Similitudes directes 2

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Similitudes directes 2
I) Questions de cours
1. Formule complexe d’une similitude directe
L’ensemble des similitudes directes est l’ensemble des transformations dont la for-
mule s’écrit z7→ z0=...? (avec deux constantes aet b,a /=0)
2. Eléments géométriques en fonction de aet b:
Le rapport de la similitude est k=...? , son angle est θ=...? , son centre (s’il
existe, c’est-à-dire si ...? ) a pour affixe ω=...? .
3. Cas particuliers (homothétie, rotation, translation) d’après les valeurs de ket θ.
Une similitude directe est une rotation (6=identité) si et seulement si ...?
Une similitude directe est une translation si et seulement si ...?
Une similitude directe est une homothétie (6=identité) si et seulement si ...?
4. Composée de deux similtudes directes
La composée de deux similtudes directes est une ...? dont le rapport est ...? et
dont l’angle est ...? .
5. Détermination par deux points distincts et leurs images distinctes :
soient deux points distincts A, B et deux points distincts A0, B0, alors il existe une
unique similitude directe qui transforme ...? en ...? et ...? en ...? .
6. Images des figures usuelles
l’image d’une droite par une similitude est ...? , l’image d’un cercle est ...? .
Comment tracer ces images connaissant les éléments de la similitude ?
II) Exemples
1. Soit rla rotation de centre Oet d’angle π
2et soit hl’homothétie de centre Ad’affixe
iet de rapport −2. Démontrer que h◦rest une similitude directe. Déterminer ses
éléments. Est-ce une rotation, une translation, une homothétie ?
La composée de deux similitudes directes est une similitude directe dont le rapport
est le produit des rapports, donc ici 1×|−2|= 2 et dont l’angle est la somme des
angles, donc ici π
2+π=3π 2.
Le rapport est différent de 1, donc la composée n’est ni une translation ni une
rotation. L’angle n’est pas un multiple de π, donc ce n’est pas une homothétie.
Pour trouver le centre, écrivons les formules complexes :
r:z0=iz ;h:z0=−2(z−i) + i; donc h◦r:z0=−2(iz −i) + i=−2iz + 3i
Le centre est le point invariant, d’affixe b
1−a=3i 1+2i=··· =6 5+3 5i
2. ABA0est un triangle équilatéral direct, B0tel que −−−→ A0B0= 2−−→ AA0. Déterminer l’ensemble
des similitudes directes qui transforment Aen A0et Ben B0.
ABA0étant un triangle, on a A6=Bet A06=B0(sinon les points Aet A0seraient
confondus).
D’après un théorème, il existe alors une unique similitude directe qui transforme A
en A0et Ben B0. Son rapport est A0B0
AB = 2 et son angle est −−→
AB, −−−→ A0B0=π
3.
A démontrer : son centre Ωest le transformé de A0par la similitude directe de
centre A, de rapport 1
√3et d’angle π
2(calculer ΩA0 ΩAet −→
ΩA, −−→ ΩA0)
3. Soit la transformation qui à tout zassocie z0=−2iz +1. Démontrer que l’image d’une
droite Dest une droite D0perpendiculaire à D.
La formule est de type z0=az +bavec a6= 0, donc la transformation est une
similitude directe. Son angle est arg(−2i) = −π
2, son rapport est | − 2i|= 2.
L’image d’une droite par une similitude directe est une droite D0telle que l’angle
(D, D0)soit égal à l’angle de la similitude. Ici cet angle est −π
2, donc D0est per-
pendiculaire à D.
4. Est-ce que la transformation de formule z7→ iz est une similitude directe ?
Attention : ce n’est pas parce que la forme de l’équation ne semble pas de la forme
voulue (z0=az +b) que la transformation n’est pas une similitude directe. Il se
pourrait qu’il existe une formule d’algèbre qui permette de se ramener à la formule
voulue.
La transformation est la composée d’une symétrie axiale (z0=z) et d’une rotation
(z00 =iz0), donc elle inverse les angles et ce n’est donc pas une similitude directe.