1) L - UQAM

Couche limite et
micrométéorologie
Le problème de fermeture
Types de fermeture
Fermeture d’ordre 0 :
La théorie de similitude de Monin-Obukov
ou de la couche de surface.
Exemple : le profil vertical du vent
Le problème de fermeture dans la CLA
Équation
pronostique
moment
Nombre
d ’équations
Nombre
d ’inconnues
ui
1
3
6
uj ui
2
6
10
uk uj uk
3
10
15
Le nombre d ’inconnues est plus élevé
que le nombre d’équations...
Modélisation de la CLA
Méthodes
d’ordre
supérieure
Fermetures
Ordre 0
similitude
Méthodes
semi-empiriques
Ordre 0,5
Méthode couche
Ordre 1
K algébrique
Ordre 1,5
K différentielle
Aujourd’hui
Exemple CM
Fait
Fait
Hypothèse de similitude
Si les conditions de réalisation de deux expériences
sont identiques leurs résultats sont aussi identiques
Mêmes causes  mêmes effets
Il n’est pas nécessaire que tous les paramètres définissant
l’expérience aient les mêmes valeurs : il faut cependant
qu’ils satisfassent les conditions de similitude.
Similitude
Similitude est la théorie et l ’art de prédire le comportement
d ’un phénomène en construisant un modèle du phénomène
(ou prototype).
Similarité géométrique : deux systèmes sont similaires
géométriquement s ’il ont un rapport d ’échelle L/L* constant
Similarité cinématique : pour qu ’il y ai de la similitude cinématique
entre deux écoulements doivent être similaires aux endroits
correspondants : u1/u1* = u2/u2* .
Similarité dynamique : pour qu ’il y ai de la similitude dynamique
toutes les forces en jeu, quand à leur intensité, direction et leur point
d’application doivent être similaires. Notons que la similitude
dynamique est une condition nécessaire à la similitude cinématique
Similitude
Les différences observées entre les résultas de deux
expériences similaires ne sont pas imputables à une
différence de nature mais uniquement à des
différences d ’échelle.
La théorie de similitude se base dans l ’organisation
des variables que définissent le phénomène en groupes
sans dimensions. Pour la formation de ces groupes sans
dimensions on recours à l’analyse dimensionnelle.
Similitude géométrique
Considérons un phénomène dont la dimension linéaire est L.
Soit L* l ’échelle caractéristique.
Toutes les autres dimensions doivent être
dans le rapport L/L* .
Les surfaces doivent satisfaire le rapport
?
(L/L*)2
Les volumes doivent satisfaire le rapport
?
(L/L*)3
Similitude dynamique
Considérons la loi de Newton :
Fnette  ma
résultante
de plusieurs
forces
force
d'inertie
Forces possibles:
Force d ’inertie
Force de viscosité
Force de pression
Force de compressibilité
Force de pesanteur
Force de tension superficielle
Similitude dynamique
F1  F2  F3  ma
F  F2  F   ma 
*
1
*
*
3
*
Les deux écoulements sont similaires si:
 ma 
*
*
1
F
ma

F1
 ma 
*
F2
*
ma

F2
Rapports de forces : nb sans dimensions
Force d'inertie
u 2  L2 u 2 


 N E (Nombre d'Euler)
2
Force de pression
pL
p
Force d'inertie
u 2  L2 u 2
2
2



N
(Nombre
de
Froude)
F
Force de la pesanteur  L3 g Lg
Force d'inertie
u 2  L2 uL


 RE (Nombre de Reynolds)
Force de viscosité
 L

Force d'inertie
u 2  L2 u 2
 2 2  2  N M2 (Nombre d'e Mach)2
Force de compress. c  L c
Force d'inertie
u 2  L2 u 2  L


 NW (Nombre de Weber)
Force de tens. sup.
L

Analyse dimensionnelle et théorie de similitude
En absence d'une théorie sur la turbulence on utilise l'analyse dimensionnelle
et la théorie de similitude pour déterminer le comportement du fluide. Dans cette
théorie, on ne considère pas le temps comme une variable qui décrit l’écoulement
du fluide. Elle s’applique à des écoulements quasi-stationnaires.
Les grandeurs physiques ont des dimensions bien précises. Si on connaît
les causes du comportement du fluide il est possible de trouver une
combinaison mathématique de ces causes (en utilisant la multiplication,
la division, l'exponentielle,…) qui a les unités du terme qu'on veut connaître.
Dimensions : 7 grandeurs de base
Grandeur
masse
longueur
temps
intensité électrique
température
intensité lumineuse
quantité de matière
Symbole dimensionnel
M
L
T
I

