Similitudes directes 2

Similitudes directes 2
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Similitudes directes 2
I)
Questions de cours
1. Formule complexe d’une similitude directe
L’ensemble des similitudes directes est l’ensemble des transformations dont la for/
mule s’écrit z 7→ z 0 = ...? (avec deux constantes a et b, a=0)
2. Eléments géométriques en fonction de a et b :
Le rapport de la similitude est k = ...? , son angle est θ = ...? , son centre (s’il
existe, c’est-à-dire si ...? ) a pour affixe ω = ...? .
3. Cas particuliers (homothétie, rotation, translation) d’après les valeurs de k et θ.
Une similitude directe est une rotation (6= identité) si et seulement si ...?
Une similitude directe est une translation si et seulement si ...?
Une similitude directe est une homothétie (6= identité) si et seulement si ...?
4. Composée de deux similtudes directes
La composée de deux similtudes directes est une ...? dont le rapport est ...? et
dont l’angle est ...? .
5. Détermination par deux points distincts et leurs images distinctes :
soient deux points distincts A, B et deux points distincts A0 , B 0 , alors il existe une
unique similitude directe qui transforme ...? en ...? et ...? en ...? .
6. Images des figures usuelles
l’image d’une droite par une similitude est ...? , l’image d’un cercle est ...? .
Comment tracer ces images connaissant les éléments de la similitude ?
II)
Exemples
π
et soit h l’homothétie de centre A d’affixe
2
i et de rapport −2. Démontrer que h ◦ r est une similitude directe. Déterminer ses
éléments. Est-ce une rotation, une translation, une homothétie ?
La composée de deux similitudes directes est une similitude directe dont le rapport
est le produit des rapports, donc ici 1 × | − 2| = 2 et dont l’angle est la somme des
π
3π
angles, donc ici + π =
.
2
2
1. Soit r la rotation de centre O et d’angle
Le rapport est différent de 1, donc la composée n’est ni une translation ni une
rotation. L’angle n’est pas un multiple de π, donc ce n’est pas une homothétie.
Pour trouver le centre, écrivons les formules complexes :
r : z 0 = iz ; h : z 0 = −2(z − i) + i ; donc h ◦ r : z 0 = −2(iz − i) + i = −2iz + 3i
b
3i
6 3
Le centre est le point invariant, d’affixe
=
= ··· = + i
1−a
1 + 2i
5 5
−−0−→0
−−→0
0
0
2. ABA est un triangle équilatéral direct, B tel que A B = 2AA . Déterminer l’ensemble
des similitudes directes qui transforment A en A0 et B en B 0 .
ABA0 étant un triangle, on a A 6= B et A0 6= B 0 (sinon les points A et A0 seraient
confondus).
D’après un théorème, il existe alors une unique similitude directe qui transforme A
−−→ −−−→ π
A0 B 0
= 2 et son angle est AB, A0 B 0 = .
en A0 et B en B 0 . Son rapport est
AB
3
A démontrer : son centre Ω est le transformé de A0 par la similitude directe de
−→ −−→
1
π
ΩA0
centre A, de rapport √ et d’angle
(calculer
et ΩA, ΩA0 )
2
ΩA
3
0
3. Soit la transformation qui à tout z associe z = −2iz + 1. Démontrer que l’image d’une
droite D est une droite D0 perpendiculaire à D.
La formule est de type z 0 = az + b avec a 6= 0, donc la transformation est une
π
similitude directe. Son angle est arg(−2i) = − , son rapport est | − 2i| = 2.
2
L’image d’une droite par une similitude directe est une droite D0 telle que l’angle
π
(D, D0 ) soit égal à l’angle de la similitude. Ici cet angle est − , donc D0 est per2
pendiculaire à D.
4. Est-ce que la transformation de formule z 7→ iz est une similitude directe ?
Attention : ce n’est pas parce que la forme de l’équation ne semble pas de la forme
voulue (z 0 = az + b) que la transformation n’est pas une similitude directe. Il se
pourrait qu’il existe une formule d’algèbre qui permette de se ramener à la formule
voulue.
La transformation est la composée d’une symétrie axiale (z 0 = z) et d’une rotation
(z 00 = iz 0 ), donc elle inverse les angles et ce n’est donc pas une similitude directe.