Série C – SESSION 2006

MATHEMATIQUES - Série C - SESSION 2006
Exercice 1 (4 points)
I - Dans un système de numération de base n, on considère les nombres
133032cet312b,211a
1 -a) Sachant que c = ab, montrer que n divise 8.
b) En déduire la valeur de n
c) Ecrire a et b dans le système décimal.
2.- Résoudre dans ZxZ, l'équation 37x + 54y = 3.
II- Une urne contient 4 jetons portant respectivement les numéros 0, 1, 2, 3.
On tire un à un sans remise des jetons jusqu'à ce que l'urne soit vide.
1 - Combien y a-t-il de résultats possibles?
2 -Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
E : " Le numéro du 3e jeton tiré est égal à 3."
F : " Le numéro du 3e jeton tiré est compris entre les numéros des deux premiers"
G : " Le produit des numéros des deux derniers jetons est non nul."
Problème 1 (7 points)
Dans le plan orienté (P), on considère le triangle ABC, rectangle en A et tel que
BC = 2AB = 4cm et
2
)AC,AB(mes 
.
On note : rA la rotation de centre A et d'angle de mesure
2
rB la rotation de centre B et d'angle de mesure
3
.
Partie A : Méthode géométrique
1- a) Déterminer une mesure de l'angle
)BC,BA(
b) En décomposant rA et rB en deux symétries orthogonales convenablement choisies,
déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f = rA o rB..
2 - Soit S la similitude directe de centre B qui transforme A en C.
a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude S.
b) Faire la construction géométrique du point C1 image du point C par la similitude S.
c) On note C2 l'image du point C1 par la similitude S ; montrer que les points A, B et C2 sont
alignés.
Partie B : Utilisation des nombres complexes
Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct
)v,u;A(
avec
32
AC
v,
2
AB
u
.
1- Donner les affixes des points A, B et C.
2- a) Donner les expressions complexes des rotations rA et rB..En déduire celle de f = rA o rB
b) Donner les éléments caractéristiques de f.
3 - Donner l'expression complexe de la similitude S définie dans la PARTIE A et en déduire
ses éléments caractéristiques.
4 - Soit g la transformation définie par sa forme complexe
3i24z)3i1('z 
a) Déterminer les affixes de B' et C' images respectives de B et C par la transformation g.
b) Vérifier que les points B, C et C' sont alignés.
c) En déduire les éléments caractéristiques de g.
Problème 2 ( 9 points)
Soit
f
la fonction numérique définie sur
;0
par :
x1
ex)x(fet0)0(f 
pour x > 0
où est un nombre réel non nul.

On désigne par
)C( 
la courbe représentative de
f
dans un repère orthonormé direct
)j,i;O( 
d'unité 2 cm.
Partie A
1- Etudier suivant le signe de le sens de variation de
f
.
2 - On prend = 1.
a) Donner le tableau e variation de f1.
b) Construire la courbe ( C1).
c) Calculer à l'aide d'une intégration par parties :
1
01dx)x(f4I
et interpréter géométriquement
ce résultat.
3 - On considère l'équation différentielle ( E ) :
x1
e)1x(4y'y2"y 
.
a) Vérifier que f1 est une solution de (E ).
b) Résoudre l'équation (E') : y"-2y'+y = 0 et en déduire les solutions générale de (E ).
Partie B :
Pour tout entier
1n 
, on pose
1
0
x1n
ndxexI
.
1 - a) En utilisant un encadrement de
x1
e
sur l'intervalle
1;0
, montrer que pour tout
1n 
,
on a :
1ne
I
1n1n
.
b) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout
1n 
, on a :
1I)1n(I n1n 
.
2 - On pose
nn Ie!nJ 
.
a) Calculer J1.
b) Exprimer Jn+1 à l'aide de Jn.
En déduire par récurrence que pour tout
1n 
, Jn est un entier naturel.
c) Montrer que pour tout
2n 
, le nombre
nn IJe!n 
n'est pas un entier naturel.
d) Soient p et q deux entiers naturels non nuls.
Montrer que pour
qn
, le nombre
q
p
!n
est un entier naturel.
Déduire des questions précédentes que e n'est pas un nombre rationnel.