Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

Chapitre 5
(≈ 4heures)
Analyse dimensionnelle
et similitude
Plan du chapitre 5
1.
2.
Introduction et définitions
Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équations
de continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3.
Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4.
Exemples d’application.
2
Définitions:
. Maquette : modèle réduit.
. Prototype : modèle en grandeur réelle.
Exemple:
F-16 Échelle 1/72
3
La maquette:
Est beaucoup moins coûteuse que le prototype. Elle se prête à
une étude plus facile et à des modifications moins onéreuses.
Essais sur une maquette: Permettent:
– de vérifier les calculs.
– de trouver des solutions que les théories actuelles sont
incapables de fournir.
Étude de l’écoulement autour
d’une maquette d’avion (Échelle 1/72)
4
La technique des maquettes (modèles réduits) est
basée sur les règles de similitude, donc sur l’analyse
dimensionnelle.
Ces règles permettent:
. d’une part de concevoir et d’exploiter la maquette;
. mais aussi de transposer les résultats obtenus à la
réalité, c’est à dire à des prototypes à l’échelle réelle.
Les résultats des mesures expérimentales et les
conclusions établies sur ces maquettes ne sont
transportables de la maquette au prototype que si
certaines conditions sont satisfaites:
. Similitude géométrique.
. Similitude cinématique.
. Similitude dynamique.
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Similitude géométrique: (formes)
Le rapport de toutes les dimensions du prototype et
de la maquette doit être constant: La maquette doit
être à l’échelle exacte du prototype et les différentes
dimensions doivent être reliées par le même facteur
géométrique κG.
Exemple:
R I D mélangeur ,I
=
R II D mélangeur ,II
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Similitude cinématique: (mouvements,
trajectoires)
Lorsqu’on a ainsi caractérisé les parois solides, il
faut caractériser le mouvement relatif du fluide par
rapport à ces parois.
La similitude cinématique est satisfaite si une
modification dans le temps des vitesses sur le
prototype est accompagnée d’une modification
correspondante sur la maquette.
En se référant au schéma ci-après, il y a similitude
cinématique si un élément de fluide correspondant
en A et en A’ situés sur des lignes de courant
correspondants respectivement au prototype et à
la maquette mettent des temps correspondants
pour parvenir aux points correspondants C et C’.
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L Vt
=
= κ G = κ V κ t (Indices: V
L' V ' t '
vitesse; t
temps)
L
V
A
Prototype
V’
C
L’
A’
Maquette
C’
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La similitude cinématique traduit
seulement le fait que le facteur d’échelle
géométrique, κG, est égal au produit des
facteurs d’échelle de temps, κt, et de
vitesse, κV.
Exemple:
Soit un modèle réduit à l’échelle κG =
1/10 du prototype. Si on veut maintenir la
similitude cinématique avec un facteur
d’échelle de temps,
κt = 2, il faut que les vitesses dans la 9
maquette soient 20 fois inférieures à
Similitude dynamique: (forces: inertie,
pesanteur, pression, viscosité, ...)
Pour avoir une similitude dynamique entre la
maquette et le prototype, il faut que le rapport des
forces appliquées à des éléments homologues (sur
la maquette et le prototype) doit être constant
quelles que soient les forces homologues
considérées.
Exemple: Rapport des pressions dynamiques:
ρ1V12
= cte
ρ 2 V22
10
Similitude et analyse
dimensionnelle
Relation entre similitude et analyse dimensionnelle:
Prenons l’exemple du calcul d’une force
F= m.a (m: kg; a: m/s2)
Si à la suite d’un changement d’unité:
- l’unité de masse devient M fois plus petite;
- l’unité de longueur devient L fois plus petite;
- l’unité de temps devient t fois plus petite.
La mesure de la force F est alors multipliée par MLt-2.
Il revient donc au même d’utiliser un étalon k fois plus petit.
On peut donc avoir des renseignements sur la similitude en faisant
un calcul dimensionnel.
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2
Analyse dimensionnelle des
équations de bilan
(BSL: pages 97- 103)
12
1. Variables adimensionnelles (réduites):
Soient:
– L une dimension caractéristique de
l’écoulement (largeur d’un obstacle, diamètre
d’une canalisation …).
