Géométrie euclidienne

Géométrie euclidienne
Dans ce chapitre, le corps des scalaires est ℝ .
1. Espaces préhilbertiens réels
a) Produit scalaire et norme associée................................................................................... p.1
b) Orthogonalité................................................................................................................... p.2
c) Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie........................ p.3
2. Espaces euclidiens
a) Groupe orthogonal........................................................................................................... p.7
b) Endomorphismes symétriques......................................................................................... p.14
c) Formes quadratiques........................................................................................................ p.16
3. Transformations du plan et de l'espace
a) Applications affines du plan............................................................................................ p.26
b) Isométries du plan........................................................................................................... p.29
c) Isométries de l'espace...................................................................................................... p.35
------------
1. Espaces préhilbertiens réels
a) Produit scalaire et norme associée
Définition d'un produit scalaire : soit E un ℝ _espace vectoriel. Une application ⟨ …|…⟩ de E×E dans ℝ qui à tout
couple de vecteurs ( u ; v ) associe le réel ⟨ u | v ⟩ est un produit scalaire si et seulement si l'application ⟨ …|…⟩ est :
1. bilinéaire : ∀( α; β ) ∈ℝ 2 ∀( u; v ; w ) ∈E 3 , ⟨ α u+ β v | w ⟩ =α ⟨ u | w ⟩ + β ⟨ v | w ⟩
et ⟨ w | α u+ β v ⟩ =α ⟨ w| u ⟩ + β ⟨ w | v ⟩
2. symétrique : ∀( u; v )∈E 2 , ⟨ u∣v ⟩ =⟨ v∣u ⟩
3. positive : ∀u∈E , ⟨ u∣u ⟩⩾0
4. définie (i.e. non dégénérée) : ⟨ u∣u ⟩ =0 ⇒ u=0 E
Exemples et contre-exemple : Pour E=M n ( ℝ ) , ⟨ A∣B ⟩=Tr ( t A B ) ...
+∞
Pour E=ℝℕ l'espace vectoriel des suites réelles, ⟨ u∣v ⟩ =∑ u n×v n n'est pas un produit scalaire car...
k =0
b
Pour E=C ( [ a; b ] ; ℝ ) , ⟨ f ∣g ⟩ =∫a f ( t ) ×g ( t ) dt ...
0
Définition d'un espace préhilbertien : un ℝ _espace vectoriel E muni d'un produit scalaire ⟨ …|…⟩ est noté ( E ; ⟨ …|… ⟩ )
et appelé espace préhilbertien. Si de plus cet espace vectoriel est de dimension finie il est appelé espace euclidien.
Définition de la norme associée à un produit scalaire : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien. On appelle norme
associée au produit scalaire ⟨ …|…⟩ , l'application ∥...∥ qui à tout vecteur v de E associe le réel ∥v∥= √ ⟨ v |v ⟩ .
Remarque : l’utilisation de la racine carrée est valide car...
Encadrement du produit scalaire : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien et ∥...∥ la norme associée au produit scalaire
⟨ …|…⟩ : Inégalité de Cauchy-Schwarz : ∀( u ; v )∈E 2 , ∣⟨ u∣v ⟩∣⩽∥u∥×∥v∥
Cas de l'égalité : ∣⟨ u∣v ⟩∣=∥u∥×∥v∥⇔ u et v sont liés
2
Démonstration : Soient ( u ; v ) ∈E 2 , et P la fonction polynomiale qui à tout réel t associe P ( t )=∥u+t v∥
P ( t )=…
P est un polynôme de degré 2 de discriminant Δ =…
∀t ∈ℝ , P ( t )⩾0 donc le discriminant du polynôme est négatif ou nul : Δ ⩽0 ⇔ ...
Cas de l'égalité : si u et v sont liés alors...
Si ∣⟨ u∣v ⟩∣=∥u∥×∥v∥ alors Δ =0 donc...
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Propriétés des normes : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace préhilbertien et ∥...∥ la norme associée au produit scalaire ⟨ …|…⟩
1) positive : ∀v ∈E , ∥v∥⩾0
2) définie : ∥v∥=0 ⇒ v =0E
3) positivement homogène : ∀λ ∈ℝ et ∀v∈E , ∥λ v∥=∣λ∣×∥v∥
4) inégalité triangulaire : ∀( u; v )∈E 2 , ∥u+ v∥⩽∥u∥+ ∥v∥
2
2
Démonstration de l'inégalité triangulaire : ∥u+ v∥⩽∥u∥+ ∥v∥ ⇔ ∥u+ v∥ ⩽(∥u∥+ ∥v∥) car...
Théorème de Pythagore : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien et ∥...∥ la norme associée au produit scalaire ⟨ …|… ⟩
∥u+ v∥2=∥u∥2+ ∥v∥2 ⇔ ⟨ u | v ⟩ =0
2
Démonstration : ∀( u; v )∈E 2 , ∥u+ v∥ =…
2
Remarque : le développement de ∥u+ v∥ permet d'exprimer le produit scalaire ⟨ u | v ⟩ en fonction des normes, cette
« formule de polarisation d'une forme quadratique » sera généralisée plus loin dans ce cours :
1
⟨ u | v ⟩ = (∥u+ v∥2−∥u∥2−∥v∥2 )
2
1
⟨ u| v ⟩ = (∥u+ v∥2−∥u −v∥2 )
4
b) Orthogonalité
Définition de l'orthogonalité : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien, deux vecteurs u et v de E sont dits orthogonaux
si et seulement si ⟨ u| v ⟩ =0 . Une famille de vecteurs de E est dite orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont deux à
deux orthogonaux.
Soit I un ensemble, ( v i ) i∈I une famille de E est orthogonale si et seulement si , ∀( i ; j ) ∈I 2 , i≠ j ⇒ ⟨ v i | v j ⟩ =0
Remarque : l'orthogonalité dépend du produit scalaire utilisé.
Exemples : ℝ2 muni du produit scalaire ⟨ …|…⟩ qui à tout couple de vecteurs u= x
y
1
0
⟨ u| v ⟩ =xx' + xy' + x' y+ 2 yy' les vecteurs
et
sont...
0
1
( ) et v =( x'y' ) associe le réel
() ()
Propriété de liberté d'une famille orthogonale : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien, toute famille de vecteurs non
nuls de E orthogonale est libre.
Démonstration : soit I un ensemble, et ( v i ) i∈I une famille de E orthogonale telle que ∀i∈I , v i ≠0 E , il s'agit de
démontrer que toute sous famille finie de ( v i )i∈I est libre.
Soit ( i 1 ; …; i n ) ∈I n , et ( α1 ;… ,; αn ) ∈ℝn tels que : α1 v i + …+ αn v i =0 E
alors ∀k ∈⟦ 1; n ⟧ , ⟨ α1 v i + …+ αn v i | v i ⟩ =...
1
1
n
n
k
Théorème de Pythagore pour une famille orthogonale finie : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace préhilbertien, ∥...∥ la norme
associée au produit scalaire ⟨ …|…⟩ .
2
2
2
Si ( v 1 ;…v n) ∈E n est une famille orthogonale alors ∥v 1+ …+ v n∥ =∥v 1∥ + …+ ∥v n∥ .
Lorsque la famille contient plus de deux vecteurs, il n'y a plus d'équivalence.
2
Démonstration : ∀( v 1 ; …v n) ∈E n , ∥v 1+ …+ v n∥ =…
Définition d'une famille orthonormale : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien. Une famille de vecteurs de E est dite
orthonormale si et seulement si la famille est orthogonale et chaque vecteur de la famille à une norme égale à 1.
2
La famille ( v 1 ;…v n) ∈E n est orthonormale si et seulement si ∀( i ; j ) ∈⟦ 1; n ⟧ , ⟨ v i | v j ⟩ = 1 si i= j
0 sinon
{
Expression des coordonnées dans une base orthonormale : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien et B=( e 1 ;…; e n) une
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base orthonormale de E. Alors pour tout vecteur v ∈E , v
x1
Démonstration : soit v ⋮
xn
()
⟨ v |e 1 ⟩
( )
⋮
⟨ v | en ⟩
.
B
alors v =x 1 e1+ …+ x n e n donc ⟨ v | e i ⟩ =…
B
Expression du produit scalaire en fonction de coordonnées exprimées dans une base orthonormale : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un
espace euclidien et B=( e 1 ;…; e n) une base orthonormale de E. Alors pour tout couple de vecteurs ( u , v ) ∈E 2 :
x1
x' 1
Si u ⋮ et v ⋮
alors ⟨ u| v ⟩ =x 1 x' 1+ …+ x n x' n .
xn B
x' n B
() ()
Remarque : en notant U=[ u ] B et V=[ v ] B les matrices colonnes contenant les coordonnées des vecteurs u et v dans la
base orthonormale B on a : ⟨ u∣v ⟩ =t U ×V
x1
Si u ⋮
xn
()
2
alors ∥u∥ =…
B
c) Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Définition du sous-espace orthogonal : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace préhilbertien et F une partie de E. L'ensemble des
vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F est noté F ⊥ .
F ⊥ ≝{v ∈E∣∀u ∈F , ⟨ u| v ⟩ =0 }
Caractérisation du sous-espace orthogonal d'un espace vectoriel de dimension finie : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace
préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie ayant pour base la famille ( e1 ;…; e p ) (pas
⊥
nécessairement orthonormale).
v ∈F ⇔∀ k ∈⟦ 1 ; p ⟧ , ⟨ ek | v ⟩ =0
Démonstration : si v ∈F ⊥ alors...
Réciproquement, si ∀k ∈⟦ 1; p ⟧ , ⟨ e k | v ⟩ =0 puisque ∀ u∈F , ∃( x1 ;…; x p ) ∈ℝ p tel que u=x 1 e 1 + …+ x p e p
alors ∀ u∈F , ⟨ u∣v ⟩ =…
Propriétés du sous-espace orthogonal : avec les notations précédentes :
F ⊥ est un sous-espace vectoriel de E et F∩F ⊥ ={0 E }
Démonstration : ...
Définition de la projection orthogonale : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E. Si
E=F⊕F ⊥ alors la projection sur F parallèlement à F ⊥ est appelée projection orthogonale sur F.
Remarque : p est la projection orthogonale sur F si et seulement si p ∘ p= p , Im p=… et Ker p=…
Caractérisation du projeté orthogonal : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace préhilbertien, F un sous-espace vectoriel de E et p F la
projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel F.
u= p F ( v ) ⇔ u∈F ⊥
v−u∈F
{
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⊥
Démonstration : si u= p F ( v ) alors, par définition de p F , v =u+ ( v−u ) avec u∈F et v−u∈F .
⊥
Réciproquement si u∈F et v−u∈F alors puisque v =u+ ( v−u ) on a p F (v )=u .
Projection orthogonale sur une droite vectorielle : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien et u∈E−{0 E } .
⟨v|u ⟩
La projection orthogonale sur vect ( u ) est pu ∈L ( E ) , qui à tout vecteur v ∈E associe pu ( v )=
u.
2
∥u∥
Démonstration : p est une projection car ...
De plus cette projection est orthogonale car
⟨ v− p u ( v ∣u
) ⟩ =…
Théorème d'orthonormalisation de Schmidt (ou Gram-Schmidt) : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace préhilbertien et ( v 1 ;…v k )
une famille libre de E. Il existe une unique famille orthonormale ( e1 ;…; e k ) de E telle que :
∀i ∈⟦ 1 ; k ⟧ , vect ( e 1 ;…e i ) =vect ( v 1 ;…; v i )
∀i ∈⟦ 1 ; k ⟧ , ⟨ ei | v i ⟩ > 0
{
Démonstration : Soit ( v 1 ;…; v k ) une famille libre de E, l'algorithme d'orthogonalisation de Gram-Schmidt permet
d'obtenir une famille orthogonale ( e' 1 ; …;e' n ) vérifiant la première condition :
∀i ∈ ⟦ 1; k ⟧ , vect ( e ' 1 ;…e' i )=vect ( v 1 ; …; v i )
Pour i=1 , le vecteur e' 1 vérifie vect ( e' 1) =vect ( v 1)
Il suffit de poser e' 1=v 1 , ainsi ⟨ e ' 1 | v 1 ⟩ ...
vect ( e' 1 ; e' 2 ) =vect ( v 1 ; v 2 )
Pour i=2 , le vecteur e ' 2 vérifie
⟨ e ' 2 | e ' 1⟩ =0
or vect ( v 1 ; v 2)=vect ( e' 1 ; v 2)
Il suffit de poser e' 2=λ 1 e' 1+ v 2
Alors ⟨ e ' 2 | e ' 1 ⟩ =0 ⇒
{
et ⟨ e ' 2 | v 2⟩ ...
⟨ v 2| e ' 1 ⟩
e' 1=v2 −p e' ( v2 )
2
∥e' 1∥
vect ( e' 1 ; e' 2 ;e' 3) =vect ( v 1 ; v 2 ; v 3 )
Pour i=3 , le vecteur e ' 3 vérifie ⟨ e ' 3 | e ' 1 ⟩ =0
⟨ e ' 3 | e ' 2 ⟩ =0
or vect ( v 1 ; v 2 ; v 3 )=vect ( e' 1 ; e' 2 ; v 3 )
e' 2=v 2−
1
{
Il suffit de poser e' 3=λ 1 e' 1+ λ 2 e' 2+ v 3 …
Alors ⟨ e ' 3 | e ' 1 ⟩ =0 ⇒
De plus ⟨ e ' 3 | e ' 2 ⟩ =0 ⇒
et ⟨ e ' 3 | v 3 ⟩ ...
e' 3=v 3−
⟨ v3 | e ' 1 ⟩
⟨v |e ' ⟩
e' 1 − 3 22 e ' 2 =v 3− p e' ( v 3 )− p e' ( v 3 )
2
∥e' 1∥
∥e' 2∥
1
2
...
