L2 Mention Informatique UE Probabilités

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L2 Mention Informatique
UE Probabilités
« Si, en ouvrant un dictionnaire au hasard, on tombait sur le mot « hasard », ce serait un
miracle, alors que si on tombait sur le mot « miracle », ce serait un hasard »
(tiré de Les amnésiques n’ont rien vécu d’inoubliable de H. Le Tellier)
Notes de cours rédigées
par
Régine André-Obrecht, Julien Pinquier, Sergei Soloviev
Année universitaire 2011-2012
2
à partir des documents suivants :
• Jean Pierre Ramis, André Warusfel, « Mathématiques, tout-en-un pour la Licence »
niveau L2, Dunod, 2007
• André Arnold, Irèen Guessarian, « Mathématiques pour l’informatique », Masson
1997.
• Pierre Brémaud, « An introduction to probabilistic modeling » Springer 1997.
• Sylvie Méléard, « Alétoire », Cours de l’Ecole Polytechnique 1ère année, 2006.

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Chapitre 1 : Concepts et Bases élémentaires des Probabilités
I. Pourquoi les probabilités ?
Probabilité : outil mathématique qui permet de quantifier le hasard, de modéliser les situations où le
hasard intervient  le hasard ?
Définition d’un phénomène aléatoire : un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans
des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de
l’expérience change d’une fois sur l’autre de manière imprévisible.
Domaines : économie (trader , gestion de stocks), assurances (contrat) , pharmacologie (mise sur le
marché d’un médicament), physique (durée de vie d’un atome radioactif, d’une ampoule électrique),
informatique (gestion de flux d’un réseau), files d’attente….
Trois idées majeures :
- La loi des grands nombres  lois
- Le conditionnement et l’indépendance  prise en compte de l’information a priori
- Les variables aléatoires  fonctions élaborées à partir de phénomènes aléatoires
Des grands noms : Pascal (1623-1662), Bernouilli (1654-1705), Bayes (1667-1754), Gauss (1777-
1855), Einstein (1879-1955)…
II. Le langage des probabilités
II.1 Quelques définitions :
Expérience aléatoire : expérience qui reproduite dans des conditions identiques peut conduire à des
résultats différents et dont on ne peut prévoir le résultat à l’avance
Ensemble fondamental (d’états, de réalisations, ou d’observations) lié à une expérience : ensemble
de tous les résultats possibles de cette expérience, noté Ω
ΩΩ
Ω , une réalisation est notée ω.
Evénement aléatoire associé à une expérience : sous ensemble ou partie A de Ω,
, ,
, qui, au vu du
résultat de l’expérience, peut être réalisé ou non.
II.2 Exemples :
- Jeu de pile ou face, jeux de dés
- Lancer de fléchettes sur une cible de 30cm de diamètre
{
}
{
}
∞∪≤+=Ω 15/),(
22
yxyx
{
}
1510/),(
22
≤+= yxyxA p
- Durée de vie d’une ampoule électrique
+
=
Ω
R
A= [a,b], a et b éléments de R
+
- Prix d’un actif financier sur un intervalle de temps [t
1
, t
2
]
Ω = C([ t
1
, t
2
], R
+
)
A={le prix est inférieur à α}=
[ ]
≤∈
∈
+
αωω )(sup/)],,([
21
,
21
tRttC
ttt
Un événement est toujours une partie, un sous-ensemble de Ω.
Ω.Ω.
Ω.
A
AA
A est l'ensemble des événements d’une expérience.
A
AA
A
⊆
P
PP
P(Ω
ΩΩ
Ω) , avec P
PP
P(Ω
ΩΩ
Ω), l’ensembles des parties de Ω
ΩΩ
Ω.
..
.
Le langage des probabilités est lié au langage ensembliste.
4
III. Evénements et Probabilités
Dans tout ce chapitre, Ω
ΩΩ
Ω est l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire ; cet ensemble peut
être fini, dénombrable ou ayant la puissance du continu comme R.
III.1 Définition d’un espace probabilisé :
Définition d’une tribu : soit A un ensemble de parties de Ω, A
⊆
P(Ω) .
A est une tribu si les propriétés suivantes sont vérifiées :
1.
∈
∅
A et
∈
Ω
A.
2. A est stable par passage au complémentaire : A
∈
A
⇒
∈
A
A
3. A est stable par réunion et intersection dénombrable : si (A
n
)
n
est une suite dénombrable
d’éléments de A, alors
IU
Nn n Nn n
AetA
∈∈
sont des éléments de A.
