Géométrie euclidienne

Géométrie euclidienne
Dans ce chapitre, le corps des scalaires est
ℝ
.
1. Espaces préhilbertiens réels
a) Produit scalaire et norme associée................................................................................... p.1
b) Orthogonalité................................................................................................................... p.2
c) Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie........................ p.3
2. Espaces euclidiens
a) Groupe orthogonal........................................................................................................... p.7
b) Endomorphismes symétriques......................................................................................... p.14
c) Formes quadratiques........................................................................................................ p.16
3. Transformations du plan et de l'espace
a) Applications affines du plan............................................................................................ p.26
b) Isométries du plan........................................................................................................... p.29
c ) Isométries de l'espace...................................................................................................... p.35
------------
1. Espaces préhilbertiens réels
a) Produit scalaire et norme associée
Définition d'un produit scalaire : soit E un
ℝ
_espace vectoriel. Une application
〈 …|… 〉
de
E×E
dans
ℝ
qui à tout
couple de vecteurs
( u;v )
associe le réel
〈 u|v 〉
est un produit scalaire si et seulement si l'application
〈 …|… 〉
est :
1. bilinéaire :
∀ ( α;β ) ∈ℝ2
∀
(
u;v;w
)
∈E3
,
〈 αu+ βv|w 〉 =α 〈 u|w 〉 + β 〈 v|w 〉
et
〈 w|αu+ βv 〉 =α 〈 w|u 〉 + β 〈 w|v 〉
2. symétrique :
∀
(
u;v
)
∈E2
,
〈 u ∣ v 〉 = 〈 v ∣ u 〉
3. positive :
∀u∈E
,
〈 u ∣ u 〉 ⩾0
4. définie (i.e. non dégénérée) :
〈 u ∣ u 〉 =0⇒u=0E
Exemples et contre-exemple : Pour
E=Mn ( ℝ )
,
〈
A
∣
B
〉
=Tr
(
A
tB
)
...
Pour
E=ℝℕ
l'espace vectoriel des suites réelles,
〈 u ∣ v 〉
=∑
k=0
+ ∞
un×vn
n'est pas un produit scalaire car...
Pour
E=C0
( [
a;b
]
;ℝ
)
,
〈 f ∣ g 〉
=∫a
bf
(
t
)
×g
(
t
)
dt
...
Définition d'un espace préhilbertien : un
ℝ
_espace vectoriel E muni d'un produit scalaire
〈 …|… 〉
est noté
(
E ;
〈
…|…
〉 )
et appelé espace préhilbertien. Si de plus cet espace vectoriel est de dimension finie il est appelé espace euclidien.
Définition de la norme associée à un produit scalaire : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien. On appelle norme
associée au produit scalaire
〈 …|… 〉
, l'application
∥ ... ∥
qui à tout vecteur
v
de E associe le réel
∥
v
∥
=
√
〈
v|v
〉
.
Remarque : l’utilisation de la racine carrée est valide car...
Encadrement du produit scalaire : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien et
∥ ... ∥
la norme associée au produit scalaire
〈 …|… 〉
: Inégalité de Cauchy-Schwarz :
∀
(
u;v
)
∈E2,
∣ 〈
u
∣
v
〉 ∣
⩽
∥
u
∥
×
∥
v
∥
Cas de l'égalité :
∣ 〈
u
∣
v
〉 ∣
=
∥
u
∥
×
∥
v
∥
⇔u et v sont liés
Démonstration : Soient
(
u;v
)
∈E2
, et P la fonction polynomiale qui à tout réel
t
associe
P
(
t
)
=
∥
u+t v
∥
2
P ( t ) =…
P
est un polynôme de degré 2 de discriminant
Δ =…
∀t∈ℝ
,
P ( t ) ⩾0
donc le discriminant du polynôme est négatif ou nul :
Δ ⩽0
⇔
...
Cas de l'égalité : si
u
et
v
sont liés alors...
Si
∣ 〈
u
∣
v
〉 ∣
=
∥
u
∥
×
∥
v
∥
alors
Δ =0
donc...
