Indicatrice Euler

1
L’indicatrice d’Euler
L’indicatrice d’EULER ......................................................................................... 2
Propriétés de l’indicatrice d’EULER .................................................................... 3
Le théorème d’EULER .......................................................................................... 4

2
L’indicatrice d’EULER
N est l’ensemble des entiers naturels
{
}
.;.....2;1;0N:
=
∗
N
est l’ensemble des
entiers naturels non nuls { } .;.....2;1N: =
∗
Notation
Si
∗
∈
N
d
est le plus grand diviseur commun de
∗
∈
N
a
et
∗
∈
N
n
on écrit :
.
d
n
a
=
∧
Définition
1) Lorsque
1
n
a
=
∧
on dit que a est premier avec n (1 est le seul diviseur
commun à a et n).
2) Si 1netNn >
∗
∈non nul on note
)
n
(
ϕ
le nombre des entiers naturels (non
nuls) inférieurs ou égaux à n qui sont premier avec n.
On pose
.
1
)
1
(
=
ϕ
Si n est un entier positif (non nul) on note
)
n
(
ϕ
le nombre d’entiers positifs (non
nuls) inférieurs ou égaux à n qui sont premier avec n.
Exemples
,.....
4
)
5
(
,
2
)
4
(
,
2
)
3
(
,
1
)
2
(
,
1
)
1
(
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
Exercice
Donner
)
9
(
),
8
(
),
7
(
),
6
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
.
Réponse
6
)
9
(
,
4
)
8
(
,
6
)
7
(
,
2
)
6
(
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
{ }
1)1(et
.1nketnk1/kdeélémentsdesnombre)n(:alors1netNnSi =ϕ =∧<≤=ϕ≠
∗
∈
Remarque 1n1carNnpour1)n( =∧
∗
∈≥ϕ
L’application
)
n
(
n
:
ϕ
→
ϕ
a pour ensemble de départ
∗
N et pour ensemble
d’arrivée
∗
N .
∗
→
∗
ϕNN:
Question
Quelle est la valeur de
)
p
(
ϕ
si p est un nombre premier ?
Réponse

3
Propriétés de l’indicatrice d’EULER
1. Si p est un nombre premier alors 1s p
s
p)
s
p(
−
−=ϕ pour tout entier
0
s
>
.
En particulier
.
premier
est
p
si
1
p
)
p
(
−
=
ϕ
2. Si
2
n
>
>>
>
alors
)
n
(
ϕ
est un nombre pair. En effet si k est premier avec n
alors
k
n
−
−−
−
est aussi premier avec n et
k
n
k
−
−−
−
≠
≠≠
≠
(sinon
n
k
2
=
==
=
). On compte
donc un nombre pair d’entiers premiers à n inférieurs à n.
3. =
==
=pairestnsi)n(2
impairestnsi)n(
)n2( ϕ
ϕ
ϕ
4. Si
)
n
(
)
m
(
)
n
m
(
alors
1
n
m
ϕ
ϕ
ϕ
×
××
×
=
==
=
×
××
×
=
==
=
∧
∧∧
∧
5. Pour tout entier n :
∑
∑∑
∑
=
==
=ndivised )d(n ϕ

4
Le théorème d’EULER
Notation
Soit b un entier naturel non nul (correspondant au diviseur).
Soit r un entier tel que
b
r
0
<
≤
; l’ensemble de ces entiers correspond aux
restes possibles de la division par b.
L’écriture
)
b
(
MOD
X
désigne le reste de la division de X par b.
Théorème d’Euler
1
n
a
Si
=
==
=
∧
∧∧
∧
1)n(MOD
)n(
a:alors =
ϕ