Définition d’une probabilité P sur (Ω,
Ω, Ω,
Ω, A
AA
A) où A est une tribu sur Ω : P est une application de A dans
[0,1] qui vérifie :
1.
1)(
=
Ω
P
2. Si (A
n
)
n
est une suite dénombrable d’éléments de A, deux à deux disjoints, on a
)()(
∑
∈
∈
=
Nn n
Nn n
APAP
U
(Ω,
Ω, Ω,
Ω, A,
A, A,
A, P ) est un espace de probabilité.
III.2 Propriétés
Définition d’une tribu engendrée par un ensemble C de parties de Ω : plus petite tribu contenant C,
notée T(C)
Exemple fondamental : Tribu borélienne sur R = T(]a,b[ ,
RbetRa
∈
∈
)
Propriété : T(]a,b[ ,
RbetRa
∈
∈
) = T(]-
∞
,q] ,
Qq
∈
)
Propriétés immédiates (à démontrer en exercice):
•
0)(
=
∅
P
•
1)()( =+ APAP
•
sdisjodeuxàdeuxsontAlessiAPAP
i
n
ii
n
ii
int,)()(
1
1
∑
=
=
=
U
•
)()(()( BPAPBAPBAP
+
=
∩
+
∪
•
BAsiBPAP
⊆
≤
)()(
• Si (A
n
)
n
est une suite dénombrable d’éléments de A,
)()(
∑
∈
∈
≤
Nn n
Nn n
APAP
U
• Si (B
n
)
n
est une suite dénombrable d’éléments de A, tels que
1+
⊆
nn
BB ,
)(lim)(
n
n
Nn n
PBP B↑=
∞↑
∈
U

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• Si (C
n
)
n
est une suite dénombrable d’éléments de A, tels que
nn
CC
⊆
+1
,
)(lim)(
n
n
nn
CPCP ↓=
∞↓
I
Cas où Ω
ΩΩ
Ω = {ω
ωω
ω
n
, n
∈
N}, ensemble infini mais dénombrable :
1. Une probabilité définie sur Ω est entièrement caractérisée par sa valeur sur les
singletons P(ω
n
)
2. Etant donnée une suite (p
n
)
n
de réels tels que :
1,10 =≤≤
∑
nnn
pp
, il lui correspond une unique probabilité P telle que
pour tout A de W,
∑
∈
=
An
n
pAP
ω
)(
III.3 Exemples
a. Loi de Bernouilli de paramètre p, 10 pp p: Jeu de pile ou face
b. Loi uniforme discrète : Jeu de trois dés « distinguables »
{
}
3
6,5,4,3,2,1=Ω
3
6
)( A AP =, |A| désigne le cardinal de A, A partie de Ω .
c. Loi uniforme réelle : Choix aléatoire d’un point dans le carré de coté unitaire
Ω =[0,1] x [0,1]
A est l’ensemble des parties A du carré dont on peut calculer l’aire notée S(A)
P : A S(A) est une probabilité définie sur (Ω , A), la loi uniforme sur le carré unité
d. Loi de Poisson de paramètre θ sur N, (θ>0) :
Ω = N, P({n}) est noté P(n) par abus d’écriture et
!
)(
n
enP
n
θ
θ −
=.
IV. Variables aléatoires et distributions
IV.1 Définition générale
Proposition : Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité et X une application de Ω dans E.
a. La famille B des parties B de E telles que
∈
−
)(
1
BX
A, est une tribu de E.
b. L’application P
X
définie pour tout B de B par
))(()(
1
BXPBP
X−
=
définit une probabilité sur
(E,B).
Sous ces conditions X est appelée variable aléatoire, et P
X
est la loi de X.
Notations :
{
}
{
}
{ }
)()()(
)(/)(
1
BXPBXPBP
BXBXBX
X
∈=∈= ∈=∈=
−
ωω
IV.2 Exemples :
a) Jeu des 3 dés (reprise exemple III.3 b))
Soit X
1 :
),,( kji
=
ω
 i, 1
ère
coordonnée de ),,( kji
=
ω
.
X
1
est une variable aléatoire et
{} { }
3
2
6
6
)6,...1;6,...1),,,(()(
1
==== kjkjiPiP
X
6
b) Choix aléatoire d’un point dans le carré de coté unitaire Ω =[0,1] x [0,1] (reprise exemple III
c).