– V une vitesse caractéristique (vitesse
moyenne de l’écoulement, vitesse d’une
paroi mobile …).
- p0 une pression de référence.
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Pour mettre les équations de bilan sous forme
adimensionnelle et étudier les propriétés de similitude
des écoulements, on défini les variables adimensionnnelles
(réduites) suivantes:
t
Vt
t* =
=
x
*
(L V ) L
x =
L
V
y
*
V =
y* =
V
L
z
p
z* =
p* =
L
2
ρV
14
2.
Opérateurs adimensionnalisés:
Opérateur Nabla:
∂
∂
∂
*
∇ = δ1 * + δ 2 * + δ 3 *
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
*
∇ = δ1
+ δ2
+ δ3
∂ ( x L)
∂ ( z L)
∂ ( z L)
*
∇ = L∇
15
Opérateur de Laplace:
*2
∇ =
∂2
∂x
*2
+
∂2
∂y
*2
=
∂2
2
∂z*
∂2
∂2
∂2
∇ =
+
=
2
2
∂ ( x L) ∂ ( y L)
∂ ( z L) 2
*2
*2
∇ = L2 ∇
2
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Dérivée particulaire:
D ∂
= + V ⋅∇
Dt ∂t
D
Dt
*
=
D
∂
∂
V
*
*
=
+
V
⋅
∇
=
+
⋅ L∇
Dt * ∂t *
∂ (t (L V ) ) V
D
Dt
*
=
L D
∂
+ V ⋅∇ =
∂t
V Dt
L
V
(Équation 3.7-7 BSL)
17
3.
Forme adimensionnalisée de
l’équation de continuité:
∇⋅V = 0
(
)
1 *
*
∇ ⋅ VV = 0
L
*
*
∇ ⋅V = 0
(Équation 3.7-8 BSL)
Ainsi les similitudes géométriques et cinématiques
garantissent automatiquement l’invariance de
l’équation de continuité.
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4. Forme adimensionnelle de l’équation de
mouvement: (Navier-Stokes)
ρ
V
ρ
L
D
Dt
*
DV
= −∇p + µ∇ 2 V + ρg
Dt
(VV ) = −
*
÷ (ρV 2 L )
g
1 *
1
*
∇ (ρV 2 p* ) + µ 2 ∇* V V + ρg
L
L
g
2
des deux côtés:
µ
D *
gL g
* *
*
*
V
=
−
∇
p
+
∇
V
+
ρVL
Dt *
V2 g
2
(Équation 3.7-9 BSL)
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On défini les nombres adimensionnels suivants:
Nombre de Froude
(Forces d’inertie/Forces de gravité)
Fr =
V2
gL
Nombre de Reynolds
(Force d’inertie/Forces visqueuses)
Re =
ρVL
µ
D *
1 * * 1 g
* *
V
=
−
∇
p
+
∇ V +
Dt *
Re
Fr g
2
Après intégration on obtient:
V * = V * (t * , x * , y* , z * , Re, Fr )
p* = p* (t * , x * , y* , z* , Re, Fr )
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5. Conclusion:
L’équation adimensionnelle de Navier-Stokes fait
intervenir des coefficients adimensionnels qui
caractérisent à eux seuls tout ce qu’il faut connaître
de l’écoulement: Le nombre de Reynolds (Re), le
nombre de Froude (Fr) et le nombre d’Euler (Eu).
Si pour deux systèmes 1 et 2 de géométries similaires
on a:
Re
1
= Re
2
, Fr 1 = Fr 2 et
Eu
1
= Eu
2
ces deux systèmes auront la même solution
analytique.
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Exemple 1: Écoulement autour d’un
cylindre (BSL 3.7-1)
Étude expérimentale de l’écoulement d’un fluide
newtonien autour d’un cylindre. On aimerait étudier la
variation de la pression en fonction:
. de la vitesse du fluide;
. de sa densité et sa viscosité;
. du diamètre du cylindre et de sa longueur.
D
v∞
y
x
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Exemple 2: Mise à l’échelle d’un
mélangeur (BSL 3.7-2)
On désire prédire la profondeur du vortex dans une cuve
agitée en fonction de la vitesse d’agitation. L’étude doit se
faire sur une maquette à l’échelle réduite. Déterminer les
conditions appropriées pour ce travail expérimental.
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