Géométrie euclidienne 1/39 pycreach.free.fr - TSI2

Propriétés des normes : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien et
∥ ... ∥
la norme associée au produit scalaire
〈 …|… 〉
1) positive :
∀v∈E
,
∥ v ∥ ⩾0
2) définie :
∥ v ∥ =0
⇒
v=0E
3) positivement homogène :
∀λ∈ℝ
et
∀v∈E
,
∥ λv ∥ =
∣
λ
∣
× ∥ v ∥
4) inégalité triangulaire :
∀
(
u;v
)
∈E2
,
∥ u+v ∥ ⩽ ∥ u ∥ + ∥ v ∥
Démonstration de l'inégalité triangulaire :
∥ u+v ∥ ⩽ ∥ u ∥ + ∥ v ∥
⇔
∥
u+v
∥
2⩽
( ∥
u
∥
+
∥
v
∥ )
2
car...
Théorème de Pythagore : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien et
∥ ... ∥
la norme associée au produit scalaire
〈 …|… 〉
∥
u+v
∥
2=
∥
u
∥
2+
∥
v
∥
2⇔
〈
u|v
〉
=0
Démonstration :
∀
(
u;v
)
∈E2
,
∥
u+v
∥
2=…
Remarque : le développement de
∥
u+v
∥
2
permet d'exprimer le produit scalaire
〈 u|v 〉
en fonction des normes, cette
« formule de polarisation d'une forme quadratique » sera généralisée plus loin dans ce cours :
〈
u|v
〉
=1
2
(
∥
u+v
∥
2−
∥
u
∥
2−
∥
v
∥
2
)
〈
u|v
〉
=1
4
(
∥
u+v
∥
2−
∥
u−v
∥
2
)
b) Orthogonalité
Définition de l'orthogonalité : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien, deux vecteurs
u
et
v
de E sont dits orthogonaux
si et seulement si
〈 u|v 〉 =0
. Une famille de vecteurs de E est dite orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont deux à
deux orthogonaux.
Soit I un ensemble,
(
vi
)
i∈I
une famille de E est orthogonale si et seulement si ,
∀
(
i;j
)
∈I2
,
i≠j⇒
〈
vi|vj
〉
=0
Remarque : l'orthogonalité dépend du produit scalaire utilisé.
Exemples :
ℝ2
muni du produit scalaire
〈 …|… 〉
qui à tout couple de vecteurs
u=
(
x
y
)
et
v=
(
x'
y'
)
associe le réel
〈 u|v 〉 =xx' +xy' +x' y+2yy'
les vecteurs
(
1
0
)
et
(
0
1
)
sont...
Propriété de liberté d'une famille orthogonale : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien, toute famille de vecteurs non
nuls de E orthogonale est libre.
Démonstration : soit I un ensemble, et
(
vi
)
i∈I
une famille de E orthogonale telle que
∀i∈I
,
vi≠0E
, il s'agit de
démontrer que toute sous famille finie de
(
vi
)
i∈I
est libre.
Soit
(
i1;…;in
)
∈In
, et
(
α1;…,;αn
)
∈ℝn
tels que :
α1vi1+ …+ αnvin=0E
alors
∀k∈ ⟦ 1;n ⟧
,
〈
α1vi1+ …+ αnvin|vik
〉
=...
Théorème de Pythagore pour une famille orthogonale finie : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien,
∥ ... ∥
la norme
associée au produit scalaire
〈 …|… 〉
.
Si
(
v1;…vn
)
∈En
est une famille orthogonale alors
∥
v1+ …+ vn
∥
2=
∥
v1
∥
2+ …+
∥
vn
∥
2
.
Lorsque la famille contient plus de deux vecteurs, il n'y a plus d'équivalence.
Démonstration :
∀
(
v1;…vn
)
∈En
,
∥
v1+ …+ vn
∥
2=…
Définition d'une famille orthonormale : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien. Une famille de vecteurs de E est dite
orthonormale si et seulement si la famille est orthogonale et chaque vecteur de la famille à une norme égale à 1.
La famille
(
v1;…vn
)
∈En
est orthonormale si et seulement si
∀
(
i;j
)
∈
⟦
1;n
⟧
2
,
〈
vi|vj
〉
=
{
1 si i=j
0 sinon
Expression des coordonnées dans une base orthonormale : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace euclidien et
B=
(
e1;…;en
)
une
Géométrie euclidienne 2/39 pycreach.free.fr - TSI2

base orthonormale de E. Alors pour tout vecteur
v∈E
,
v
(
〈
v|e1
〉
⋮
〈
v|en
〉
)
B
.