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...
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vect ( e' 1 ; …; e' k ) =vect ( v 1 ;…; v k )
Pour i=k , le vecteur e' k vérifie ⟨ e k | e 1 ⟩ =0
⋮
⟨ e k | e k −1 ⟩ =0
or vect ( v 1 ;…v k ) =vect ( e' 1 ;…; e' k −1 ; v k )
Il suffit de poser e' k =λ 1 e' 1+ …+ λ k −1 e' k −1+ v k
∀i ∈ ⟦ 1 ; k −1 ⟧ , ⟨ e k | e i ⟩ =0⇒…
{
et ⟨ e ' k | v k ⟩ ...
e' k =v k−
⟨ v k | e ' 1⟩
⟨ v | e' ⟩
e' 1−...− k k −12 e' k−1 = v k− p e' ( v k )−…− pe ' ( v k )
2
∥e' 1∥
∥e' k −1∥
Étape n°1
1
Étape n°2
k −1
Étape n°3
...
La famille orthogonale ( e' 1 ;…; e' n ) n'est pas unique, la normalisation permet d'assurer l'unicité. En effet, la famille
1
orthonormale ( e1 ;…; e k ) recherchée vérifie ∀i ∈ ⟦ 1; k ⟧ , vect ( e' i )=vect ( e i ) donc e i =±
e' , le choix du signe
∥e' i∥ i
∥ei∥=1
1
e'
positif du coefficient étant imposé par la condition ⟨ e i | v i ⟩ > 0 on a : ei =
∥e' i∥ i
{
Corollaire d'existence de base orthonormale : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace préhilbertien.
Tout sous-espace vectoriel de dimension finie admet une base orthonormée.
Démonstration : Soit F=vect ( v 1 ; …; v k ) d'après le théorème de Gram-Schmidt, il existe une famille orthonormale
(e 1 ; …e k ) telle que F=vect ( e1 ; …; e n ) , cette famille constitue une base car...
Théorème de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace
préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie admettant pour base orthonormale ( e1 ;…; e k ) .
L'endomorphisme p F ∈L ( E; E ) qui à tout vecteur v ∈E associe p F ( v )= ⟨ e 1 | v ⟩ e 1+ …+ ⟨ e k | v ⟩ e k est la projection
orthogonale sur F.
Démonstration : p F est une projection car...
De plus plus p F est une projection orthogonale car ...
Cette expression du projeté orthogonal n'est valide que si la base de F est orthonormale mais ne dépend pas de la base
orthonormale choisie pour F.
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Base orthonormale de F
Base non-orthonormale de F
Corollaire : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie alors :
E=F⊕F ⊥
Remarques : E n'est pas nécessairement de dimension finie.
Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie on a donc : ∀ v ∈E , v =P F ( v ) +P F ( v )
⊥
Si E est de dimension finie alors E ={0 E }
⊥
Si F n'est pas de dimension finie on peut avoir E≠F+ F ⊥
Contre-exemple : soit E=ℝ [ X ] muni de son produit scalaire canonique et F=vect ( 1 +X ; 1+X 2 ;…;1+ Xn ;… )
⊥
⊥
⊥
Alors F ={0 ℝ [ X ] } et pourtant 1∉F⊕F donc E≠F⊕F .
Application à la projection orthogonale sur un hyperplan ou à la symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
⊥
Soit un espace euclidien ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) et n∈E un vecteur non nul on a alors : E=vect ( n )⊕( vect ( n ) )
⊥
Il est donc inutile d'avoir une base de l'hyperplan ( vect ( n ) ) pour pouvoir exprimer la projection orthogonale ou la
symétrie orthogonale (appelée réflexion) par rapport à cet hyperplan.
⊥
Soit p( vect (n)) la symétrie orthogonale par rapport à
Soit p( vect ( n)) la projection orthogonale sur ( vect ( n ) ) ,
⟨ v∣n ⟩
2 ⟨ v∣n ⟩
∀ v ∈E , p( vect (n) ) ( v )=v−
n
( vect ( n ) ) ⊥ , alors ∀ v ∈E , s( vect ( n ) ) ( v )=v−
n
2
2
∥n∥
∥n∥
a
⊥
⊥
⊥
Calcul de la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace
préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Soit un vecteur v ∈E , la distance de v à F est le
réel :
d ( v , F )≝min∥v−u∥=∥v− p F ( v )∥
u∈ F
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2
2
2
2
Remarque : ∀u∈F , ∥v−u∥ =∥( v− pF ( v ) )+ ( p F ( v )−u )∥ =∥v − p F ( v )∥ + ∥ p F ( v ) −u∥ car...
2
2
Ainsi min ∥v−u∥ ⩾∥v−PF ( v )∥ or P F ( v )∈F donc...
u∈F
u ∈F
Caractérisation du projeté orthogonal : u 0=PF ( v ) ⇔ u 0∈F ⊥ ⇔ 0
min∥v−u∥=∥v−u 0∥
v−u 0∈F
{
{
u∈ F
2
2
2
2
2
En effet ∥v−u∥ =∥v−p F ( v )∥ +∥ p F ( v )−u∥ assure que ∥v−u∥ =∥v−PF ( v )∥ ⇔P F ( v )=u
Système d'équations surdimensionné : résolution au sens des moindres carrés.
a1 ,1
Soient deux entiers naturels m et n tels que m< n et une famille libre de m vecteurs de ℝn : V 1 = ⋮ , …,
a n,1
x 1×a 1, 1+ …+ x m×a 1 , m= y 1
a 1,m
⇔ x 1 V 1 + …+x m V m =Y
V m = ⋮ . On considère le système (S) : ⋮
x 1×a n ,1+ …+ x m×a n , m= y n
a n, m
En général, le système (S) ne peut être résolu de façon exacte car il possède n contraintes plus nombreuses que ses m
degrés de liberté : il est surdimensionné ou surdéterminé.
Il s'agit donc de déterminer le vecteur de F=Vect ( V 1 ,…,V m ) le plus « proche » au sens de la norme choisie du vecteur
y1
Y= ⋮ . Le problème, placé dans le cadre de l'espace euclidien ℝn muni de son produit scalaire canonique, permet de
yn
définir « la solution au sens des moindres carrés » en utilisant la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel F.
Ainsi en notant Y'= p F ( Y ) , le vecteur Y' est le vecteur appartenant à F minimisant la distance au vecteur Y et est
⟨ Y−Y'∣V 1 ⟩=0
⊥
caractérisé par : Y' =PF ( Y ) ⇔Y−Y' ∈F ⇔ ⋮
⟨ Y−Y'∣V m ⟩ =0
x' 1 ⟨ V 1∣Vv 1 ⟩ +…+x ' m ⟨ V m∣V 1 ⟩ =⟨ Y∣V 1 ⟩
En notant Y' = x' 1 V 1 + …+ x ' m V m on a : Y' =P F ( Y ) ⇔ ⋮
(système « carré »
x' 1 ⟨ V 1∣V m ⟩ +…+ x' m ⟨ V m∣V m ⟩ = ⟨ Y∣V m ⟩
inversible car la famille (V 1 ;…; V m ) est libre)
( )
{
( )
()
{
{
2. Espaces euclidiens
Dans la suite du cours l'espace ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) est un espace euclidien de dimension finie n .
a) Groupe orthogonal
Définition d'un endomorphisme orthogonal : Un endomorphismes f ∈L ( E ) est orthogonal si seulement si il conserve le
produit scalaire, c'est-à-dire :
∀( u; v )∈E 2 , ⟨ f ( u ) | f ( v ) ⟩ =⟨ u| v ⟩ .
L'ensemble des endomorphismes orthogonaux de E est noté O ( E ) .
La projection orthogonale n'est pas un endomorphisme orthogonal car...
Une symétrie orthogonale est un endomorphisme orthogonal car ...
Caractérisation par la conservation des normes : soit f ∈L ( E ) , f ∈O ( E ) ⇔∀v∈E ,∥ f ( v )∥=∥v∥
Démonstration : si f ∈O ( E ) alors …
2
2
Si ∀v ∈E , ∥ f ( v )∥=∥v∥ alors ∀( u; v )∈E 2 , ∥ f ( u+ v )∥ =∥u+ v∥ donc...
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Remarque : l'ensemble O(E) est donc constitué des isométries vectorielles.
Corollaire sur le spectre d'un endomorphisme orthogonal : si f ∈O ( E ) alors sp ( f )⊂{−1; 1 }
Démonstration : ...
Opérations entre endomorphismes orthogonaux :
L'application composée de deux endomorphismes orthogonaux est un endomorphisme orthogonal.
Tout endomorphisme orthogonal est un automorphisme.
L'application réciproque d'un endomorphisme orthogonal est un endomorphisme orthogonal.
Le groupe orthogonal de E noté O ( E ) est un sous-groupe de GL ( E )
Démonstration : soit f ∈O ( E ) et g ∈O ( E ) , ∀( u; v )∈E 2 , ⟨ f ( g ( u ) ) | f ( g ( v ) ) ⟩ =...
Soit f ∈O ( E ) , f est injectif car...
Remarque : on appelle donc l'ensemble des endomorphismes orthogonaux muni de la loi de composition ∘ le groupe
orthogonal. La dénomination « automorphisme orthogonal » peut donc être considérée comme un pléonasme.
O ( E ) n'est pas un espace vectoriel.
Caractérisations à l'aide des bases orthonormées :
f ∈O ( E )
⇔
f ∈L ( E ) et pour toute base orthonormale ( e1 ;…; e n) de E, ( f ( e 1 ) ;…; f ( e n)) est une base orthonormale de E
⇔
f ∈L ( E ) et il existe une base orthonormale ( e1 ;…; e n) de E telle que ( f ( e 1 ) ;…; f ( e n)) soit une base orthonormale de
E
Démonstration : f ∈O ( E ) ⇒
f ∈L ( E ) et pour toute base ...
f ∈L ( E ) et pour toute base ... ⇒
f ∈L ( E ) et il existe une base ...
Pour démontrer les équivalences il suffit donc de démontrer que : f ∈L ( E ) et il existe une base orthonormale
B=( e 1 ; …; e n ) de E telle que ( f ( e 1 ) ;…; f ( e n)) soit une base orthonormale de E ⇒ f ∈O ( E )
Soit v ∈E ...
Définition des matrices orthogonales : soit A∈M n ( ℝ ) . La matrice A est orthogonale si et seulement si A est la matrice
d'un endomorphisme orthogonal dans une base orthonormale. L'ensemble des matrices de M n ( ℝ ) orthogonales est noté
O ( n) .
Caractérisations des matrices orthogonales :
A∈O ( n )
⇔
A est la matrice de passage d'une base orthonormale vers une base orthonormale
⇔
Les vecteurs colonnes de la matrice A forment une base orthonormale de ℝn
⇔
t
A A=I n
⇔
A est inversible et A−1=t A
⇔
A t A =I n
⇔
Les vecteurs lignes de la matrice A forment une base orthonormale de ℝn
Démonstration : A∈O ( n ) ⇔ il existe f ∈O ( E ) et B=( e 1 ; …; e n ) une base orthonormale de E tels que A=Mat ( f )
B
Or les vecteurs colonnes de A sont ...
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En vertu de l'expression du produit scalaire dans une base orthonormale , t A A=( mi ; j ) i∈⟦ 1; n⟧ avec m i; j =⟨ f ( e i ) | f ( e j ) ⟩
j ∈⟦ 1; n ⟧
ainsi...
Opérations sur les transposées :
t
( A+ B )=t A+ t B
t
( α A )=α t A
t
( AB )=t B t A
−1
t
Si A∈GL n (ℝ ) alors ( t A) = ( A−1 )
Opérations entre matrices orthogonales :
La matrice produit de deux matrices de O ( n ) est une matrice de O ( n ) .
La matrice inverse d'une matrice O ( n ) est une matrice de O ( n ) .
Le groupe orthogonal d'ordre n noté O ( n ) est un sous-groupe de GLn (ℝ ) .
Déterminant d'une matrice orthogonale : si A∈O ( n ) alors det ( A )=±1
Démonstration : Det ( t A A )=…
det ( A ) =±1 est nécessaire si A∈O ( n ) mais det ( A ) =±1 n'est pas suffisant pour assurer que A∈O ( n ) .
1 1
Exemple :
...
0 1
( )
Définition du groupe spécial orthogonal : L'ensemble SO ( n )= {A∈O ( n )∣det ( A )=1 } muni de la multiplication matricielle
est un sous-groupe du groupe orthogonal O ( n ) appelé groupe spéciale orthogonal d'ordre n .
−
O ( n )={ A∈O ( n )∣det ( A ) =−1 } n'est pas un sous-groupe.
Remarque : on définit de façon analogue SO ( E ) ={ f ∈O ( E )∣det ( f )=1 } .