J
N
Unité
kilogramme
mètre
seconde
ampère
kelvin
candela
mole
Analyse dimensionnelle : le théorème Pi
L ’homogénéité dimensionnelle constitue une contrainte
assez puissante sur la forme des relations entre les
paramètres physiques qui sont identifiés comme importants
pour définir le phénomène à étudier.
théorème 
Soit l ’ensemble de n paramètres b1, b2, …, bn.
Le théorème  nous dit que si r des n paramètres ont des
dimensions physiques indépendantes, alors on peut former
(n-r) paramètres physiques dépendants et sans dimensions.
Chaque combinaison sans dimensions est formée à l ’aide
d ’un ensemble libre maximum, p. ex. : b1, b2, …, br et de
l ’un des paramètres de l ’ensemble complémentaire, ici
br+1, br+2, …, bn.
Théorème  : procédure
1 - Identification de tous les paramètres pertinents pour
l ’étude du problème spécifique
(éviter d ’introduire trop de paramètres).
2 - Mettre sur pied un ensemble complet de variables
sans dimensions qui caractériserons le phénomène
1, 2, …, n-r.
(r est la base dimensionnelle et doit contenir toutes les
dimensions fondamentales)
3 - Prendre des mesures afin relier ces variables entre elles
et ainsi déterminer la forme des fonctions universelles
qui gouvernent le phénomène :
f(1, 2, …, n-r)=0
Exemple: profil vertical de la vitesse dans la CLP
Théorème  : exemple 1
u z
[T-1]
Variables importantes pour la description du phénomène
et dimensions de chaque variable:
Altitude
z
Frottement au sol
[L]
u*
[LT-1]
Flux cinématique de chaleur en surface
Q0
Paramètre de Coriolis
f
[T-1]
[LT-1 ]
Paramètre de flottabilité
  g 0
[LT-2 -1]
Théorème  : exemple 1
Construction de la matrice dimensionnelle :
  g 0
Q0
0
1
1
0
0
0
0
0
-1
-1
-2
-1
0
0
0
-1
1
u z
z
u*
f
L
0
1
1
M
0
0
T
-1

0
Rang de la matrice = r = 3
Théorème  : exemple 1
Choix des «variables clé» ou base dimensionnelle
Contraintes: a) le nombre de variables clé doit être égale
au rang de la matrice dimensionnelle.
b) toutes les dimensions doivent être
représentées;
c) doivent être dimensionnellement
indépendantes.
u z
[T-1]
z
[L]
u*
[LT-1]
f
[T-1]
  g 0
[LT-2 -1 ]
Q0
[LT-1 ]
Base dimensionnelle:
u*
f
Q0
Paramètres dépendants
u z
z
  g 0
Théorème  : exemple 1
Rang de la matrice = r = 3
 1  zu f Q
a
*
Base dimensionnelle:
u*
f
b
c
0
u d e f
2 
u* f Q0
z
Q0
Paramètres dépendants
z u z   g  0
3  u f Q
f (1 ,  2 ,  3 )  0
g
*
h
i
0
Théorème  : exemple 1
Calcul des fonctions 
 1  zu*a f bQ0c
 1  zu*1 f
u d e f
2 
u* f Q0
z
u 1
2 
f
z
3  u f Q
 3   u*2 f 1Q0
g
*
h
i
0
f (1 ,  2 ,  3 )  0   2  g (1 ,  3 )
Théorème  : exemple 1
 1  zu f
1
*
u 1
2 
f
z
 3   u f Q0
2
*
1
 2  g (1 ,  3 )
 zf  Q0  u
 zf  Qo 
u 1
 g , 2 
 f g , 2 
z f
z
 u* fu* 
 u* fu* 
Théorème  : exemple 1
 zf  Qo 
u
 f g , 2 
z
 u* fu* 
Traditionnellement on définie deux échelles de longueur :
LE
u*

