Révisions mathématiques - Poly
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I. Principe :
Soient des dominos alignés de manière régulière : à quelles conditions tombent-ils tous ?
·Pour un domino quelconque, situé à n’importe quel rang p, soit celui-ci tombe, soit celui-ci ne
tombe pas.
Prenons l’éventualité où celui-ci tomberait ; on suppose donc comme vraie l’hypothèse : le
domino du rang p tombe
Phase d’hérédité : on montre alors que dans cette éventualité où le domino du rang p
tombe, le domino suivant - rang (p + 1) - tombe également
·On a supposé que le domino du rang p tombait ; y-a t’il effectivement un domino qui tombe ?
Phase d’initialisation : on montre qu’effectivement il existe un domino – souvent le
premier, le rang 0 – qui tombe
·Conclusion : il existe bien un domino qui tombe ; et l’on a démontré que lorsqu’un domino
tombait, le suivant tombait également ; donc le 2e tombe, puis le 3e, etc… ceci jusqu’à l’infini
II.Etude d’un exemple-type :
Ex : soit ;
montrer par récurrence que est majorée par 2
(En rouge : la rédaction, toujours la même, qui guidera toute démonstration par récurrence)
Préciser la propriété de récurrence ; ici : pour tout n ,
1. Initialisation :
on montre que la propriété est effectivement vraie au rang 0 (ou 1, ou 2… cela dépend de
l’exercice) , donc est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p , c’est-à-dire : ;
montrons que la propriété est vraie au rang supérieur (p + 1) , c’est-à-dire :
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car la fonction est croissante sur
Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie
pour tout n
III. Hypothèses à connaitre :
ØSi l’on souhaite montrer la majoration : : pour tout n ,
ØSi l’on souhaite montrer la minoration : : pour tout n ,
ØSi l’on souhaite montrer la croissance : : pour tout n ,
ØSi l’on souhaite montrer la décroissance : : pour tout n ,
Ex : soit ;
montrer par récurrence que est croissante
: pour tout n ,
1. Initialisation : ;
et est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p , c’est-à-dire :
montrons que la propriété est vraie au rang (p + 1) , c’est-à-dire :
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car la fonction est croissante sur
Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie pour
tout n ; on a donc, pour tout n , croissante
IV. Méthode de la fonction auxiliaire :
Au lieu de procéder par encadrements successifs comme ci-dessus, méthode qui peut s’avérer lourde
pour des fonctions beaucoup plus compliquées, on peut étudier une fois pour toutes la fonction
associée et s’en servir lors de la récurrence
Reprise de l’exemple :
a) montrer par récurrence que est majorée par 2
b) montrer par récurrence que est croissante
a) on introduit la fonction définie sur donc sur
f est dérivable sur comme composée de fonctions dérivables sur et l’on a :
donc f est croissante sur
1. Initialisation : , donc est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p , c’est-à-dire : ;
montrons que la propriété est vraie au rang supérieur (p + 1) , c’est-à-dire :
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:
Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie
pour tout n
b) : pour tout n ,
1. Initialisation : ;
et est vraie au rang 0
2. Hérédité :
on suppose la propriété vraie à un rang p quelconque, p , c’est-à-dire :
montrons que la propriété est vraie au rang (p + 1) , c’est-à-dire :
Ainsi, si la propriété est vraie au rang p, elle est vraie au rang (p + 1)
3. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, puis héréditaire, donc est vraie pour
tout n ; on a donc, pour tout n , croissante
(Notons la rapidité et l’élégance de la démonstration une fois f introduite et succinctement étudiée)
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