Soient les deux applications « coordonnées » réelles à valeur dans [0,1] :
X (x,y)  x
Y (x,y)  y
(à montrer en exercice) Les deux applications sont des variables aléatoires
{
}
{
}
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
{ } [ ] [ ] { }
1)()(,1,01,0,1
)()(,1,0,0,1,0
0)()(,,0
=≤==≤≥ =≤==≤∈
=
≤
=
∅
=
≤
aXPaPxaXaSi
aaXPaPxaaXaSi
aXPaPaXaSi
X
X
X
p
c) Un sac contient 3 jetons numérotés 1,2 et 3 et 3 jetons numérotés -1, -2 et -3, indiscernables.
On tire au hasard 1 jeton, on note x son numéro et on replace le jeton dans le sac. On retire un
jeton et on note y son numéro. L’espace probabilisé est :
{
}
{
}
{
}
.36/1)(
3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,2,1),,(=
−
−
−
∈
−
−
−
∈
=
Ω
ω P
yxyx
Soit l’application
22
)),(()(
:
yxyxXX
RX
+==
→Ω
+
ω
Les valeurs possibles de X appartiennent à
{
}
18,13,10,8,5,2
{ } { } { }
9/1)18(1)4(
3/1)852()3(
,9/1)2()2(,0)1(
==−=≤
==∪=∪==≤
===≤=≤
XPXP
XXXPXP
XPXPXP
4
X X X - X X X
X X X - X X X
X X X - X X X
X X X - X X X
X X X - X X X
X X X - X X X
IV.3 Cas le plus important = cas réel : Ε =
Ε = Ε =
Ε = R
Soit X : Ω  R. X est une variable aléatoire réelle si
,I
∀
intervalle de R,
{
}
∈
∈
IX A.
Proposition : Cette condition est vérifiée dès que
{
}
∈
≤
xX
A, pour tout x de R.
Elle entraîne que
{
}
∈
∈
BX A, pour tout borélien B de la tribu borélienne B(R) et que la loi de X est
définie par P
x
(B) = P(
{
}
BX
∈
), pour tout B de B(R).
Fonction de répartition On appelle Fonction de répartition de la variable aléatoire X, la fonction
F : R [0,1] définie par :
)()( xXPxF
≤
=
La fonction de répartition caractérise la loi de probabilité de la variable X.

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V. Conditionnement et Indépendance
V.1 Conditionnement
Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité
Définition : Soit A et B deux événements, tels que P(B) > 0. La probabilité conditionnelle de A
sachant B est le nombre
)( )(
)/( BP BAP BAP
∩
=
.
Propriété : a. Soit B un événement fixe tel que P(B) > 0, l’application P
B
de A dans [0,1] définie
par )/()( BAPAPB
=
est une probabilité sur (Ω, A).
b. Si P(A)>0 et P(B)>0, alors
)()/()()()/( APABPBAPBPBAP
=
∩
=
Formule des probabilités composées
Si A
1
, A
2
, …, A
n
sont des événements de Ω tels que
0)...(
21
f
n
AAAP
∩
∩
∩
, alors
).../().../()/()()...(
12121312121 −
∩
∩
∩
∩
=
∩
∩
∩
nnn
AAAAPAAAPAAPAPAAAP
Formule des probabilités totales
Soit (B
i
)
i N
∈
, une partition finie ou dénombrable d’événements de Ω, tels que P(B
i
)>0, pour tout i.
Pour tout A de A, on a :
∑
∑
=∩=
iii ii
BPBAPBAPAP )()/()()(
.
Théorème (Formule de Bayes) Sous les mêmes hypothèses et si P(A)>0,
∑
=∈∀
jjj
ii
i
BPBAP
BPBAP
ABPNi )()/(
)()/(
)/(,
« Interprétation d’un événement par ses causes »
V.2 Indépendance
Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité
Définition Deux événements A et B de probabilité strictement positive sont indépendants si et
seulement si
)()()( BPAPBAP
=
∩
Proposition Si deux événements A et B sont indépendants, il en est de même A et
B
,
A
et B,
A
et
B
.
Définition Une suite infinie d’événements (A
n
) de probabilité strictement positive sont indépendants
si et seulement si , pour toute suite finie (i
1
,…,i
n
) 2 à 2 disjoints, )()...()...(
11 nn
i
i
ii
APAPAAP =∩∩
Lien entre Conditionnement et Indépendance
A et B sont indépendants
⇔
P(A/B) = P(A)
)()/( BPABP
=
⇔