Géométrie euclidienne
9/39
pycreach.free.fr - TSI2
Description du groupe orthogonal O(2) : soit A∈O ( 2 )
SO ( 2 )
O− ( 2 )
Si det ( A ) =1 alors il existe θ∈ℝ tel que :
( )
( )
A= cos θ −sin θ
(
)
(
sin θ cos θ )
Si det ( A ) =−1 alors il existe φ ∈ℝ tel que :
cos ( φ ) sin ( φ )
A=
sin ( φ ) −cos ( φ )
Remarque : pour θ=0 , A=I 2
A est symétrique si et seulement si A=I 2 ou A=−I 2 .
Remarque : A est symétrique : t A =A
A est la matrice de la rotation vectorielle de ℝ2 d'angle θ
[ 2π ] notée r θ .
A est la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à la
φ
u ) avec ( ⃗
[2π]
droite vectorielle vect (⃗
e1 ; ⃗
u )=
2
(
)
(
φ
(cos
sin φ
)(
sin ( φ )
cos ( φ ) −sin ( φ )
( )
=
× 1
( ) −cos ( φ )
sin ( φ ) cos ( φ )
0
Définition de l'angle entre deux vecteurs de ℝ2 : soient
( u ; v ) ∈ℝ 2 le réel (unique modulo 2 π ) tel que :
Géométrie euclidienne
)(
)
10/39
0
−1
)
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rθ
( ∥⃗1u ∥ ⃗u )= ∥⃗1v ∥ ⃗v
Donc s vect ( ⃗u ) =r φ ∘ s vect (⃗e )
1
u à ⃗
v noté (⃗
u ;⃗
v )≝θ
est l'angle de ⃗
Composition : r θ ∘ r θ ' =r θ+ θ '
−1
Le groupe SO ( 2 ) est commutatif et ( r θ ) =r−θ
Composition : s φ ∘ s φ ' =r φ −φ '
La composition n'est pas commutative.
Orientation d'un espace vectoriel : soit B 0 une base d'un
espace vectoriel définissant son orientation. Toute base B
de E est dite directe si et seulement si det B ( B )> 0 .
Changement de bases : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace
euclidien de dimension 2 et f ∈SO ( E ) . Il existe un réel θ
, défini modulo 2 π , tel que dans toute base B orthonormée
( )
( )
Mat ( f )= cos θ −sin θ
directe de E :
(
)
(
sin θ
cos θ)
B
Changement de bases : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace
−
euclidien de dimension 2 et f ∈O ( E ) . Il existe une base
orthonormée directe B de E telle que :
Mat ( f )= 1 0
0 −1
B
En d'autres termes f est diagonalisable dans une base
orthonormée ( u ; v ) avec u∈E 1 ( f ) et v ∈E−1 ( f ) .
0
(
(
)
)
∃θ1∈ℝ∣( a ; c )=( cos ( θ1 ) ;sin ( θ1 ))
a 2+c 2=1
2
2
b +d =1 ⇔ ∃θ2∈ℝ∣( d ; d ) =( cos ( θ2 ) ; sin ( θ2) )
cos ( θ1 ) cos ( θ 2 )+sin ( θ1 ) sin ( θ2 )=0
ab+cd =0
Or cos ( θ1 ) cos ( θ2) +sin ( θ1 ) sin ( θ2 )=cos ( θ1−θ2 ) donc θ1−θ2= π [ π ]
2
Produit dans SO(2) :
cos ( θ) −sin ( θ) × cos ( θ' ) −sin ( θ' ) = cos ( θ ) cos ( θ' )−sin ( θ ) sin ( θ' ) −cos ( θ ) sin ( θ ' )−sin ( θ ) cos ( θ ' )
sin ( θ ) cos ( θ )
sin ( θ ' ) cos ( θ ' )
sin ( θ ) cos ( θ' ) +cos ( θ ) sin ( θ' ) −sin ( θ ) sin ( θ' ) +cos ( θ ) cos ( θ' )
cos ( θ) −sin ( θ) × cos ( θ' ) −sin ( θ' ) = cos ( θ+θ' ) −sin ( θ+θ' )
sin ( θ ) cos ( θ )
sin ( θ ' ) cos ( θ ' )
sin ( θ+θ' ) cos ( θ+θ' )
−
Produit de deux matrices de O ( 2 ) :
cos ( θ) sin ( θ ) × cos ( θ ' ) sin ( θ' ) = cos ( θ ) cos ( θ' ) +sin ( θ ) sin ( θ ' ) cos ( θ ) sin ( θ' )−sin ( θ ) cos ( θ' )
sin ( θ ) −cos ( θ )
sin ( θ' ) −cos ( θ' )
sin ( θ ) cos ( θ ' )−cos ( θ) sin ( θ ' ) sin ( θ ) sin ( θ' ) +cos ( θ ) cos ( θ' )
cos ( θ) sin ( θ ) × cos ( θ ' ) sin ( θ' ) = cos ( θ−θ' ) −sin ( θ−θ' )
sin ( θ ) −cos ( θ )
sin ( θ' ) +cos ( θ' )
sin ( θ−θ' ) cos ( θ−θ ' )
cos ( φ ) sin ( φ )
cos ( φ ) −sin ( φ )
Réduction d'une matrice de SO(3) :
=
× 1 0
sin ( φ ) −cos ( φ )
sin ( φ ) cos ( φ )
0 −1
φ
φ
φ
φ
cos
−sin
cos
−sin
cos ( φ ) sin ( φ )
2
2 ×
2
2 × 1 0
=
Donc
φ
φ
φ
φ
sin ( φ ) −cos ( φ )
0 −1
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
φ
φ
φ
φ
cos
−sin
cos
sin
cos ( φ ) sin ( φ )
2
2 ×
2
2
=
φ
φ
φ
φ
sin ( φ ) −cos ( φ )
sin
cos
sin
−cos
2
2
2
2
φ
φ
φ
φ
cos
−sin
cos
sin
cos ( φ ) sin ( φ )
2
2 ×1 0 ×
2
2
=
φ
φ
φ
φ
sin ( φ ) −cos ( φ )
0 −1
sin
cos
−sin
cos
2
2
2
2
φ
φ
φ
φ
cos
−sin
cos −
−sin −
cos ( φ ) sin ( φ )
2
2 × 1 0 ×
2
2
=
φ
φ
φ
φ
sin ( φ ) −cos ( φ )
0 −1
sin
cos
sin −
cos
2
2
2
2
φ
φ
cos
−sin
2 ;
2
En notant B=
on a pour matrice de passage de la base canonique à la base B :
φ
φ
sin
cos
2
2
cos ( φ ) sin ( φ )
=P× 1 0 ×P−1
sin ( φ ) −cos ( φ )
0 −1
( )
a b
Démonstrations : soit A=
, A∈O ( 2 ) ⇔
c d
(
(
)(
)(
)(
)(
(
(
)(
)(
)(
)(
(
(
(
(
)
)
)
(
)(
)(
)
(
(
(
(
(
(
)(
)(
( )
( )
)
)
)
)
)
)
(
(
(
(
(
(
( )
( )
)
)
(
(
{
{
( )
( )
( )
( )
)( )
( ) ( )
( )
)
)(
)
) (
)
) (
)
) ( )
) ( )
) ( )
)
) ( )
)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
) (
( )( )
( )
( )
Géométrie euclidienne
11/39
)
pycreach.free.fr - TSI2
Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 2 : soit un espace vectoriel euclidien E de dimension 2
Soit r θ la rotation vectorielle d'angle θ : quel que soit le
v
vecteur ⃗
r θ(⃗
v )=cos ( θ ) ⃗
v +sin ( θ ) r π ( ⃗
v)
2
n un vecteur non nul et s( vect ( ⃗n )) la réflexion par
Soit ⃗
⊥
rapport à la droite vectorielle ( vect (⃗
n ) ) , quel que soit le
v :
vecteur ⃗
⟨⃗
v ∣⃗
n⟩
s( vect ( ⃗n )) ( ⃗
v )=⃗
v −2
⃗
n
2
∥⃗
n∥
⊥
⊥
Description du groupe orthogonal O ( 3 ) :
Théorème de classification du groupe orthogonal O(3) : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien de dimension 3 et
f ∈O ( E ) :
si f ∈SO ( 3 ) alors 1∈sp ( f ) .
−
si f ∈O ( 3 ) alors −1∈sp ( f )
Démonstration : P f ( X ) ∈ℝ3 [ X ] et P f ( X ) =−X 3+ Q ( X ) avec Q ( X ) ∈ℝ 2 [ X ] donc lim P f ( x )=… et lim P f ( x )=…
x →+∞
x →−∞
De plus toute fonction polynomiale étant continue sur ℝ , l'équation P f ( x )=0 admet au moins une solution réelle α .
Les racines de P f ( X ) sont les valeurs propres de f . Ainsi, f étant un endomorphisme orthogonal, on a : α=±1 .
3
Si P f ( X ) est scindé dans ℝ [ X ] alors, ou bien P f ( X ) =−( X−1 ) donc det ( f ) =…
2
ou bien P f ( X ) =−( X−1 ) ( X+1 ) donc det ( f ) =…
2
ou bien P f ( X ) =−( X−1 ) ( X+1 ) donc det ( f ) =…
2
ou bien P f ( X ) =−( X+1 ) donc det ( f ) =…
Si P f ( X ) n'est pas scindé dans ℝ [ X ] , soit β∈ℂ∖ℝ tel que P f (β )=0 alors P f ( β )=0 or P f ( X ) ∈ℝ [ X ] donc
P f (β )=0 donc P f ( X ) =−( X−α ) ( X−β )( X−β ) donc det ( f ) =α∣β∣2 , ainsi det ( f ) est du signe de α .
□
Propriété de stabilité de l'orthogonal des vecteurs invariants : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien et f ∈O ( E ) .
⊥
⊥
Si ⃗
v ∈( E 1 ( f ) ) alors f ( ⃗
v ) ∈( E 1 ( f ) ) .
⊥
u ∈E 1 ( f ) , ⟨ ⃗
v |⃗
u ⟩ =0 donc ⟨ f (⃗
Démonstration : soit ⃗
v ∈( E 1 ( f ) ) alors ∀⃗
v ) |⃗
u ⟩=…
Géométrie euclidienne
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O− ( 3 )
SO ( 3 )
Si det ( A ) =1 alors il existe θ∈ℝ et P∈O ( 3 ) telle que :
1
0
0
t
P AP= 0 cos ( θ ) −sin ( θ )
0 sin ( θ ) cos ( θ)
(
)
Si det ( A ) =−1 alors il existe θ∈ℝ et P∈O ( 3 ) telle que:
−1
0
0
t
P AP= 0 cos ( θ) −sin ( θ )
0 sin ( θ ) cos ( θ )
(
)
Remarque : A est symétrique si et seulement si
Remarque : A est symétrique si et seulement si
t
t
P AP est symétrique si et seulement si
P AP est symétrique si et seulement si
A=I3 ou bien A est la matrice d'un retournement vectoriel
A=−I3 ou A est la matrice d'une réflexion vectorielle
−1 0 0
Pour θ=0 [ 2 π ] , t P AP=I 3 donc A=I 3
t
θ=0
[
2
π
]
P
AP=
Pour
,
0 1 0
1 0
0
t
0 0 1
Pour θ=π [ 2 π ] , P AP= 0 −1 0
t
Pour θ=π [ 2 π ] , P AP=−I 3 donc A=−I 3
0 0 −1
(
(
)
Vecteurs invariants : dim ( E1 ( A ) ) =1⇔ θ≠0 [ 2π ]
Soit e 1∈E 1 ( A ) tel que ∥e 1∥=1 et B=( e 1 ; e 2 ; e3 ) une
base orthogonale directe de ℝ3 , alors A est la matrice de la
rotation vectorielle d'axe dirigé par le vecteur e 1 et d'angle
θ.