Démonstration : soit
v
(
x1
⋮
xn
)
B
alors
v=x1e1+ …+ xnen
donc
〈
v|ei
〉
=…
Expression du produit scalaire en fonction de coordonnées exprimées dans une base orthonormale : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un
espace euclidien et
B=
(
e1;…;en
)
une base orthonormale de E. Alors pour tout couple de vecteurs
(
u,v
)
∈E2
:
Si
u
(
x1
⋮
xn
)
B
et
v
(
x'1
⋮
x' n
)
B
alors
〈 u|v 〉 =x1x'1+ …+ xnx' n
.
Remarque : en notant
U= [ u ]
B
et
V= [ v ]
B
les matrices colonnes contenant les coordonnées des vecteurs
u
et
v
dans la
base orthonormale
B
on a :
〈 u∣v 〉 =U
t×V
Si
u
(
x1
⋮
xn
)
B
alors
∥
u
∥
2=…
c) Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Définition du sous-espace orthogonal : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien et F une partie de E. L'ensemble des
vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F est noté
F⊥
.
F⊥≝ { v∈E∣∀u∈F,
〈
u|v
〉
=0 }
Caractérisation du sous-espace orthogonal d'un espace vectoriel de dimension finie : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace
préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie ayant pour base la famille
(
e1;…;ep
)
(pas
nécessairement orthonormale).
v∈F⊥⇔∀ k∈
⟦
1; p
⟧
,
〈
ek|v
〉
=0
Démonstration : si
v∈F⊥
alors...
Réciproquement, si
∀k∈ ⟦ 1; p ⟧ ,
〈
ek|v
〉
=0
puisque
∀u∈F
,
∃
(
x1;…;xp
)
∈ℝp
tel que
u=x1e1+…+ xpep
alors
∀u∈F
,
〈 u ∣ v 〉 =…
Propriétés du sous-espace orthogonal : avec les notations précédentes :
F⊥
est un sous-espace vectoriel de E et
F∩F⊥=
{
0E
}
Démonstration : ...
Définition de la projection orthogonale : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E. Si
E=F⊕F⊥
alors la projection sur F parallèlement à
F⊥
est appelée projection orthogonale sur F.
Remarque : p est la projection orthogonale sur F si et seulement si
p∘p=p
,
Im p=…
et
Ker p=…
Caractérisation du projeté orthogonal : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien, F un sous-espace vectoriel de E et
pF
la
projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel F.
u=pF ( v ) ⇔
{
u∈F
v−u∈F⊥
Géométrie euclidienne 3/39 pycreach.free.fr - TSI2

Démonstration : si
u=pF ( v )
alors, par définition de
pF
,
v=u+ ( v−u )
avec
u∈F
et
v−u∈F⊥
.
Réciproquement si
u∈F
et
v−u∈F⊥
alors puisque
v=u+ ( v−u )
on a
pF
(
v
)
=u
.
Projection orthogonale sur une droite vectorielle : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien et
u∈E−
{
0E
}
.
La projection orthogonale sur
vect ( u )
est
pu∈L ( E )
, qui à tout vecteur
v∈E
associe
pu
(
v
)
=
〈 v|u 〉
∥
u
∥
2u
.
Démonstration :
p
est une projection car ...
De plus cette projection est orthogonale car
〈
v−pu
(
v
)
∣u
〉
=…
Théorème d'orthonormalisation de Schmidt (ou Gram-Schmidt) : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien et
(
v1;…vk
)
une famille libre de E. Il existe une unique famille orthonormale
(
e1;…;ek
)
de E telle que :
{
∀i∈
⟦
1;k
⟧
, vect
(
e1;…ei
)
=vect
(
v1;…;vi
)
∀i∈
⟦
1;k
⟧
,
〈
ei|vi
〉
>0
Démonstration : Soit
(
v1;…;vk
)
une famille libre de E, l'algorithme d'orthogonalisation de Gram-Schmidt permet
d'obtenir une famille orthogonale
(
e' 1;…;e' n
)
vérifiant la première condition :
∀i∈ ⟦ 1; k ⟧ , vect
(
e '1;…e ' i
)
=vect
(
v1;…;vi
)
Pour
i=1
, le vecteur
e' 1
vérifie
vect
(
e' 1
)
=vect
(
v1
)
Il suffit de poser
e'1=v1
, ainsi
〈
e '1|v1
〉
...