LMO
kf
u*
Le 
kf
LMO  
3
*
u
k  Q0
1
 u 
 Q0
 3

 
2
fu*
 k  Q0 
3
*
 z LE 
u
u*

 u  ,

z kLE
 LE LMO 
Théorème  : exemple 1
g
et
u
sont des fonctions à déterminer par la théorie du phénomène
ou expérimentalement.
Conclusion :
1) L ’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle
entre les paramètre.
2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales
où théoriques.
Développement de la théorie de similitude
1) Sélection (par la théorie ou par intuition) des variables importantes pour
décrire la situation
2) Organisation des variables en groupes sans dimensions (1, 2, …, n)
3) Trouver expérimentalement la valeur des groupes sans dimensions
4) Trouver, par régression et minimisation des écarts quadratiques, la courbe
que représente les données expérimentales.
Ces 4 étapes nous donnent une équation empirique ou un
ensemble de courbes de forme similaire, d’où le nom de
théorie de similitude
Développement de la théorie de similitude
Si nous sélectionnons trop de variables (plus que nécessaire)
il aura des groupes sans dimensions dont le phénomène ne
dépend pas.
Si la sélection ne contient pas tous les paramètres
pertinents pour décrire la situation, la dispersion des
données au tour des relations de similarité est très grande.
Les relations de similitude s’appliquent à l’équilibre
(état quasi-stationnaire). Elles sont utilisées souvent
dans la détermination des quantités moyennes et la
statistique de la turbulence en fonction de z
(homogénéité horizontale)
La théorie de similitude est une fermeture d’ordre 0
Classes de similitude
Similitude de Monin Obukhov (similitude de la CS)
Similitude de la couche de mélange
Similitude locale (z less theory)
Convection libre locale
Similitude de Rossby (modèles à grande échelle)
Couche de surface neutre, homogène
horizontalement et stationnaire
Force de Coriolis ~ 0
u
 Au  FGP  FC  FB  FFT
t
Variation local
du vent = 0
Advection = 0
Force de frottement
turbulent
Force de flottabilité = 0
Force de gradient
de pression ~ 0
Toutes ces approximations s'appliquent dans la couche à la proximité
de la surface, dont l'épaisseur est 10 % de la hauteur de la couche limite
Couche de surface neutre, homogène
horizontalement et stationnaire, hCS = 0,1hCL
Force de Coriolis ~ 0
u
 Au  FGP  FC  FB  FFT
t
Variation local
du vent = 0
Force de frottement
turbulent
Force de flottabilité = 0
Advection = 0
Force de gradient
de pression ~ 0
Avec l'axe des x dans le sens du mouvement :
0  FFT  
(uw)
z
uw  constante =  u*2    
Où  représente les forces de contraintes visqueuses à la surface
Exemple : le profil logarithmique du vent
De quoi dépend le cisaillement du vent dans la couche de surface
neutre, stationnaire et horizontalement homogène u/ z ?
 De la hauteur z
 De l’intensité des contraintes de Reynolds, u*
1) L’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle
entre les paramètre.
u
u z
 f  z , u*  
= constante
z
z u*
2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales
où théoriques.
u u*
 , k  constante de von Karman ~ 0, 4
z kz
Exemple : le profil logarithmique du vent
On connaît maintenant comment le vent varie avec z :
u u*
 , k  constante de von Karman ~ 0, 4
z kz
Le vent moyen que présente cette pente en fonction de z est :
u ( z) 
u*  z 
ln  
k  z0 
Où z0 est la hauteur à laquelle le vent est nul : la longueur de rugosité
aérodynamique.
Couche de surface stratifiée (non neutre)
La plupart du temps la couche de surface est stable ou instable. L'effet de
l'instabilité est d'augmenter la turbulence et l'efficacité des transferts (des flux).
L'inverse arrive avec quand 'atmosphère est instable. Les transferts doivent
être plus difficiles.
On peut imaginer que les transferts sont proportionnels à a taille des tourbillons
qui transportent de l'énergie:
Neutre
z
stable
z
Type de tourbillons selon la
stabilité de la couche de surface
Instable
z
Effet de la stabilité sur le profil du vent
La vitesse du vent dans la couche de surface en incluant l'effet de la
stabilité thermique. Représentation schématique du profil du vent et de
la structure des tourbillons. Oke, 1978.
Classes de similitude : la similitude de MoninObukhov
Applicable dans la couche de surface
Couche de surface : où les flux sont constants.
On utilise alors les flux à un seul
niveau.
Cette théorie est valable seulement quand il y a du
vent et que u* est différent de zéro.
Échelles importantes :
L = longueur de Monin Obukhov (1m à 200 m)
zo = paramètre de rugosité (1 mm à 1 m)
u* = vitesse de frottement (0.05 à 0.3 m/s)
*SL = échelle de température (0.1 à 2.0 K)
q*SL = échelle d ’humidité (0.1 à 5g/kg)
Similitude de Monin-Obukhov : longueur de
Monin-Obukhov
u*3
L
kQ0 
L  0 si Q0  w   0  instabilité
L  0 si Q0  w   0  stabilité
Échelles dans la couche de surface stratifiée :
Longueur
L   u*3 kQ0 
1m à 200 m
12
Vitesse
Température
u*  uw
0.05 à 0.3 m/s
*    w u*
0.1 à 2.0 K
Similitude de Monin-Obukhov
u z
 z
Appliquée essentiellement dans la couche de surface
définie comme la couche à flux constant.
Variables importantes pour la description de
et dimensions de chaque variable:
Altitude
z
u z
[L]
Frottement au sol
u*
[LT-1]
Paramètre de flottabilité
  g 0
[LT-2 -1]
Flux cinématique de chaleur
en surface
Q0
[LT-1 ]
Base dimensionnelle
[L,T, ]
?
Similitude de Monin-Obukhov
n=5
r=3
n-r = 2
Base dimensionnelle
u*
Q0
  g 0
 1 ,  2  F  1 ,  2   0
u z
Similitude de Monin-Obukhov
u z
 1 ,  2  F  1 ,  2   0
u*
  g 0
Q0
u z
u 2 1 1 1
u* Q0  
z
k
z
b
c
 u  a
 1    u*  Q0    
 z 
 1   z u*  Q0    
d
e
f
1
zu Q0   
k
z
1