)
Vecteurs invariants : dim ( E1 ( A ) ) =0 ⇔ θ≠0 [ 2 π ]
Soit e 1∈E−1 ( A ) tel que ∥e 1∥=1 et B=( e 1 ; e 2 ; e3 ) une
base orthogonale directe de ℝ3 alors A est la matrice de la
composition (commutative) de la rotation vectorielle d'axe
Δ dirigé par le vecteur e 1 et d'angle θ avec la symétrie
orthogonale par rapport au plan orthogonal à Δ .
v ; r θ (⃗
v ) )≠θ
En général, (⃗
(
(
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
0
0 cos ( θ )
0 sin ( θ )
Détermination de θ :
La trace étant un invariant de similitude :
tr ( A )=1+ 2cos ( θ )
Le déterminant étant un invariant de similitude, dans
n'importe quelle base, on a :
Géométrie euclidienne
)(
)(
)(
1
0
0
−1
0 cos ( θ ) −sin ( θ) = 0
0 sin ( θ ) cos ( θ )
0
0
−1 0 0
−1
−sin ( θ ) 0 1 0 = 0
cos ( θ )
0 0 1
0
)(
0
0
cos ( θ ) −sin ( θ)
sin ( θ ) cos ( θ )
0
0
cos ( θ ) −sin ( θ)
sin ( θ ) cos ( θ )
)
)
Détermination de θ :
La trace étant un invariant de similitude :
tr ( A )=−1+ 2 cos ( θ)
Le déterminant étant un invariant de similitude, dans
n'importe quelle base, ∀ v ∈E−E1 ( A ) , sin ( θ ) est du signe
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∀v ∈E−E 1 ( A ) , sin ( θ ) est du signe de det ( e 1 ; v ; r θ ( v ) ) .
a
En effet, dans la base B, pour v b on a :
c B
1 a
a
2
2
0 b b cos ( θ )−c sin ( θ ) =( b +c ) sin ( θ )
0 c b sin ( θ) +c cos ( θ )
()
∣
∣
de det ( e 1 ; v ; s F ∘ r θ ( v ) ) . En effet, dans la base B, pour
a
v b on a :
c B
1 a
−a
2
2
(
0 b b cos θ )−c sin ( θ ) =( b +c ) sin ( θ )
0 c bsin ( θ) +c cos ( θ )
()
∣
∣
Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 3 : soit un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 et
n un vecteur unitaire de E :
⃗
n : quel que soit le vecteur ⃗
v ,
Soit r θ, ⃗n la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur ⃗
r θ, ⃗n ( ⃗
v )= ⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n +cos ( θ ) ( ⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n ) +sin ( θ ) ⃗
n ∧⃗
v
n avec la réflexion par
Soit sθ , ⃗n la composée de la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur ⃗
⊥
v ,
rapport à ( vect (⃗
n ) ) : quel que soit le vecteur ⃗
sθ , ⃗n ( ⃗
v )=−⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n +cos ( θ ) ( ⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n ) +sin ( θ ) ⃗
n ∧⃗
v
⟨⃗
(⃗
Démonstration : ⃗
v =(⏟
v ∣⃗
n ⟩⃗
n ) +⏟
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n)
∈ vect ( ⃗
n)
⊥
∈( vect ( ⃗
n ))
Or ⃗
n ∧⃗
v ∥=∥⃗
n ∥×∥⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n ∥=∥⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n∥
n ∧ (⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n )=⃗
n ∧⃗
v donc ∥⃗
b) Endomorphismes symétriques
Définition des endomorphismes symétriques : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L ( E ) .
L'endomorphisme f est symétrique si et seulement si ∀( u; v )∈E 2 , ⟨ f ( u ) | v ⟩ =⟨ u | f ( v ) ⟩ .
L'ensemble des endomorphismes symétriques de ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) est noté S ( E ) .
Remarques : S(E) n'est pas un groupe pour la composition car un endomorphisme symétrique n'est pas nécessairement
bijectif. S(E) est un sous-espace vectoriel de L(E) car …
Les projections orthogonales et les symétries orthogonales sont des endomorphismes symétriques car...
Théorème de caractérisation des éléments de O ( E )∩S ( E ) : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien.
Les endomorphismes à la fois orthogonaux et symétriques sont des symétries vectorielles.
n
Démonstration : Soit B=( e 1 ; …e n ) une base orthonormée de E et v ∈E , f ∘ f ( v )=∑ ⟨ f ( f ( v ) )∣ei ⟩ ei =...
i=1
Caractérisation des endomorphismes symétriques : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L ( E ) .
Géométrie euclidienne
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f ∈S ( E )
⇔
Pour toute base orthonormale B de E, Mat ( f ) est symétrique.
B
⇔
Il existe une base orthonormale B de E telle que Mat ( f ) soit symétrique.
B
Démonstration : soit f ∈S ( E ) et B=(e 1 ;…; e n) une base orthonormale de E alors Mat ( f )=( a i; j )i∈⟦1 ;n⟧ avec
B
j∈⟦ 1; n ⟧
a i , j =⟨ e i | f ( e j ) ⟩ donc...
Pour toute base... ⇒ Il existe une base...
Soit B=(e 1 ;…; e n) une base orthonormale de E et Mat ( f )=( a i; j )i∈⟦1 ;n⟧ symétrique,
B
x1
alors ∀( u; v )∈E 2 , u ⋮
xn
x' 1
et v ⋮
x' n
j∈⟦ 1; n ⟧
() ( )
⟨ f (u ) | v ⟩=
n
n
i=1
j=1
B
⟨ ∑ (∑ )
n
B
⟩
x j a i; j e i∣∑ x' k e k =...
k =1
⟨ u | f ( v ) ⟩ =…
Remarques : Ce résultat n'est pas généralisable au cas où la base B n'est pas orthonormale.
n ( n+ 1 )
dim ( S ( E ) )=dim ( S n ( ℝ ) ) =
2
Théorème d'orthogonalité des sous espaces propres d'un endomorphisme symétrique : soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace
2
euclidien, f ∈S ( E ) , ( λ ;μ ) ∈( sp ( f ) ) .
Si λ≠μ alors E λ ( f ) ⊥ Eμ ( f ) .
Démontrons que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
2
Soit ( λ ;μ ) ∈( sp ( f ) ) telles que λ≠μ , u∈E λ ( f ) et v ∈E μ ( f ) : ⟨ f ( u ) | v ⟩ =⟨ u | f ( v ) ⟩ ⇒ ...
Théorème de diagonalisation des endomorphismes symétriques : soit ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L ( E ) .
Si f ∈S ( E ) alors il existe une base orthonormale de vecteurs propres de E,
c'est-à-dire que f est diagonalisable dans une base orthonormale.
Démonstration : on admet que f est diagonalisable (récurrence délicate), les sous-espaces propres étant orthogonaux, il
suffit de construire une base orthonormée pour chaque sous-espace propre (Gram-Schmidt) puis de juxtaposer ces bases.
Géométrie euclidienne
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Corollaire : Si A∈Sn ( ℝ ) alors il existe P ∈O n (ℝ ) et une matrice diagonale D telle que : D=t P AP
Démonstration : Soit B la base canonique de ℝn et B' la base orthonormale de vecteurs propres de A alors P=P B'
B
matrice de passage de la base B vers la base B' or P est orthogonale donc P−1=t P
c) Formes quadratiques
Définition d'une forme bilinéaire symétrique sur ℝn : Soit f une application de ℝn ×ℝn dans ℝ , f est une forme :
bilinéaire si et seulement si
∀u∈ℝn ,l'application de ℝn dans ℝ , v → f ( u; v ) est linéaire
et ∀v ∈ℝn ,l'application de ℝn dans ℝ , u → f ( u; v ) est linéaire
n 2
symétrique si et seulement si ∀( u, v ) ∈( ℝ ) , f ( u; v )= f ( v ; u )
Définition d'une forme quadratique sur ℝn : soit q une application de ℝn dans ℝ , q est une forme quadratique si et
seulement s'il existe une forme bilinéaire symétrique sur ℝn×ℝn telle que : ∀v ∈ℝn , q ( v )= f ( v ; v ) .
Propriétés des formes quadratiques sur ℝn : soit q une forme quadratique sur ℝn telle que ∀v ∈ℝn , q ( v )= f ( v ; v )
n 2
q ( u+ v )=q ( u )+ q ( v ) + 2 f ( u ; v )
alors, ∀( u, v ) ∈( ℝ ) et ∀( λ ; μ ) ∈ℝ 2 :
q ( λ u )=λ 2 q ( u )
Forme polaire associé à une forme quadratique : soit q une forme quadratique sur ℝn telle que ∀v ∈ℝn ,
2
1
1
q ( v )= f ( v ; v ) alors : ∀( u ; v )∈ ( ℝ n) , f ( u; v )= ( q ( u+ v ) −q ( u )−q ( v ) ) = ( q ( u+ v ) −q ( u−v ) ) .
2
4
La forme bilinéaire symétrique f est donc entièrement déterminée par la forme quadratique q .
f est appelée LA forme polaire de q
Matrice d'une forme bilinéaire symétrique sur ℝn :
Soit B=( e 1 ;…; e n) une base de ℝn et f une forme
2
n
bilinéaire symétrique sur ℝn : ∀( u, v ) ∈( ℝ ) ,
x1
y1
alors
u ⋮ et v ⋮
xn B
yn B
() ()
n
f ( u; v )=∑
i=1
(
n
)
(
)( )
() ( )
f ( u; v )=t U A V
La matrice de f dans la base B est donc définie par :
Mat ( f )≝( f ( e i ; e j )) i ∈⟦1; n⟧
B
j∈⟦ 1 ;n ⟧
Changement de base pour les matrices d'une forme
bilinéaire symétrique : Soit B et B' deux bases de ℝn et
f une forme bilinéaire symétrique sur ℝn .
Si P=P BB ' est la matrice de passage de B vers B' alors
Mat ( f )=t P Mat ( f ) P
Démonstration :
Géométrie euclidienne
n
2
i=1
f ( e 1 ; e 1 ) … f ( e1 ; e n ) y 1
f ( u; v )=( x1 ;…; x n )
⋮
⋮
⋮
f ( e n ; e1 ) … f ( e n ; e n ) y n
x1
x'
En notant U= ⋮ , V= …1 et A=( f ( e i ; e j )) i∈⟦1 ;n ⟧
x' n
j∈⟦ 1; n ⟧
xn
B'
()
q ( u )= ∑ ( x i ) q ( e i ) + 2
∑ x i y j f ( ei ; e j )
j= j
Matrice d'une forme quadratique sur ℝn :
Soit B=( e 1 ;…; e n) une base de ℝn et q une forme
quadratique sur ℝn et f sa forme polaire,
n
n
x1
∀u∈ℝn tel que u ⋮ , q ( u )=∑ ∑ x i x j f ( e i ; e j )
i=1 j=i
xn B
B
(
∑
1⩽i< j⩽n
)
xi x j f ( ei ; e j )
La matrice de q dans la base B est définie par :
Mat ( q ) ≝Mat ( f )
B
x1
Pour U= ⋮
xn
()
B
et A=Mat ( q ) : q ( u )= t U A U
B
Réciproquement s'il existe A∈Sn ( ℝ ) telle que
n
x1
2
∀u∈ℝn , u ⋮ , q ( u )=∑ ( x i ) a i ;i + 2 ∑ x i x j a i; j
i=1
1⩽i< j⩽n
xn B
n
alors q est une forme quadratique sur ℝ .
Exemple : soit q la forme quadratique sur ℝ3 définie
par : soit B la base canonique de ℝ3 ∀u∈ℝ3 ,
x
tel que u y , q ( u )= x 2+ 2 y 2+ 3 z 2+ 6 xy+ 8 xz
z B
1 3 4
Alors on a : Mat ( q ) = 3 2 0
B
4 0 3
()
()
(
16/39
)
pycreach.free.fr - TSI2
y1
y' 1
soit v ⋮
et v ⋮
alors P
yn B
y' n B'
x1
x' 1
x' 1
u ⋮ et u ⋮
alors P ⋮
xn B
x' n
x' n B'
y' 1
y1
⋮ = ⋮
y' n
yn
x1
= ⋮
xn
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ( )) (( ))
()
()
()
t
t
x' 1
x1
P ⋮ = ⋮
x' n
xn
t
Ainsi : ( x' 1 ;…; x' n ) P =( x 1 ;…; x n )
y1
y' 1
( x 1 ;…; x n ) Mat ( f ) ⋮ =( x' 1 ;…; x' n ) t P Mat ( f ) P ⋮
B
B
yn
y' n
y' 1
=( x' 1 ;…; x' n ) Mat ( f ) ⋮
B'
y' n
Donc :
Réduction d'une forme quadratique dans une base
orthonormale : soit q une forme quadratique sur ℝn alors
il existe une base orthonormale B' de ℝn telle que
Mat ( q ) soit diagonale.
B'
Démonstration : quelle que soit la base B de ℝn , Mat ( q )
B
est une matrice symétrique donc il existe une matrice
P∈O ( n ) telle que t P Mat B ( q ) P soit diagonale.
Ainsi en considérant P comme la matrice de passage de la
base B vers la base B', on a : P [ u ] B' =[ u ] B
Et la formule de changement de base pour une matrice de
forme bilinéaire donne :
n
x' 1
2
∀u∈ℝn tel que u ⋮
, q ( u )=∑ λ i ( x' i )
i=1
x' n B'
()
Remarque : en mécanique, la matrice de l'opérateur d'inertie d'un solide Σ de masse volumique ρ est la matrice
IOx −P xy −P xz
symétrique S ( Σ;ρ ) ≝ −P xy
IOy −P yz
−P xz −P yz
IOz
2
2
IOx =∭ ( y + z ) ρ ( x ; y ; z ) d x d y d z est le moment d'inertie du solide Σ par rapport à l'axe ( Ox ) .
(
)
Σ
P xy =∭ xyρ ( x ; y ; z ) d x d y d z est le produit d'inertie du solide Σ par rapport aux axes ( Ox ) et ( Oy ) .
Σ
α
u β et Δ l'axe ( O; ⃗
u ) alors le moment d'inertie du solide Σ par rapport à l'axe Δ est
Soit un vecteur unitaire ⃗
γ
α
donné par : I Δ=( α ;β; γ ) S ( Σ;ρ ) β
γ
Les valeurs propres de la matrice d'inertie S ( Σ;ρ ) sont strictement positives et appelées moments d'inertie principaux du
solide Σ en O.