Pour
i=2
, le vecteur
e ' 2
vérifie
{
vect
(
e' 1;e' 2
)
=vect
(
v1;v2
)
〈
e ' 2|e ' 1
〉
=0
or
vect
(
v1;v2
)
=vect
(
e'1;v2
)
Il suffit de poser
e' 2=λ1e'1+v2
Alors
〈
e '2|e '1
〉
=0
⇒
et
〈
e '2|v2
〉
...
e'2=v2−
〈
v2|e '1
〉
∥
e'1
∥
2e' 1=v2−pe' 1
(
v2
)
Pour
i=3
, le vecteur
e '3
vérifie
{
vect
(
e' 1;e' 2;e' 3
)
=vect
(
v1;v2;v3
)
〈
e ' 3|e '1
〉
=0
〈
e ' 3|e ' 2
〉
=0
or
vect
(
v1;v2;v3
)
=vect
(
e'1;e'2;v3
)
Il suffit de poser
e' 3=λ1e' 1+ λ2e' 2+v3
…
Alors
〈
e ' 3|e ' 1
〉
=0
⇒
De plus
〈
e ' 3|e ' 2
〉
=0
⇒
et
〈
e ' 3|v3
〉
...
e' 3=v3−
〈
v3|e ' 1
〉
∥
e' 1
∥
2e'1−
〈
v3|e '2
〉
∥
e'2
∥
2e'2=v3−pe' 1
(
v3
)
−pe' 2
(
v3
)
... ...
Géométrie euclidienne 4/39 pycreach.free.fr - TSI2

Pour
i=k
, le vecteur
e' k
vérifie
{
vect
(
e' 1;…;e' k
)
=vect
(
v1;…;vk
)
〈
ek|e1
〉
=0
⋮
〈
ek|ek−1
〉
=0
or
vect
(
v1;…vk
)
=vect
(
e'1;…;e' k−1;vk
)
Il suffit de poser
e' k=λ1e' 1+ …+ λk−1e' k−1+vk
∀i∈ ⟦ 1; k−1 ⟧
,
〈
ek|ei
〉
=0⇒…
et
〈
e ' k|vk
〉
...
e' k=vk−
〈
vk|e ' 1
〉
∥
e'1
∥
2e'1−...−
〈
vk|e' k−1
〉
∥
e' k−1
∥
2e' k−1
=
vk−pe' 1
(
vk
)
−…− pe 'k−1
(
vk
)
Étape n°1 Étape n°2 Étape n°3 ...
La famille orthogonale
(
e'1;…;e'n
)
n'est pas unique, la normalisation permet d'assurer l'unicité. En effet, la famille
orthonormale
(
e1;…;ek
)
recherchée vérifie
∀i∈ ⟦ 1; k ⟧
,
{
vect
(
e' i
)
=vect
(
ei
)
∥
ei
∥
=1
donc
ei=± 1
∥
e' i
∥
e' i
, le choix du signe
positif du coefficient étant imposé par la condition
〈
ei|vi
〉
>0
on a :
ei=1
∥
e' i
∥
e' i
Corollaire d'existence de base orthonormale : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace préhilbertien.
Tout sous-espace vectoriel de dimension finie admet une base orthonormée.
Démonstration : Soit
F=vect
(
v1;…;vk
)
d'après le théorème de Gram-Schmidt, il existe une famille orthonormale
(
e1;…ek
)
telle que
F=vect
(
e1;…;en
)
, cette famille constitue une base car...
Théorème de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie : soit
(
E ;
〈
…|…
〉 )
un espace
préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie admettant pour base orthonormale
(
e1;…;ek
)
.
L'endomorphisme
pF∈L ( E; E )
qui à tout vecteur
v∈E
associe
pF ( v ) =
〈
e1|v
〉
e1+ …+
〈
ek|v
〉
ek
est la projection
orthogonale sur F.
Démonstration :
pF
est une projection car...
De plus plus
pF
est une projection orthogonale car ...
Cette expression du projeté orthogonal n'est valide que si la base de F est orthonormale mais ne dépend pas de la base
orthonormale choisie pour F.
Géométrie euclidienne 5/39 pycreach.free.fr - TSI2