soit
Soit
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
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b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
c) En déduire
en fonction de n
exercice 5 :
Montrer par récurrence que , pour tout entier naturel non nul:
exercice 6 : exercice de recherche – niveau avancé
Montrer par récurrence que , pour tout entier naturel non nul:
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