()
()
Recherche de l'équation réduite et des axes d'une conique
Définition analytique des coniques : dans le plan euclidien P muni du repère orthonormé R=( O ; ⃗i ; ⃗j ) , les coniques sont
les courbes d'équations cartésiennes de degré 2, ainsi,
M ( x ; y )R ∈ C ⇔ ⏟
Ax 2+ By 2+ Cxy + ⏟
α x+ β y + ⏟
γ =0 avec ( A; B; C )∈ℝ3−{0 ℝ } et ( α ;β ; γ ) ∈ℝ3
3
partie quadratique
partie linéaire
constante
Exemple : 2 x 2− y 2+ 4 xy+ 10 x+ y+ 1=0 :
1. Diagonalisation de la partie quadratique dans une base orthonormée
Géométrie euclidienne
17/39
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L’isomorphisme canonique du plan euclidien P dans ℝ2 qui à tout point M ( x ; y )R associe le vecteur
permet de définir q la forme quadratique sur ℝ2 par : q
(( xy))= Ax + By + Cxy
2
( xy) de ℝ ,
2
2
En notant B la base canonique de ℝ2 on a donc :
( )
C
2
A
Mat ( q ) =
B
C
2
B'
B
x
En notant e' 1 1
y1
()
B
(
il existe une base orthonormale de ℝ2 B' =( e' 1 ; e' 2 ) telle que Mat ( q ) =
x
; e' 2 2
y2
( )
Ainsi : A x 2 +B y 2 +Cxy=( x
(
et P=
B
C
2
)
x1 x2
on a : ∀u∈ℝ2 , u x et u x' , P x' = x
y B
y' B'
y'
y
y1 y2
C
C
A
2 x =( x' y' ) t P
2 P x' =( x' y' ) λ 1 0 x' =λ ( x ' )2 +λ ( y' ) 2
1
2
C
y
y'
0 λ2 y '
B
B
2
()
( )
( )( ) ( ) ( )
A
y)
)
λ1 0
0 λ2
(
( )()
)( )
⃗
⃗
⃗
Les vecteurs du plan: i' =x 1 i + y 1 j forment une base orthonormée B' =( ⃗
i' ; ⃗
j' ) des vecteurs du plan et déterminent
⃗
j' =x 2 ⃗
i + y2 ⃗
j
les directions principales de la conique C.
2 √5
√5
−
−
2
2
−2 0
5
5
Exemple : Mat ( q ) =
pour e' 1
et e' 2
on a, dans la base B' =( e' 1 ; e' 2 ) , Mat ( q ) =
2 −1
0 3
B
B'
2 √5
√5
−
5 B
5 B
{
(
( ) ( )
)
(
)
2. Application du changement de base à la partie linéaire
La même matrice de passage P permet d'écrire : α x + β y =α ( x 1 x' + x 2 y' ) + β ( y 1 x' + y 2 y' )=α' x' + β ' y'
D'un point de vue matriciel : α x +β y =( α β ) x =( α β ) P x' =α ' x' +β' y'
y
y'
()
( )
Il est alors possible de travailler avec une équation cartésienne de C exprimée dans le repère orthonormé du plan
2
2
R' =( O; ⃗
i' ; ⃗
j' ) : M ( x' ; y' )R' ∈ C ⇔ λ 1 ( x' ) + λ 2 ( x' ) + α ' x' + β ' y' + γ=0
(
Exemple : 10 x+ y =10 −
Donc M ( x' ; y' )R'
√ 5 x' − 2 √ 5 y' + 2 √ 5 x' − √ 5 y ' =− 8 √ 5 x' − 21 √ 5 y'
5
5
)(
)
5
5
5
8 √5
21 √ 5
2
2
∈ C ⇔ −2 ( x' ) + 3 ( y' ) −
x' −
y' + 1=0
5
5
5
3. Détermination du centre.
Géométrie euclidienne
18/39
pycreach.free.fr - TSI2
Avec les notations précédentes :
2
2
(E) : Ax 2+ By 2+ Cxy+ α x+ β y+ γ=0⇔ λ 1 ( x' ) + λ 2 ( y' ) + α ' x' + β' y' + γ=0
2
2
2
β' 2
(α ' )
(β ' )
α'
(
)
λ
≠0
λ
≠0
► Si 1
et 2
alors E ⇔ λ 1 x' +
+ λ 2 y' +
+ γ−
−
=0
2 λ1
2 λ2
4 λ1
4 λ2
β'
α'
2
2
En posant x' ' =x' +
et y' ' = y' +
on a : ( E ) ⇔ λ 1 ( x' ' ) + λ 2 ( y' ' ) + γ' =0
2 λ2
2λ 1
(
) (
)
{
α'
2λ 1
β'
y' = y' ' −
2 λ2
x' = x'' −
Le dernier changement de variables correspond à un changement d'origine du repère. En effet :
(
Ainsi le point O' −
β'
α'
;−
2 λ1
2 λ2
)
R'
est le centre de la conique C et dans le repère orthonormé R'' =( O' ; ⃗
i' ; ⃗
j' ) on a :
2
2
M ( x' ' ; y' ' ) R'' ∈ C ⇔ λ 1 ( x' ' ) + λ 2 ( y'' ) + γ ' =0
Les coordonnées de O' sont exprimées dans le repère R', la matrice de passage P permet de donner les coordonnées de
α'
−
O' dans le repère R de départ : [⃗
OO' ]B=P 2 λ 1
β'
−
2 λ2
( )
8√5
21 √ 5
x' −
y' + 1=0
5
5
2
2
2 √5
7 √5
19
⇔ −2 x' +
+ 3 y' −
− =0
5
10
4
2
2
Exemple : 2 x 2− y 2+ 4 xy+ 10 x+ y+ 1=0 ⇔ −2 ( x' ) + 3 ( y' ) −
(
Géométrie euclidienne
) (
19/39
)
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(
P B'
B=
−
√5 − 2 √5
5
2 √5
5
5
√5
−
5
) ( )
et ⃗
OO'
2 √5
5
7 √5
10
−
(
( ) , ainsi O' (−1;−1,5)
OO' −1
donc ⃗
−1,5
B'
► Si λ 1=0 et λ 2≠0 alors ( E ) ⇔ λ 2 y' +
β'
2 λ2
2
2
)
+ α' x' + γ−
(β ' )
4 λ2
(
=0
Ainsi, la conique C n'a pas de centre. En posant par exemple O' 0;−
R'' =( O' ; ⃗
i' ; ⃗
j' ) on a
{
x' =x''
R
B
β' ainsi,
y' ' = y' +
2 λ2
β'
2λ2
)
, dans le repère orthonormé
R'
2
M ( x' ' ; y' ' ) R'' ∈ C ⇔ α ' x'' + λ 2 ( y'' ) + γ ' =0
(
Remarque : si α ' ≠0 , on peut faire « disparaître » le terme constant : α ' x'' −
)
γ'
2
+ λ 2 ( y'' ) =0
α'
2
► Si λ 2=0 et λ 1 ≠0 alors par une méthode analogue on a : M ( x' ' ; y' ' ) R'' ∈ C ⇔ β ' y' ' + λ 1 ( x' ' ) + γ' =0
4. Classification des coniques.
Après avoir déterminé le repère adapté R'', après division éventuelle par λ ' et multiplication éventuelle des deux
membres de l'équation (E) par −1 les équations de coniques se ramènent à une équation réduite suivante :
Géométrie euclidienne
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Coniques à centre : Det Mat ( q ) ≠0
(
Det Mat ( q ) > 0
(
B
B
)
Det Mat ( q ) < 0
)
(
x2 y2
+
=1 : ellipse
a2 b2
B
)
x2 y2
− =1 : hyperbole
a2 b2
x2 y2
− =0 : deux droites
a2 b2
x2 y2
+
=0 : l'origine du repère O ( 0 ; 0 )
a2 b2
x2 y2
− =−1 : hyperbole
a2 b2
x2 y2
+
=−1 : ∅
a2 b2
Géométrie euclidienne
21/39
pycreach.free.fr - TSI2
Coniques dégénérées : Det Mat ( q ) =0
(
B
)
Si λ 1=0
Si λ 2=0
x =ky 2 : parabole d'axe ( Ox )
y=kx 2 : parabole d'axe ( Oy )
y 2=k 2 : deux droites parallèles
x 2=k 2 : deux droites parallèles
y 2=0 : une droite
x 2=0 : une droite
y 2=−k 2 : ∅
x 2=−k 2 : ∅
Recherche de l'équation réduite et des axes d'une quadrique
Géométrie euclidienne
22/39
pycreach.free.fr - TSI2
k ) , les coniques
Définition analytique des quadriques : dans l'espace euclidien muni du repère orthonormé R=(O ; ⃗i ; ⃗j ; ⃗
sont les courbes d'équations cartésiennes de degré 2, ainsi,
M ( x ; y ; z )R ∈ Q ⇔ ⏟
Ax 2+ By 2+ Cz 2+ Dxy+ Exz+ Fyz + ⏟
α x+ β y+ γ z + δ⏟ =0
partie quadratique
partie linéaire
constante
avec ( A; B; C; D; E ; F ) ∈ℝ6−{ 0ℝ } et ( α ;β ; γ ; δ ) ∈ℝ4
6
La recherche de l'équation réduite et des axes d'une quadriques passe par les mêmes étapes que pour une conique :
D E
A
2 2
λ1 0 0
D
F
1. Diagonalisation de la matrice M=
B
en une matrice D= 0 λ 2 0 dans une base
2
2
0 0 λ3
E F
C
2
2
orthonormée.
x'
x
x
x'
En notant t P M P=D et P y' = y on a : ( x y z ) M y =( x' ; y' ; z' ) D y'
z
z
z
z'
2. Changement de base dans la partie linéaire.
x
x'
x'
( α β γ ) y =( α β γ ) P y' =( α ' ;β ' ; γ ' ) y '
z
z'
z'
3. Recherche du centre éventuel
Forme canonique pour chaque variable, x' , y' , et z' .
4. Classification des quadriques
L'équation réduite obtenue, après d'éventuelles permutations des axes, est équivalente à l'une des équations réduites
suivantes.
( )
()
Géométrie euclidienne
( )()
()
(
()
)
()
()
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Quadrique à centre : det ( M )≠0
Les 3 valeurs propres de même signe.
Les 3 valeurs propres n'ont pas le même signe.
x2 y2 z 2
+
+ =1 : ellipsoïde
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
+
− =1 : hyperboloïde à 1 nappe
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
+
− =0 ; cône à base elliptique
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
+
+
=0 : origine du repère
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
+
− =−1 : hyperboloïde à 2 nappes
a2 b2 c2
x2 y2 z 2
+
+ =−1 : ∅
a2 b2 c2
Géométrie euclidienne
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Une seule valeur propre nulle...
...les deux autres valeurs propres de même signe.
...les deux autres valeurs propres de signe opposé.
2
x2 y2
− =2 pz : paraboloïde hyperbolique
a2 b2
2
x
y
+ 2 =2 pz : paraboloïde elliptique
2
a
b
x2 y2
− =1 : cylindre hyperbolique
a2 b2
x2 y2
+
=1 : cylindre elliptique
a2 b2
x2 y2
− =0 deux plans sécants
a2 b2
d'équation bx+ ay=0 et bx−ay=0
x2 y2
+
=0 : axe ( Oz )
a2 b2
x2 y2
+
=−1 : ∅
a2 b2
Géométrie euclidienne
x2 y2
− =−1 : cylindre hyperbolique
a2 b2
25/39
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Deux valeurs propres nulles
Si λ 1≠0 alors les sous-espaces propres E λ ( M ) =vect ( e 1) et E 0 ( M ) =vect ( e 2 ; e3 ) sont orthogonaux.
M ( x ; y; z )R ∈ Q ⇔ λ 1 x 2+ β ' y+ γ' z+ δ=0
Dans le repère orthonormé R ( O, e1 ; e 2 , e3 ) :
Il est possible de faire « disparaitre » les deux variables de la partie linéaire. En effet, si β ' ≠0 et γ' ≠0 alors
γ'
M ( x ; y; z )R ∈ Q ⇔ λ 1 x 2+ β ' y +
z + δ=0
β'
γ'
e il est possible de compléter la base B' =( e 1 ; e' 2 ; e' 3 ) de ℝ3 en une base orthogonale (cf
Ainsi en posant e' 2=e2+
β' 3
procédé d'orthogonalisation de Gramm-Schmidt) et de la normaliser.
Toutes les équations possibles sont donc envisagées ci-dessous.
1
(
)
x 2=2 py : cylindre parabolique
x 2=k 2 : deux plans parallèles
d'équation x =k et x =−k
x 2=0 : le plan ( Oyz )
x 2=−k 2 : ∅
3. Transformations du plan et de l'espace
a) Applications affines du plan
i ;⃗
j ) le plan P confère à l'ensemble de ses points une
Définition d'un plan affine pointé : munir d'un repère R=( O ; ⃗
structure d'espace affine de direction l'espace vectoriel sous-jacent ⃗
P=vect ( ⃗
i ;⃗
j ) via l'application f de P × P dans ⃗
P
∈ ⃗
v x' − x
: ∀( M; M' )∈ P2 tels que M ( x ; y )R et M' ( x' ; y' )R , f ( M ; M' ) =⃗
MM' ≝ f ( M ; M' )
P on note ⃗
( y' − y)
( ⃗i ; ⃗j )
Plan affine
Plan vectoriel sous-jacent
Cette application f doit vérifier les deux conditions suivantes :
∀M∈P , l'application M' → ⃗
MM' est bijective (M' est l'image de M par la translation de vecteur ⃗
MM' ).
