n - PUC-SP

Pour tout entier n,
√nest entier ou irrationnel
Un beau théorème absent de
l’arithmétique d’Euclide
(Livres 7 à 9 des Éléments)
PUC-SP. Juin 2006
Γn entier ou irrationnel
Prsentation de Michel HENRY,
IREM de Besanon (Fra nce)

•I - L’irrationalitéde √n
√nest entier ou irrationnel
1 - √2 et la «crise »des quantités irrationnelles
Si √2 était un rapport de deux entiers, la diagonale et le côtéd’un carré
seraient mesurés par une même unité(i.e. en seraient des multiples entiers).
On pourrait alors construire un carréde côtéplus petit que la moitiédu
précédent et qui serait mesurépar cette même unité. On peut refaire cette
construction jusqu’à obtenir une longueur mesurée par une unitéplus
grande qu’elle ! (Cf. la démonstration d’Euclide, Livre X, prop. 117).
Preuve d’Aristote :
2 ne peut pas être le carréd’un rapport d’entiers.
En effet, si deux entiers aet bétaient dans un rapport irréductible (i.e. sans
diviseur commun) tel que a2= 2b2, a serait un nombre pair (car le carré
d’un nombre impair est impair) et 2b2serait multiple de 4.
b serait donc pair et 2 serait diviseur commun de a et b !

•I - L’irrationalitéde √n
√nest entier ou irrationnel
2 - Généralisations ?
Théodore de Cyrène (460-369) avait obtenu l’irrationalitéde √3 et √5
Platon (428-347) dans le dialogue du Thééthète:
«Théodore que voici nous avait tracéquelques figures àpropos de racines
et nous avait montréque celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont point
pour la longueur commensurables avec celle d'un pied, et, les prenant ainsi,
l'une après l'autre, il était alléjusqu' àcelle de dix-sept pieds et il s'était,
je ne sais pourquoi, arrêtélà ».
La question générale de l’irrationalitéde √nétait àla portée des Grecs,
tous les arguments nécessaires sont rassemblés dans le Livre VII des
Éléments d’Euclide (prop. 20 à32), pourtant le résultat général n’y figure
pas.

•I - L’irrationalitéde √n
√nest entier ou irrationnel
3 - Démonstration de la propriété, prérequis :
Elle s’appuie sur le théorème dit «de Gauss »suivant :
Soient a, b, c trois entiers naturels. Si a est premier avec b et si a
divise le produit bc, alors a divise c.
On utilisera seulement cette conséquence immédiate, présente dans les
Éléments (Livre VII, prop. 25) :
(1) Si p est un nombre premier divisant a2, alors p divise a.
On y trouve aussi (prop. 32) que :
(2) pour tout entier non premier b > 1, il existe un diviseur premier
de b.
Enfin (prop. 20 à22) que :
(3) tout rationnel peut être représentépar une fraction irréductible
unique.

•I - L’irrationalitéde √n
√nest entier ou irrationnel
3 - Démonstration de la propriété:
-Supposons que √nsoit rationnel non entier,
- Ce rationnel peut donc être représentépar la fraction irréductible a/b,
avec b> 1 (3).
-a et bsont donc deux entiers premiers entre eux, tels que a2=nb2.
- Soit pun diviseur premier de b (2).
-p divise a2et donc divise a (1).
-a et b ayant ppour diviseur commun, ne seraient pas premiers entre
eux !
- rejet de l’hypothèse absurde: si √nn’est pas entier, il ne peut être rationnel.