L
k
3
*
Fonctions universelles de Monin-Obukhov
u L
z
 f M    f M  
z u*
L
M     fM  
 L
z
 f H    f H  
z *
L
H     f H  
u u*
  M  
z kz
  k z L  k
 *
  H  
z kz
La longueur de Monin Obukhov
u*3
L
kFH , s 
L  0 si FH ,s  w   0  instabilité convective
L  0 si FH ,s  w   0  stabilité convective
Échelles dans la couche de surface stratifiée :
Longueur
L   u*3  kFH , s  
1m à 200 m
12
Vitesse
u*  uw
0.05 à 0.3 m/s
Température
*    w u*
0.1 à 2.0 K
Théorie de similitude de Monin Obukhov
Et toute grandeur de la couche de surface normalisée par les
échelles de vitesse, longueur, température, etc., est représentée par
une fonction universelle de la hauteur normalisée z/L (ou des constantes).
z L 
Détermination des fonctions universelles
z L 
kz u
 M   
u* z
M  
 H  
kz 
 H   
* z
Terrain homogène sur quelques kilomètres carrés
Conditions quasi-stationnaires
Kansas 1968
Quasi-stationnarité
Temps de réponse de la couche
de surface : z/u*, z/L ou z/w*
Typiquement < 1 minute
Temps caractéristique
de variation du chaleur sensible :
jour : ~4 h
nuit : très, très grand!
Attention au coucher et lever
du soleil! On est loin de la
stationnarité
Détermination des fonctions universelles
M  
 H  
Mesures : les contraintes de surface :

 wu 
 u*
s

 
Kansas 1968
Détermination des fonctions universelles
M  
 H  
Mesures : flux de chaleur par la méthode des corrélations
 w 
Kansas 1968
s
 *
Détermination des fonctions universelles
M  
 H  
Mesures : Gradients moyens de vitesse du vent
et de température

z
u
z
Kansas 1968
Détermination de
M  
 1  4.7
  0 stable

 M    
1
  0 neutre

1 4
  0 instable
1  15 
Kansas 1968
Détermination des fonctions
Kansas 1968
M  
 H  
Théorie de similitude de Monin Obukhov
 1  4.7
  0 stable