3
⃗
⃗
⃗
(
)
∀ M; M' ; M'' ∈P , MM' + M' M' ' = MM'' : (relation de Chasles)
Remarque : le choix du point origine O est arbitraire et n'influence pas la structure de l'espace affine grâce à la relation de
Chasles : en effet pour tout point O' ∈P , ⃗
MO + ⃗
O' M'
MM' = ⃗
OM' = ⃗
MO' + ⃗
Géométrie euclidienne
26/39
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⃗ , l'unique point M' du
v ∈ P
Notation de Grassmann dans un espace affine : pour tout point M du plan P et tout vecteur ⃗
v et noté : M+ ⃗
plan P tel que ⃗
MM' =⃗
v est appelé image du point M par la translation de vecteur ⃗
MM' ≝M' .
Soient A et B deux points distincts du plan, la droite (AB) est notée : A+ vec (⃗
AB) ≝( AB)
Remarques : cette opération notée + n'est pas une addition interne analogue à celle d'un espace vectoriel car elle opère sur
P× ⃗
P dans P.
Certains auteurs utilisent aussi la notation M' −M≝⃗
MM' .
Pour α∈ℝ , la notation α M est dangereuse car elle dépend du choix de l'origine O du repère.
Définition d'une application affine : soit f une application du plan affine P dans lui-même.
L'application f est dite affine si et seulement si
2
il existe un endomorphisme φ de ⃗
MN ) =⃗
f (M) f ( N)
P tel que ∀( M; N )∈P , φ (⃗
Définition de la partie linéaire d'une transformation affine : avec les notation précédentes, si f est une application
f .
affine du plan P alors l’endomorphisme φ de ⃗
P est unique, est appelé partie linéaire de f et est noté ⃗
Détermination d'une transformation affine grâce à sa partie linéaire : soit deux points A et A' d'un plan affine P et un
endomorphisme φ ∈L ( ⃗P ) .
( )
Il existe une unique application affine f de P dans P telle que f A =A' .
⃗
f =φ
{
Démonstration : ∀M∈P , f ( M )= f ( A )+⃗
f ( A ) f ( M )=A' + φ (⃗
AM ) donc f est entièrement déterminée par les points
A, A' et l'endomorphisme φ .
f ( M )= f ( A+⃗
AM ) = f ( A )+⃗
f (⃗
AM )
Remarque : on note parfois, avec la notation de Grassmann :
ou encore :
Géométrie euclidienne
27/39
f ( M )− f ( A )=⃗
f (⃗
AM )
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i ;⃗
j ) , on peut utiliser la matrice de l'application linéaire ⃗
f dans la base
Le plan affine étant muni du repère R=( O ; ⃗
⃗
⃗
B=( i ; j ) pour établir l'expression analytique de l'application affine f . Les coordonnées du point f ( M ) notée
( x' ; y' ) dans le repère R sont obtenues à l'aide des coordonnées du point M notée ( x ; y ) dans le repère R par :
x' =Mat ( ⃗
) x−xA + x f ( A )
B f ×
y'
y− yA
y f (A )
)( )
(
( )
( )
f )= a b , et en posant A=O, origine du repère R, on obtient le système :
En notant Mat (⃗
c d
B
x' =ax+by+ x f ( O )
y' =cx+ dy+ y f ( O)
{
Il ne faut pas oublier qu'ici x , y , x' et y' sont des coordonnées de points et pas de vecteurs.
Exemple : dans le plan muni d'un repère R= ( O ; ⃗i ; ⃗j ) , on considère s la symétrie par rapport à la droite Δ : x + y=2
v de coordonnées (1;2).
dans la direction du vecteur ⃗
( )
u de coordonnées −2
La droite Δ passe par exemple par les points de coordonnées (2;0) et (0;2) donc le vecteur ⃗
2
−2 2
1
0
B'
u ;⃗
v ) , Mat ( ⃗
s )=
est directeur de Δ , ainsi dans la base B' =( ⃗
et P=P B =
0 −1
1 2
B'
⃗
⃗
(
)
En utilisant la formule de changement de base on a dans B= i ; j ,
−1
1
−1
−2 1
1 0
−2 1
−2 1
1 0
2 −1 1 1 −2
Mat B (⃗
s )=P Mat B' ( ⃗
s )P =
×
×
=
×
×−
=
2 2
0 −1
2 2
2 2
0 −1
6 −2 −2 3 −4 −1
De plus, A appartenant à la droite Δ , le point A est invariant par s ainsi, dans le repère R, la symétrie s a pour
s (⃗
AM )
expression analytique, en utilisant ∀ M ( x ; y ) R ∈P , s ( M )=s ( A ) +⃗
1
2
4
x' = x− y +
1 1 −2 x−2
x'
2
3
3
3
Donc :
, c'est-à-dire :
=
+
−4
−1
y'
3
y
0
4
1
8
y' =− x− y +
3
3
3
i ;⃗
j ) et R=( Ω ; ⃗I ; ⃗J ) deux repères du plan et P=P Bb la
Formule de changement de repère affine soient r =( O ; ⃗
matrice de passage de la base b=( ⃗
i ;⃗
j ) vers la base B=( ⃗I; ⃗J ) . Pour tout point M du plan de coordonnées ( x ; y )
dans le repère r et ( X ; Y ) dans le repère R on a : x =P× X + x Ω
y
Y
yΩ
(
(
( ) (
)(
)( ) ( )
)(
) (
)
(
)(
) ( )(
)
) (
)
{
() ( )( )
OM =⃗
OΩ+⃗
ΩM donc [ M ]r =[ Ω ] r + [Ω M ] b or [ Ω M ]b =P Bb ×[ Ω M ]B=PbB×[ M ] R
Démonstration : ⃗
Géométrie euclidienne
28/39
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Composition d'applications affines : soient f et g deux transformations affines.
f ∘g =⃗
f ∘⃗
g
L'application f ∘ g est affine et ⃗
⃗
f
∈GL ( ⃗
P)
f est une transformation affine si seulement si
−1
−1
⃗
f )
Si f est une transformation affine alors f =( ⃗
g (⃗
AM ) )= f ( g ( A ) ) +⃗
f (⃗
g (⃗
AM ) )
Démonstration : soit A∈P , alors ∀ M∈P , f ( g ( M ) )= f ( g ( A ) +⃗
f est une transformation de réciproque g ⇔ f ( g ( A ) )=A
∀ M∈P , f ( g ( M ) ) =M
⇔ ∀ M∈P ⃗
AM=⃗
f (⃗
g (⃗
AM ) ) ⇔ f ∈GL ( ⃗
P)
−1
−1
−1
f ∈GL ( ⃗
P ) donc ⃗
f
f −1 =( ⃗
f ) .
f ∘⃗
f =⃗
f ∘ f −1 =Id ⃗P d'où ⃗
Si f est une transformation affine alors ⃗
existe et ⃗
{
Détermination d'une application affine du plan par la donnée d'image de points : soient A, B et C trois points et A', B' et C'
trois points d'un plan affine.
Si A, B et C ne sont pas alignés alors il existe une unique application affine f du plan telle que :
f ( A )=A'
f ( B )=B'
f ( C )=C'
{
f est entièrement déterminée. Si A, B et C ne sont pas alignés alors
Démonstration : il suffit de démontrer que ⃗
⃗
⃗
(⃗
(
)
AB; ⃗
AC ) est une base de ⃗
,
f
AB
=
A'
B'
et f (⃗
AC )=⃗
A' C' donc...
P
Propriétés conservées par une application affine : soit P un plan affine et f une application affine sur P. L'application
f conserve :
l'alignement des points :
si A, B et C sont trois points alignés alors f ( A ) , f ( B ) et f ( C ) sont alignés (ou confondus).
le parallélisme des droites :
si les droites (AB) et (CD) sont parallèles alors les droites ( f ( A ) f ( B )) et ( f ( C ) f ( D )) sont parallèles.
le barycentre de points pondérés :
si G=Bar {( A 1 ; α1) ; …; ( A n ; αn )} avec α1+ …+ αn≠0 alors f ( G ) =Bar {( f ( A 1 ) ; α1) ;…; ( f ( A n ) ; αn ) }
Remarque : en particulier f transforme un segment en un segment (ou un point) et une droite en une droite (ou un
point).
b) Isométries du plan
⃗ est muni d'un produit
Définition d'un plan affine euclidien : soit P un plan affine, si l'espace vectoriel sous-jacent P
scalaire alors le plan affine P est dit euclidien et est muni d'une distance notée d et définie par:
∀( M, N ) ∈P 2 , d ( M , N )≝∥⃗
MN∥
La structure euclidienne orientée de ⃗
P transporte dans le plan affine la notion orthogonalité et la mesure d'angles.
1 ⃗
1 ⃗
Soit ( A; B; C; D ) ∈P 4 , (⃗
AB; ⃗
CD ) =θ [ 2 π ] ⇔ r θ
AB =
CD
⃗
⃗
∥AB∥
∥CD∥
(
)
i ; ⃗j ) , ce qui signifie que le repère est orienté.
Remarques : le réel θ dépend de l'ordre des vecteurs dans la base ( ⃗
On note souvent d ( M , N )≝MN
Définition d'une isométrie d'un plan affine euclidien : soit P un plan affine euclidien et f une application de P dans P.
L'application f est une isométrie si et seulement si ∀( M, N ) ∈P 2 , d ( f ( M ) ; f ( N ))=d ( M ; N ) .
On dit que l'application affine f « conserve les distances ».
Exemple : soit s la réflexion par rapport à la droite affine Contre-exemple : soit p la projection orthogonale sur la
d'équation D : x + y +1=0 .
droite affine d'équation x + y +1=0 .
1
Soit le point A (−1; 0 ) ∈D , et ⃗
n
alors
Soit le point A (−1; 0 ) ∈D , et ⃗
n 1 alors
1
1
∀ M∈P , s ( M )=A+⃗
∀ M∈P , p ( M )=A+⃗
AM−2 (⃗
AM⋅⃗
n )⃗
n
AM−(⃗
AM⋅⃗
n )⃗
n
()
Géométrie euclidienne
()
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pycreach.free.fr - TSI2
L’expression analytique de la réflexion s est donc donnée L’expression analytique de la projection orthogonale p est
par : x' =…
donc donnée par : x' =…
y' =…
y' =…
{
{
s )=…
p )=…
Donc Mat ( ⃗
Donc Mat (⃗
Définition d'un déplacement du plan affine euclidien : soit P un plan affine euclidien et f une isométrie de P.
L'isométrie f est un déplacement si et seulement si ∀( A ; B ; C ; D )∈ P4 , (⃗
AB; ⃗
CD ) =(⃗
f ( A ) f ( B) ⃗
; f ( C ) f ( D )) [ 2π ]
On dit que l'isométrie f conserve les angles orientés de vecteurs (isométrie directe).
Une isométrie qui n'est pas un déplacement est appelée antidéplacement.
Définition des réflexions affines du plan : soit P un plan euclidien et f une application affine.
−
⃗
f est une réflexion du plan si et seulement si f ∈O ( ⃗P )
∃ A∈P tel que f ( A ) =A
{
f (⃗
AM )
Remarque : on a alors ∀M∈P , f ( M )=A+ ⃗
Ensemble des points invariants d'une réflexion affine du plan : soit P un plan euclidien et s une réflexion du plan telle
que s ( A )=A .
s)
L'ensemble des points invariants de s est la droite affine A+ E 1 ( ⃗
M=s ( M ) ⇔ M=s ( A )+ ⃗
s (⃗
AM )=A+ ⃗
s (⃗
AM )
⇔ ⃗
AM=⃗
s (⃗
AM )
⇔ ...
Remarque : on démontre de façon analogue de l'ensemble des points invariants de toute application affine est ou bien vide
ou bien un espace affine.
Démonstration :
Propriété des réflexions :
Les réflexions sont des antidéplacements et des involutions.
Démonstration : ∀( M, N ) ∈P , ∥⃗s (⃗
MN )∥=∥⃗
MN∥ car...
Et det ( ⃗s ) =−1 donc ...
La partie linéaire ⃗s est une symétrie vectorielle donc ⃗s ∘ ⃗s = Id ⃗P ainsi
s ∘ s ( A ) =A donc..
{⃗
s∘s=Id
⃗
P
Dans la suite, l'objectif est de démontrer que toutes les isométries du plan sont des applications affines puis de classifier
les isométries du plan à l'aide de leur partie linéaire.
Unicité de la réflexion échangeant deux points : soit C et C' deux points distincts d'un plan affine euclidien.
Il existe une unique réflexion s telle que s ( C )=C' .
L'ensemble des points invariants de cette réflexion est une droite affine
contenant l'isobarycentre des points C et C' et orthogonale à ⃗
CC' .
Démonstration : Une réflexion étant une involution, on a : s ( C' )=s ∘ s ( C )=C donc : ⃗
s (⃗
CC' )=…
Géométrie euclidienne
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s est diagonale et détermine ⃗
s
Ainsi, ⃗
CC' ∈E−1 (⃗
s ) ce qui permet de construire une base orthonormée dans laquelle ⃗
1
1
Soit I=Bar C;
alors par conservation du barycentre puisque s est une application affine,
; C' ;
2
2
{( ) (
s ( I )=Bar
)}
{( s (C ) ; 12 );( s (C' ) ; 12 )}=Bar {(C' ; 12 );(C ; 12 )}=I
Donc I est un point invariant par s.
f (⃗
IM ) =I+ ⃗
f (⃗
IM ) ⇔ ⃗
IM=⃗
f (⃗
IM ) ⇔ ⃗
Soit M∈P , M= f ( M ) ⇔ M= f ( I )+ ⃗
CC'
IM∈E 1 ( f ) ⇔ ⃗
IM ⊥ ⃗
Remarque : On dit que cette réflexion « échange » les points C et C'.
