Méthode d`EULER 1 Résolution numérique d`une

Python 23 Méthode d’Euler
Méthode d’EULER
1
Résolution numérique d’une équation différentielle
Le but de ce cours est d’étudier une méthode permettant d’obtenir une approximation de la solution au problème de Cauchy pour des équations différentielles d’ordre 1.
On cherche à résoudre le problème de Cauchy suivant :
( 0
y = f (x, y)
.
y(x0 ) = y0
On va alors construire une courbe formée de segments qui vont démarrer du point de coordonnées (x0 , y0 ) et
dont le second point est obtenue en assimilant la courbe solution avec sa tangente au point (x0 , y0 ), ce qui est
possible puisque l’on connaît la pente de la tangente :
y 0 (x0 ) = f (x0 , y0 ).
On obtient alors l’équation de la tangente en M (x0 , y0 ) :
y = f (x0 , y0 )(x − x0 ) + y0 .
On trouve alors, puisque x1 − x0 = p :
y1 = f (x0 , y0 ) × p + y0 .
On recommence alors avec le point (x1 , y1 ) obtenu sur la tangente avec x1 = x0 + p, où p est le pas choisi.
C’est une méthode itérative. La valeur yi+1 est déterminée en ajoutant Dyi à la valeur yi :
yi+1 = yi + Dyi = yi + pf (xi , yi )
On remarquera que les valeurs estimées obtenus seront d’autant plus proches des valeurs exactes que le pas p
est plus petit.
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- Jacques Delfaud -
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La courbe en trait plein correspond à la solution analytique.
2
Exemple mathématique
Considérons l’équation différentielle suivante :
y 0 = −2xy avec y(0) = 1.
La solution analytique est :
2
y(x) = e−x .
i
0
1
2
3
4
5
xi
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
2
yi = e−xi
1
0,9900
0,9608
0,9139
0,8521
0,7788
Méthode d’EULER, à compléter ligne par ligne :
i
0
1
2
3
4
5
xi
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
yi
1
1
0,92
0,77
Dy = −2xi yi Dx
0
-0,08
-0,15
Yi+1 = yi + Dy
1
0,92
0,77
L’exemple ci-dessus montre que la méthode d’EULER pourrait être mise en œuvre « à la main ».
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La courbe en trait gras correspond à la solution exacte, les points correspondent aux valeurs obtenues par la
méthode d’EULER. Le principe de la méthode d’EULER est rappelé par les segments.
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