 M    
1
  0 neutre

1 4
  0 instable
1  15 
 Km
 4.7
  0 stable

 KH

Km
 H    
  0 neutre
KH

 Km
1 2
  0 instable
 1  9 
 KH
Km
 0, 74
KH
Erreur dans Stull, page 384
Businger et , 1978
Théorie de similitude de Monin Obukhov
u u*
  M  
z kz
z

L
wu   u*2
 *
  H  
z kz
 
u*3
L
, FH ,s  w 
kFH ,s 
w   u**
g
, 
surface
0
Longueur de Monin-Obukhov : signification
physique de   z L
u3
L
*
kFH , s 
Dans l'équation d'énergie cinétique turbulente on a le terme
B
g
0
w  
g
0
FH , s
Dans la couche de surface neutre
et
u
u 2
S 
wu 
u*
z
z
u 2 u*3
S
u* 
z
kz
z
B
     f ( R f )  f ( Ri )
L
S
Ri 
g  z
v  u z 2
Longueur de Monin-Obukhov : critère de
stabilité convective
  z L  0 si FH ,s  w   0  instabilité convective
  z L  0 si FH ,s  w   0  stabilité convective
instable
-2
neutre
0
stable
+2

Relation entre a longueur de Monin-Obukhov et le
nombre de Richardson gradient
La détermination de L est difficile. On utilise souvent les relations entre z/L et
le nombre de Richardson gradient, Ri, plus facile à déterminer puisque il dépend
des gradients des quantités moyennes.
Conditions stables (z/L > 0)
Ri 
g  z
v  u z 2
Conditions instables (z/L > 0)
z/L
Ri
1  5Ri
z / L  Ri
Profil du vent dans la couche de surface
stratifiée (-2<z/L<1)
u*   z 
 z 
u  ln    M   
k   z0 
 L 
u u*
  M  
z kz
Cas stable :
z
z
 M     1 , avec 1  4,7; 5 ou 6
L
L
Cas neutre :
z
M    0
L
Cas instable :
z
 M    2ln 1  x  / 2  n 1  x 2  / 2  arctan( x)   / 2,
L
1
z 4

avec x  1   1  , avec  1  15 ou 16
L

Exemple : profil du vent dans la couche de
surface
Calculez le profil verticale de la vitesse du vent dans a couche de surface dans
les conditions suivantes : vitesse de friction = 0,3 m/s; longueur de rugosité = 0,02 m
température virtuelle moyenne = 300 K et flux cinématique de chaleur
à la surface = -0,05 K m/s.
Solution :
Données : u* = 0,3 m/s; z0 = 0,02, Tv = 300 K ~ v et FH,s = -0,05 K m/s
Calcul de L
L   u*3  kFH ,s  
 (0,3m / s)3 /  0, 4  (0,05 Km / s)  (9,8m / s 2 ) / 300 K 
 41,3 m
Atmosphère stable...
Exemple : profil du vent dans la couche de
surface stable
u*   z 
 z 
u
ln    M   
k   z0 
 L 
neutre
stable
z
M    0
L
z
z
 M    6
L
L
u*   z  
u  ln   
k   z0  
u*   z   z  
u  ln    6   
k   z0   L  
u
Extrapolation du vent dans une couche de
surface stratifiée (-5<z/L<1)
  z2 
 z2  
ln    M   
 L 
 z0 

u ( z2 )  u ( z1 )
  z1 
 z1  
ln    M   
 L 
  z0 
Profil du vent dans la couche de surface
stratifiée (-5<z/L<1) : difficultés
  z2 
 z2  
ln    M   
 L 
 z0 

u ( z2 )  u ( z1 )
  z1 
 z1  
ln    M   
 L 
  z0 
Il faut déterminer ou connaître :
   
u*   uw  vw 


2
u* 
L  f (w , u* )
z0
2
1
4
uw si l'axe des x est dans la direction du vent