L'axe de cette réflexion est la médiatrice du segment [CC'].
Une caractérisation de l'identité du plan :
Toute isométrie du plan laissant invariants 3 points non alignés est l'identité du plan.
Démonstration :
Soit A, B et C trois points du plan non alignés, et f une isométrie du plan telle que f ( A )=A , f ( B )=B et f ( C )=C .
Supposons, par l'absurde, qu'il existe un point M du plan tel que M≠ f ( M ) ≝M' .
L'application f étant une isométrie :
AM= f ( A ) f ( M )=AM' donc A appartient à la médiatrice du segment [MM']
BM= f ( B ) f ( M )=BM' donc B appartient à la médiatrice du segment [MM']
CM= f ( C ) f ( M )=CM' donc C appartient à la médiatrice du segment [MM']
Ainsi A,B et C sont alignés ...
Théorème de Cartan-Dieudonné :
Toute isométrie du plan est la composée d'au plus 3 réflexions du plan.
Démonstration : Soit A ; B et C trois points non alignés du plan, A' ≝ f ( A ) , B' ≝ f ( B ) et C' ≝ f ( C ) .
4 cas sont à envisager selon le nombre de points invariants parmi ces 3 points (on ne parle pas ici de l'ensemble des points
invariants de f )
Cas n°1 : Si A=A', B=B' et C=C' alors f =id P d'après la propriété précédente.
Cas n°2 : Si A=A', B=B' et C≠C' .
Puisque f est une isométrie, AC=A' C' =AC' et BC=B' C' =BC'
donc A et B sont sur la médiatrice du segment [CC'], med ( [ CC' ] ) =(AB).
s( AB ) ∘ f ( A )=s ( AB ) ( A )=A
Soit la réflexion échangeant C et C' alors s( AB ) ∘ f ( B )=s ( AB ) ( B )=B
s( AB ) ∘ f ( C )=s ( AB ) ( C' )=C
donc s( AB ) ∘ f admet trois points invariants non alignés, ainsi s( AB ) ∘ f =Id P et
s( AB ) ∘ s( AB ) ∘ f =s( AB) ∘ Id P ainsi...
{
Cas n°3 : si A=A', B≠B' et C≠C' puisque f est une isométrie AB=A' B' =AB' donc A est sur la
médiatrice du segment [BB'] notée med ([ BB' ]) .
s med ( [ BB' ] ) ∘ f ( A )=s med ( [ BB' ] ) ( A ) =A
Soit s med ([ BB' ] ) la réflexion échangeant B et B' alors s med ( [ BB' ] ) ∘ f ( B ) =s med ( [ BB' ] ) ( B' ) =B donc s med ( [ BB' ] ) ∘ f admet au
s med ( [ BB' ] ) ∘ f ( C ) =smed ( [ BB' ] ) ( C' )=C1
moins deux points invariants distincts parmi A, B et C donc :
Si C1=C alors d'après le cas n°1 :
Si C1≠C alors d'après le cas n°2 :
s med ( [ BB' ] ) ∘ f =Id P donc...
s med ( [ BB' ] ) ∘ f =s( AB ) donc …
{
Géométrie euclidienne
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pycreach.free.fr - TSI2
Ainsi f est la composée d'au plus deux réflexions.
Cas n°4 : si A≠A' , B≠B' et C≠C' alors en notant med ([ AA' ]) la médiatrice du segment [ AA' ]
s med ( [ AA' ] ) ∘ f ( A )=s med ( [ AA' ] ) ( A' )=A
et s med ( [ AA' ] ) la réflexion échangeant A et A', on a : s med ( [ AA' ] ) ∘ f ( B )=s med ( [ AA' ]) ( B' )=B1 donc s med ([ AA' ] ) ∘ f admet au
s med ( [ AA' ] ) ∘ f ( C )=s med ( [ AA' ]) ( C' )=C 2
moins 1 point invariant parmi A, B et C :
si s med ([ AA' ]) ∘ f laisse les 3 points A, B si s med ([ AA' ]) ∘ f laisse exactement 2
si s med ([ AA' ]) ∘ f laisse seulement le
et C invariants (cf cas n°1) alors...
points invariants parmi A, B et C (cf
point A invariant parmi A, B et C (cf
cas n°2) alors...
cas n°3) alors...
{
Exemple de composition de 3 réflexions :
Ces compositions de réflexions ne sont pas commutatives... en général.
Corollaire du théorème de décomposition :
Toute isométrie du plan euclidien est une application affine.
Démonstration : toute isométrie étant la composée de réflexions qui sont des applications affines...
Caractérisation des isométries et des déplacements en fonction de leur partie linéaire :
f est une isométrie du plan affine euclidien P si et seulement si ⃗
f ∈O ( ⃗
P)
⃗
f est un déplacement du plan affine euclidien orienté P si et seulement si f ∈SO ( ⃗
P)
Démonstration :
f est une isométrie ⇔ ∀( M; N )∈P 2 , ∥⃗
MN∥=∥⃗
f ( M ) f ( N )∥=∥⃗
f (⃗
MN )∥ ⇔ …
f est un déplacement ⇔ ⃗
f conserve l'orientation ...
Géométrie euclidienne
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pycreach.free.fr - TSI2
Une classification des isométries du plan :
f ∈SO ( ⃗
P)
Déplacements : ⃗
⃗
Ou bien f =Id ⃗P
f =r θ
ou bien il existe un réel θ≠0 [ 2 π ] tel que ⃗
f ∈O− ( ⃗P )
Antidéplacements : ⃗
Ou bien ∃ A∈P tel que f ( A )=A i.e . ( Inv ( f )≠∅ )
ou bien ∀M∈P , f ( M )≠M i.e. ( Inv ( f )=∅ )
u ∈ ⃗
Définition d'une translation : soit un vecteur ⃗
P , la
u , notée t ⃗u est définie par :
translation de vecteur ⃗
∀M∈P, t ⃗u ( M )=M+ ⃗
u
Définition d'une réflexion : soit un point A∈P et un
v ∈ ⃗
vecteur non nul ⃗
P , la réflexion d'axe
Δ=A+vect ( ⃗
v ) est définie par :
∀ M∈P, sΔ ( M )=A+⃗
s ⃗v (⃗
AM )
f est une translation ⇔ ⃗
f =Id ⃗P
Points invariants : P si f =Id P ,
∅ si f ≠Id P .
f est une réflexion ⇔
⃗
f ∈O − ( ⃗
P)
∃ A∈P : f ( A )=A
{
Points invariants : l'axe de la réflexion qui contient les
milieux des segments [ M f ( M ) ] .
Définition d'une symétrie glissée : soit un vecteur non nul
u ) . La
⃗
u ∈⃗P et Δ une droite affine de direction vect (⃗
Définition d'une rotation : soit un point Ω∈P et un réel θ symétrie glissée d'axe Δ et de vecteur ⃗
u est la
la rotation de centre Ω et d'angle θ , notée Rot Ω ,θ , est
composée (commutative) de la réflexion d'axe Δ avec la
ΩM )
définie par : ∀M∈P, Rot Ω ,θ ( M )=Ω+ r θ (⃗
v : sΔ ∘t ⃗u =t ⃗u ∘ sΔ
translation de vecteur ⃗
où r θ est la rotation vectorielle d'angle θ .
f est une rotation d'angle θ≠0 [ 2 π ]
⇔ ⃗
f =r θ avec θ≠0 [ 2 π ]
f est une symétrie glissée ⇔
⃗
f ∈O− ( ⃗P )
∀M∈P, f ( M ) ≠M
{
Points invariants : ∅
L'axe de la symétrie glissée est globalement invariant et
contient les milieux des segments [ M f ( M ) ] .
u est le projeté orthogonal des vecteurs
Le vecteur ⃗
Point invariant : le centre Ω de la rotation appartenant aux ⃗
f ) :
M f ( M ) sur le sous-espace propre E 1 (⃗
médiatrices des segments [ M f ( M ) ] .
⃗
( M f ( M ) )=⃗
∀M∈P, p
u
E1 (⃗
f )
Géométrie euclidienne
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Démonstration : Translation : si f =t ⃗u
alors ∀ ( M ; N )∈ P2 , ⃗
f ( M ) f ( N )=⃗
f ( M )M +⃗
MN+⃗
N f ( N )=…
f =Id ⃗P , soit un point A∈ P ,
Réciproquement, si ⃗
alors ∀ M ∈P , ⃗
MA + ⃗
M f ( M) = ⃗
A f (A ) + ⃗
f ( A ) f ( M ) =...
⃗
u tel que, quel
Cette relation prouve que le vecteur A f ( A ) , est indépendant du choix du point A : il existe un vecteur ⃗
⃗
que soit le point A, A f ( A ) =⃗
u .
Donc ∀ M ∈P , f ( M )=…
f ( M ) f ( N ) =...
Rotation : si f =Rot Ω ;θ alors ∀ ( M ; N )∈ P2 , ⃗
Soit A un point du plan :
Ω= f ( Ω )
⇔ Ω= f ( A )+ ⃗
f (⃗
AΩ )
⃗
⇔ ⃗
AΩ=A f ( A )+ ⃗
f (⃗
AΩ )
⃗
⇔ ( Id ⃗P −⃗
f ) (⃗
AΩ )= A f ( A )
f =r θ avec θ≠0 [ 2 π ] alors det ( Id ⃗P−r θ )=…
Si ⃗
−1
−1
AΩ=( Id ⃗P−⃗
f ) (⃗
A f ( A ) ) d'où l'unicité du point invariant : Ω=A+ ( Id ⃗P−⃗
f ) (⃗
A f ( A ))
Ainsi ⃗
Et ∀ M ∈P , f ( M )= f ( Ω+⃗
ΩM ) =…
Réflexion : c'est la définition des réflexions du plan.
f =…
u ≠0 ⃗P alors ⃗
Symétrie glissée : si f =t ⃗u ∘ sΔ avec ⃗
f (⃗
AM ) =M ⇔ A+⃗
u +⃗
f (⃗
AM) =M
Soit un point A ∈Δ , f ( M )=M ⇔ f ( A+⃗
AM )=M ⇔ f ( A ) +⃗
⃗
⃗
⃗
u =AM− f ( AM )
⇔ ⃗
f ) : p 1≝ p E (⃗f )
Soit p 1 la projection orthogonale sur E 1 ( ⃗
p 1 (⃗
AM−⃗
f (⃗
AM ) )= …
1
p 1 (⃗
u )=…
u =0 ⃗P …..
Ainsi, f ( M )=M ⇒ ⃗
⃗
f ∈O− ( ⃗P )
f ) :
alors soit A un point du plan et p 1 la projection orthogonale sur E 1 ( ⃗
∀M∈P, f ( M ) ≠M
p 1≝ p E (⃗f ) : ∀ M ∈P , p 1 (⃗
M f ( M ) )= p 1 (⃗
MA+⃗
A f ( A ) +⃗
f ( A ) f ( M ) )= p 1 (⃗
MA ) + p 1 (⃗
A f ( A ) )+ p1 (⃗
f (⃗
AM ) ) =...
u tel que,
Cette relation prouve que le vecteur p (⃗
A f ( A ) ) , est indépendant du choix du point A : il existe un vecteur ⃗
Réciproquement si
{
1
1
Géométrie euclidienne
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quel que soit le point A, p 1 (⃗
A f ( A ) )=⃗
u .
t
∘
f
Pour démontrer que −⃗u
est une réflexion, il suffit d'exhiber un point invariant.
1
1
1
1
u et I=Bar A ;
; A' ;
AI= ⃗
AA'= (⃗
A f ( A ) +⃗
f ( A ) A' ) =...
Soit A'= f ( A ) −⃗
, alors ⃗
2
2
2
2
f (⃗
AI ) =…
Ainsi f ( I )= f ( A ) +⃗
{( ) (
)}
u ∈ E1 (⃗
f ) donc ∀ M ∈P , f ( t−⃗u ∘ M )= f ( M−⃗
u )= f ( M )+ ⃗
f (−⃗
u ) = f ( M ) −⃗
u =t −⃗u ∘ f ( M )
Commutativité : ⃗
Donc f ∘t −⃗u =t −⃗u ∘ f (composition commutative)
Décomposition des déplacements comme composée de réflexions du plan :
Les déplacements du plan sont les composées de 2 réflexions du plan.
Soit un point Ω∈P et un réel θ . Pour tout vecteur non
u ∈ ⃗
Soit un vecteur ⃗
P . Pour tout point A∈P , en
⊥
Δ 1=Ω+ vect ( ⃗
v)
(
(
Δ
=A+
vect
⃗
u ))
1
nul ⃗
,
on
a
:
v ∈⃗P , en posant
posant
Δ 2=Ω+ vect r θ ( ⃗
v)
1
⊥ , on a :
Δ 2=A+ ⃗
u + ( vect ( ⃗
u ))
2
2
Rot Ω ,θ= sΔ ∘ sΔ
t ⃗u =s Δ ∘ s Δ
{
(
2
{
)
1
2
1
−
−
Démonstration : dans les deux cas, ⃗
s Δ ∈O ( ⃗P ) et ⃗
s Δ ∈O ( ⃗
P ) donc ⃗
s Δ ∘s Δ ∈SO ( ⃗P ) ainsi, s Δ ∘ s Δ est une translation
ou une rotation.
