Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

Chapitre 5
(≈4heures)
Analyse dimensionnelle
et similitude
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Plan du chapitre 5
Plan du chapitre 5
1. Introduction et définitions
2. Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équations
de continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4. Exemples d’application.

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Définitions:
. Maquette : modèle réduit.
. Prototype : modèle en grandeur réelle.
Exemple:
F-16 Échelle 1/72
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La maquette:
Est beaucoup moins coûteuse que le prototype. Elle se prête à
une étude plus facile et à des modifications moins onéreuses.
Essais sur une maquette: Permettent:
– de vérifier les calculs.
– de trouver des solutions que les théories actuelles sont
incapables de fournir.
Étude de l’écoulement autour
d’une maquette d’avion (Échelle 1/72)

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La technique des maquettes (modèles réduits) est
basée sur les règles de similitude, donc sur l’analyse
dimensionnelle.
Ces règles permettent:
. d’une part de concevoir et d’exploiter la maquette;
. mais aussi de transposer les résultats obtenus à la
réalité, c’est à dire à des prototypes à l’échelle réelle.
Les résultats des mesures expérimentales et les
conclusions établies sur ces maquettes ne sont
transportables de la maquette au prototype que si
certaines conditions sont satisfaites:
. Similitude géométrique.
. Similitude cinématique.
. Similitude dynamique.
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Similitude géométrique: (formes)
Le rapport de toutes les dimensions du prototype et
de la maquette doit être constant: La maquette doit
être à l’échelle exacte du prototype et les différentes
dimensions doivent être reliées par le même facteur
géométrique κ
G
.
Exemple:
II,mélangeur
I,mélangeur
II
I
D
D
R
R=

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Similitude cinématique: (mouvements,
trajectoires)
Lorsqu’on a ainsi caractérisé les parois solides, il
faut caractériser le mouvement relatif du fluide par
rapport à ces parois.
La similitude cinématique est satisfaite si une
modification dans le temps des vitesses sur le
prototype est accompagnée d’une modification
correspondante sur la maquette.
En se référant au schéma ci-après, il y a similitude
cinématique si un élément de fluide correspondant
en A et en A’ situés sur des lignes de courant
correspondants respectivement au prototype et à
la maquette mettent des temps correspondants
pour parvenir aux points correspondants C et C’.
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A
C
L
V
Prototype
A’
C’
L’
V’
Maquette
tVG
'
t
'
V
Vt
'
L
L
κκ=κ==
(Indices: V vitesse; t temps)

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La similitude cinématique traduit
seulement le fait que le facteur d’échelle
géométrique, κG, est égal au produit des
facteurs d’échelle de temps, κt, et de
vitesse, κV.
Exemple:
Soit un modèle réduit à l’échelle κG=
1/10 du prototype. Si on veut maintenir la
similitude cinématique avec un facteur
d’échelle de temps,
κt= 2, il faut que les vitesses dans la
maquette soient 20 fois inf
é
rieures
à
10
10
Similitude dynamique: (forces: inertie,
pesanteur, pression, viscosité, ...)
Pour avoir une similitude dynamique entre la
maquette et le prototype, il faut que le rapport des
forces appliquées à des éléments homologues (sur
la maquette et le prototype) doit être constant
quelles que soient les forces homologues
considérées.
cte
V
V
2
2
2
2
11
=
ρ
ρ
Exemple: Rapport des pressions dynamiques: