Espaces de probabilités.

Université Pierre et Marie Curie
Probabilités de base - 4M010
2015-2016
Feuille 1
Espaces de probabilités.
1. Quelle est la probabilité pour que parmi vingt-trois personnes, deux aient la même
date d’anniversaire ?
2. On tire deux cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité d’obtenir une paire ?
Si l’on n’a pas obtenu une paire, on a le choix entre jeter l’une des deux cartes tirées et en
retirer une parmi les 30 restantes, ou jeter les deux cartes tirées et en retirer deux parmi
les 30 restantes. Quelle stratégie donne la plus grande probabilité d’avoir une paire à la
fin ?
3. a. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilités. Soit n ≥ 1. Soient A1 , . . . , An des
événements. Montrer que
n
X
(−1)k−1
P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
k=1
X
P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) .
1≤i1 <...<ik ≤n
C’est la formule d’inclusion-exclusion.
b. En appliquant cette formule à un espace de probabilités et à des événements bien
choisis, calculer le nombre de surjections de {1, . . . , p} dans {1, . . . , n} pour tous n et p
entiers.
4. Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d’écrire son nom sur
un bout de papier et de le mettre dans un chapeau. On agite le chapeau puis chacun tire
un bout de papier. Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout de papier portant
son propre nom ?
5. Que peut-on dire d’un événement qui est indépendant de lui-même ?
6. Soit (Ω, F ) un espace mesurable. Soit ω ∈ Ω. Montrer que la formule
1 si ω ∈ A
δω (A) =
0 sinon
définit une mesure de probabilités sur (Ω, F ). On l’appelle la mesure de Dirac en ω.
Donner un exemple d’espace de probabilités et d’événement négligeable non vide ainsi
que d’événement presque sûr différent de l’espace tout entier.
1
7. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilités.
a. Montrer que pour toute suite (An )n≥1 d’éléments de F , on a
!
[
X
P
An ≤
P(An ).
n≥1
n≥0
b. Montrer que N = {A ∈ F : P(A) = 0 ou P(A) = 1} est une tribu sur Ω.
8. Sur la page de Wikipedia consacrée aux probabilités au poker 1 on trouve un tableau qui indique la probabilité que dans cinq cartes tirées au hasard parmi trente-deux,
on trouve une configuration plus forte (selon les règles du poker) que telle ou telle figure,
en particulier qu’une paire de rois. Après ce tableau on lit la chose suivante :
Ce tableau est indépendant du nombre de joueurs, mais n’est pas exploité directement
ainsi. L’utilisation typique de ce tableau est de répondre à des questions comme : J’ai une
paire de roi servie, nous jouons à quatre à 32 cartes, quelle est la probabilité a priori pour que
ma main soit la meilleure ? Pour ce type de question, les étapes de calcul sont :
La probabilité pour un joueur d’avoir plus qu’une paire de roi dans ces conditions est :
36,8%. Il aura moins avec une probabilité de 63,2%. Pour que la paire de roi soit la plus forte,
il faut que le premier adversaire ait moins ET le second ait moins ET le troisième ait moins.
La probabilité est le produit des trois : 63,2% x 63,2% x 63,2% = 25,2%. On peut donc parier
à un contre trois que ma paire de rois n’est pas la meilleure main des quatre.
Que pensez-vous de cet extrait ?
9. On rappelle qu’un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en bijection avec
une partie finie ou infinie de l’ensemble N des entiers naturels.
a. Montrer qu’un ensemble E est dénombrable si et seulement s’il existe une injection
de E dans N.
b. Montrer qu’un ensemble non vide E est dénombrable si et seulement s’il existe une
surjection de N sur E.
c. Montrer que si E et F sont deux ensembles dénombrables, alors E × F est dénombrable. Plus généralement, montrer que si E1 , . . . , En sont dénombrables, alors E1 ×. . .×En
est dénombrable.
d. MontrerSque si I est dénombrable et (Ei )i∈I est une famille d’ensembles dénombrables, alors i∈I Ei est un ensemble dénombrable.
On retiendra qu’un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables et une réunion
dénombrable d’ensembles dénombrables sont dénombrables.
e. Parmi les ensemble suivants, dire lesquels sont dénombrables : N, Z, Q, R, l’ensemble
des suites finies de longueur quelconque de 0 et de 1, l’ensemble des suites infinies de 0
1. http ://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilité_au_poker#Tableau_de_synthèse
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et de 1, l’ensemble des suites finies d’entiers naturels, l’ensemble des polynômes à une
indéterminée à coefficients rationnels.
10. Soit Ω un ensemble non vide.
a. Soit (Fi )i∈I une famille quelconque de tribus sur Ω. On pose
\
F =
Fi .
i∈I
Montrer que F est une tribu sur Ω.
b. Montrer que pour toute partie G ⊂ P(Ω), il existe une tribu qui contient G et qui
est minimale pour l’inclusion parmi toutes les tribus qui ont cette propriété. On appelle
cette tribu la tribu engendrée par G et on la note σ(G ).
c. Déterminer la tribu engendré par une partition finie ou dénombrable de Ω, c’està-dire par une collection G = {A1 , A2 , . . .} de parties deux à deux disjointes et dont la
réunion vaut Ω.
11. Soit (Ω, F ) un espace mesurable.
a. Montrer qu’on définit une relation d’équivalence sur Ω en posant
(x ∼ y) ⇔ (∀A ∈ F , x ∈ A ⇒ y ∈ A).
Les classes de cette relation s’appellent les atomes de la tribu F .
b. On suppose désormais que Ω est fini ou dénombrable. Montrer que F coïncide avec
la tribu engendrée par la partition de Ω en les atomes de F .
12. Soit Ω un ensemble.
a. On note F l’ensemble des parties de Ω qui sont dénombrables ou dont le complémentaire est dénombrable. Montrer que F est une tribu sur Ω.
b. Plus généralement, soit Π = (Πi )i∈I une partition de Ω. On ne fait aucune hypothèse
sur le cardinal de I. On note G l’ensemble des parties de Ω qui sont réunion d’un nombre
fini ou dénombrable de blocs de Π, ou dont le complémentaire est réunion d’un nombre
fini ou dénombrable de blocs de Π. Montrer que G est une tribu sur Ω. Montrer que c’est
la tribu engendrée par la partition Π.
c. Montrer que si une tribu sur Ω est engendrée par une partition, alors les blocs de
cette partition sont ses atomes.
d. La tribu borélienne sur R (c’est-à-dire la tribu engendrée par la topologie usuelle
de R) est-elle engendrée par une partition ?
13. Soit E un ensemble dénombrable. Soit Q une mesure de probabilités sur (E, P(E)).
Montrer qu’il existe un espace de probabilités (Ω, F , P) et une variable aléatoire X : Ω →
E dont la loi soit égale à Q.
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