Pour les rotations : si Ω∈Δ 1∩Δ 2 alors s Δ ∘ s Δ ( Ω )=…
Donc s Δ ∘ s Δ est une rotation de centre Ω .
1
s Δ )= 1 0
En posant e' 1=
⃗
v et en complétant en une base B' =( e' 1 ; e' 2 ) orthonormée directe de ⃗
P : Mat (⃗
∥⃗
0 −1
v∥
B'
(θ)
(θ)
cos
sin
s Δ ∘s Δ )= ...
s Δ )=
et Mat (⃗
, ainsi, Mat (⃗
sin ( θ ) −cos ( θ )
B'
B'
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
(
)
2
(
)
1
s Δ =⃗
s Δ ainsi, ⃗
s Δ ∘s Δ = Id ⃗P
Pour les translations : Δ 1 // Δ 2 ⇒ ⃗
⃗
s Δ ( AM ) )=s Δ ( A )+⃗
s Δ ∘s Δ (⃗
AM ) =s Δ ( A )+ ⃗
AM
Ainsi, ∀M∈P , s Δ ∘ s Δ ( M ) =sΔ ( A+ ⃗
u
Or, par construction, s Δ ( A )=A+ ⃗
∀M∈P
s
∘
s
(
M
)
=…
Ainsi,
, Δ Δ
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
Remarque : Id P =s Δ ∘ s Δ
c) Isométries de l'espace
Les espaces affines E sont construits de façon analogue aux plans affines avec des espaces vectoriels sous-jacents ⃗
E de
dimension 3. Les applications affines des espaces affines ont les mêmes propriétés que les applications affines des plans
affines avec la seule différence suivante :
Détermination d'une application affine de l'espace par la donnée d'image de points : soient A, B, C et D quatre points et
A', B', C' et D' quatre points d'un espace affine. Si A, B, C et D ne sont pas coplanaires alors il existe une unique
f ( A )=A'
application affine f de l'espace affine telle que : f ( B )=B'
f ( C )=C'
f ( D ) =D'
{
Démonstration : si A, B ,C et D ne sont pas coplanaires alors (⃗
AB; ⃗
AC; ⃗
AD ) forme une base de ⃗
E.
Géométrie euclidienne
35/39
pycreach.free.fr - TSI2
Les espaces affines euclidiens sont construits en munissant l'espace vectoriel sous-jacent d'un produit scalaire. Les
isométries et les déplacements sont définis de façon analogue au cas du plan.
Définition d'une réflexion de l'espace affine euclidien : soit E un espace affine euclidien et f une application affine.
⃗
f ∈O− ( ⃗
E)
f est une réflexion de l'espace E si et seulement si dim ( E (⃗
)
1 f )=2
∃ A∈E tel que : f ( A )=A
{
⃗
f ∈O− ( ⃗
E ) et ∃ A∈E tel que f ( A )=A n'implique pas f est une réflexion de l'espace car ⃗
f peut être
composée d'un symétrie vectorielle et d'une rotation.
Exemple : soit s la réflexion par rapport au plan affine P : x + y + z +1=0 alors en notant le point A (−1; 0; 0 ) et le
1
⃗
AM×⃗
n
AM−2
n
vecteur ⃗
n 1 on a : ∀ M∈E , s ( M )=A+⃗
⃗
2
∥⃗
n∥
1
x' =…
Donc l'expression analytique de la réflexion s est : y' =…
z' =…
()
{
Ensemble des points invariants d'une réflexion de l'espace affine euclidien : soit s une réflexion de l'espace affine et A un
point de l'espace affine tel que s(A)=A :
s)
Les points de l'espace invariants par s sont les points du plan affine A+ E 1 ( ⃗
Démonstration :
Propriétés des réflexions de l'espace affine euclidien :
Les réflexions sont des antidéplacements et des involutions.
Démonstration :
Unicité de la réflexion échangeant deux points : soit C et C' deux points distincts d'un espace affine euclidien.
Il existe une unique réflexion s telle que s ( C )=C' .
L'ensemble des points invariants de cette réflexion est un plan affine
contenant l'isobarycentre des points C et C' et orthogonal à ⃗
CC' .
Remarque : le plan de cette réflexion est le plan médiateur du segment [CC'].
Une caractérisation de l'identité de l'espace euclidien:
Toute isométrie de l'espace euclidien laissant invariants 4 points non coplanaires est l'identité.
Démonstration : ...
Théorème de Cartan-Dieudonné :
Toute isométrie de l'espace euclidien est la composée d'au plus 4 réflexions de l'espace.
Démonstration : analogue à celle du plan.
Corollaire du théorème de décomposition :
Toute isométrie de l'espace euclidien est une application affine.
Démonstration : toute isométrie étant la composée de réflexions qui sont des applications affines...
Caractérisation des isométries et des déplacements en fonction de leur partie linéaire :
f est une isométrie de l'espace affine euclidien E si et seulement si ⃗
f ∈O ( ⃗
E)
f est un déplacement de l'espace affine euclidien orienté E si et seulement si ⃗
f ∈SO ( ⃗
E)
Démonstration : analogue à celle du plan.
Géométrie euclidienne
36/39
pycreach.free.fr - TSI2
Une classification des déplacements de l'espace affine euclidien :
Définition des translations de l'espace : soit un vecteur
u notée t ⃗u est définie
⃗
u ∈⃗
E , la translation de vecteur ⃗
∀M∈E, t ⃗u ( M )=M+ ⃗
u
par :
f est une translation de l'espace ⇔ ⃗
f =Id ⃗E
Points invariants : E si f =Id E
∅ si f ≠Id E
Définition des rotations de l'espace : soit un point A∈E ,
un vecteur unitaire ⃗
u ∈⃗
E et θ un réel, la rotation d'axe
u ) d'angle θ , notée Rot Δ , θ est définie
orienté Δ=( A ; ⃗
par :
∀M∈E, Rot Δ ,θ ( M )=A+ r ⃗u ;θ (⃗
AM )
u ;⃗
e2 ;⃗
e3 ) orthonormée directe de
Avec dans une base B=( ⃗
1
0
0
⃗
Mat
r
=
(
)
,
E
( ⃗u , θ) 0 cos θ −sin ( θ )
B
0 sin ( θ ) cos ( θ )
f est une rotation de l'espace d'angle θ≠0 [ 2 π ]
⃗
f ∈SO ( ⃗
E ) ∖ { Id ⃗E }
⇔
∃ A∈E tel que : f ( A )=A
(
)
{
Points invariants : si θ≠0 [ 2 π ] , la droite affine :
Δ=A+E 1 (⃗
f )
Définition des vissages de l'espace : soit un point A∈E ,
un vecteur unitaire ⃗
v ∈⃗
E
u ∈⃗
E , un vecteur non nul ⃗
u et θ un réel, le vissage de
colinéaire au vecteur ⃗
u ) d'angle θ et de vecteur
direction l'axe orienté Δ=( A ; ⃗
⃗
v est la composée (commutative) :
t ⃗v ∘ Rot Δ ,θ =Rot Δ ,θ ∘t ⃗v
f est un vissage de l'espace
⃗
f ∈SO ( ⃗
E ) ∖ { Id ⃗E }
⇔
∀M∈E, f ( M )≠M
{
Points invariants : ∅
f )
Axe globalement invariant et dirigé par : E 1 ( ⃗
⃗
v est la projection de M f ( M ) sur E 1 ( ⃗
f ) :
Le vecteur ⃗
(⃗
⃗
v =p
M f (M ))
E1 (⃗
f )
Δ = Inv ( t −⃗v ∘ f )
Démonstration :
Translations : si f est une translation alors ∀ M ∈P , ⃗
f ( M ) f ( N ) =...
2
⃗
⃗
Réciproquement, si f =Id ⃗E alors ∀ ( M , N ) ∈E , M f ( M ) =...
Donc ∀ M ∈E , f ( M )=…
Rotations : si f est une rotation alors il existe un point A∈E tel que f ( A )=A
et ∀ ( M ; N )∈ E2 , ⃗
f ( M ) f ( N ) =...
Réciproquement s'il existe A∈E tel que f ( A )=A et si f ∈SO ( ⃗
E ) ∖ { Id ⃗E } alors il existe une base orthonormée directe
1
0
0
B=( e1 ; e 2 ; e3 ) telle que Mat ( ⃗
f ) = 0 cos ( θ) −sin ( θ ) donc...
B
0 sin ( θ ) cos ( θ )
(
)
f =…
Vissages : si f est un vissage de l'espace, f =t ⃗v ∘ Rot Δ ;θ alors ⃗
Géométrie euclidienne
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Soit A ∈Δ , ∀ M ∈E , f ( M )=⃗
v + A+r ⃗u ;θ (⃗
AM ) ainsi, f ( M )=M ⇔ ⃗
AM−r ⃗u ;θ (⃗
AM ) =⃗
v
p ⃗Δ (⃗
AM−r ⃗u ;θ (⃗
AM ))=…
Soit ⃗
Δ =E 1 ( r Δ; θ) , les projetés orthogonaux sur ⃗
Δ,
p ⃗Δ ( ⃗
v )=…
v =0 ⃗E ...
Ainsi f ( M )=M ⇒ ⃗
⃗
f ∈SO ( ⃗
E ) ∖ { Id ⃗E } alors soit ⃗
f )=vect (⃗
u ) , il est possible de
u un vecteur unitaire tel que E 1 ( ⃗
(
)
∀M∈E, f M ≠M
1
0
0
u ;⃗
e 2 ;⃗
e3 ) et Mat ( ⃗
compléter en une base orthonormale de ⃗
E , B=(⃗
f ) = 0 cos ( θ) −sin ( θ )
B
0 sin ( θ ) cos ( θ )
⃗
Soit p 1 la projection orthogonale sur le sous-espace propre E 1 ( f ) : p 1= p E (⃗f )
Soit un point A ∈E , ∀ M ∈E , p (⃗
M f ( M ) )= p (⃗
A f (A ))
Réciproquement : si
{
(
)
1
1
1
v tel que,
Cette relation démontre que le vecteur p 1 (⃗
A f ( A ) ) est indépendant du choix du point A : il existe un vecteur ⃗
⃗
quel que soit le point A, ⃗
v = p (A f ( A )) .
1
Pour démontrer que g ≝t⃗v ∘ f est une rotation, il suffit d'exhiber un point invariant de g .
v alors ⃗
Soit A'= f ( A ) −⃗
AA' =⃗
A f ( A ) +⃗
f ( A ) A' =⃗
A f ( A ) −⃗
v
⃗
donc p 1 ( AA' )=…
⊥
AA' ∈ ( E1 (⃗
f ))
Ainsi ⃗
f (⃗
AΩ )=Ω ⇔ ⃗
AA' +⃗
v +⃗
f (⃗
AΩ ) =⃗
AΩ
Soit un point Ω∈E , f ( Ω )=Ω ⇔ f ( A ) +⃗
A f ( A ) +⃗
f (⃗
AΩ ) =A Ω ⇔ ⃗
⃗
⃗
⃗
v
⇔ ( Id ⃗E − f ) ( AΩ ) =AA' +⃗
0
0
0
f n'est pas une bijection de ⃗
Or Mat ( Id ⃗E −⃗
donc Id ⃗E −⃗
E mais, si θ≠0 [ 2 π ] , sa
f ) = 0 1−cos ( θ )
sin ( θ )
B
0 −sin ( θ) 1−cos ( θ)
⊥
f ) ) est une bijection. En notant ⃗
f , on a :
u A un antécédent de ⃗
AA' par Id ⃗E −⃗
restriction à ( E1 ( ⃗
et on a : f ( Ω )=Ω ⇔ ⃗
AΩ∈⃗
u A +vect ( ⃗
v ) ≠∅ .
(
)
v ∈E1 ( r⃗u ;θ) donc ...
Commutativité : ⃗
Géométrie euclidienne
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Décomposition des déplacements de l'espace affine euclidien en composées de réflexions
Soit un vecteur ⃗
u ∈⃗
E.
Pour tout point A∈E , en définissant les plans affines :
⊥
P 1=A+ ( vect (⃗
u ))
1
⊥
P 2=A+ ⃗
u + ( vect ( ⃗
u ))
2
On a : t ⃗u =s P ∘ s P
{
2
1
u , l'axe orienté
Soit un point A∈E , un vecteur unitaire ⃗
Δ=( A ; ⃗
u ) et un réel θ .
v non colinéaire au vecteur ⃗
u , en
Pour tout vecteur ⃗
P1 =A+Vect ( ⃗
u ;⃗
v)
définissant les plans affines :
P2 =A+Vect ⃗
u , r⃗u ; θ (⃗
v)
{
On a : Rot Δ ,θ =sP ∘ s P
2
(
2
)
1
En composant translation et rotation, tout vissage peut
s'écrire comme composée de 4 réflexions.
Remarque les plans P 1 et P 2 sont tous les deux
perpendiculaires aux plans P 3 et P 4 .
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