equations differentielles lineaires (2)

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES (2)
1. Lorsqu’on ´etire un ressort, la force de rappel est proportionnelle `a l’allongement du res-
sort. Nous allons d´ecrire le mouvement d’une masse mfix´ee `a l’extr´emit´e d’un ressort qu’on ´etire
d’une longueur y0et qu’on lˆache. On suppose qu’il n’y a aucun effet amortissant. On rappelle
que l’on a le th´eor`eme fondamental de la dynamique F=mγ, liant l’acc´el´eration γet la somme
des forces Fappliqu´ees `a la masse m.
a) Les forces en pr´esence sont : le poids (mg) et la force de rappel du ressort −ky. On suppose que
la position de l’extr´emit´e du ressort est yrelativement `a la position d’´equilibre du ressort avec
la masse en son extr´emit´e. Etablir que l’on a l’´equation diff´erentielle my′′ =−ky, et la r´esoudre
pour obtenir la position y(t) de la masse `a l’instant t. Quel type de mouvement obtient-on ?
b) On suppose maintenant que la masse est plong´ee dans un liquide (amortisseur) et que la force
de friction est proportionnelle `a la vitesse et vaut −cy′. Ecrire l’´equation r´egissant le mouve-
ment de la masse, puis r´esoudre en distinguant 3 cas suivant la valeur de c2−4km. Quel type
de mouvement obtient-on dans chacun des cas ?
2. R´egulateur de Foucault.
Un point Pde masse mest accroch´e `a un fil sans masse enroul´e autour d’un cylindre homog`ene
de rayon R, de masse Met d’axe horizontal fixe. La chute du point Pentraˆıne la rotation du
cylindre. Ce cylindre, muni d’ailettes est soumis `a la r´esistance de l’air que l’on repr´esentera
par un couple de frottement −f θ′, o`u ω=θ′repr´esente la vitesse de rotation du cylindre. Le
syst`eme ´etant abandonn´e sans vitesse initiale, on veut d´eterminer la fonction ω. On note zla
longueur parcourue par le point P.
La mise en ´equation fait apparaˆıtre les relations suivantes :
– en appliquant le th´eor`eme du moment cin´etique
Jθ′′ =−fθ′+RT ,
o`u J=MR2/2 est le moment d’inertie du cylindre et Test une force.
– en appliquant le principe fondamental de la dynamique pour le point P
mz′′ =mg −T .
a) Quelle est la longueur ∆zparcourue par Mlorsque le cylindre tourne d’un angle ∆θ? En
d´eduire une relation entre z′′ et θ′′.
b) Trouver une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par ω.
c) R´esoudre cette ´equation. Que peut-on en conclure pour le mouvement de la poulie lorsque t
devient grand ?
3. On cherche `a mod´eliser l’´evolution dans le temps de la quantit´e d’une substance (par
exemple la p´eniciline) contenue dans le sang lors d’une injection en continu. La substance est
inject´ee `a raison de Igrammes par minute. Par ailleurs la substance est ´elimin´ee du sang `a une
vitesse proportionnelle `a la quantit´e de substance pr´esente au temps t.

a) Justifier que la quantit´e de substance ypr´esente dans le sang au temps tsatisfait l’´equation
diff´erentielle
y′=−ky +I ,
pour une certaine constante k > 0.
b) Chercher une expression de yen fonction de t, sachant qu’au temps t= 0 (d´ebut de l’injec-
tion), on a y= 0. Calculer la limite de yquand ttend vers l’infini. Interpr´etation.
4. Un circuit se compose d’un condensateur de capacit´e Cet d’un r´esistance Ren s´erie,
aliment´es par une force ´electromotrice V.
a) Si Qest la charge emmagasin´ee par le condensateur, Q(t) v´erifie :
(1) RdQ
dt +Q C=V .
Calculer Q(t) sachant que la charge initiale du condensateur est nulle et Vconstante.
b) Pour le mˆeme circuit, on s’int´eresse au courant I. Il v´erifie :
(2) RdI
dt +I C=dV dt .
Calculer I(t) sachant qu’`a l’instant 0 le courant est I0et que V(t) = V0sin ωt.
c) On ajoute au circuit une inductance propre L, et on l’alimente par une source de tension
sinuso¨ıdale e=Emcos ωt. Le courant Iv´erifie l’´equation
(3) LdI
dt +RI +1 CZI dt =e ,
(o`u RI dt d´esigne une primitive de I).
Trouver une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par I. Chercher une solution particuli`ere (qui corres-
pond au r´egime forc´e) de la forme
I=Imcos(ωt −ϕ),
en d´eterminant Im(de mˆeme signe que Em) et tan ϕ.
Si l’on suppose R2−4L/C < 0, trouver les solutions de l’´equation homog`ene associ´ee (r´egime
transitoire), et en d´eduire les solutions de l’´equation (3) telles qu’en t= 0, on ait I(0) = I′(0) = 0.
Que se passe-t-il quand tdevient grand ?
5. Mod`ele dynamo du champ magn´etique terrestre.
Une barre OA de masse met de longueur aest susceptible de tourner sans frottement autour de
l’axe vertical Oz avec un moment d’inertie J. On note ωsa vitesse angulaire de rotation. Cette
barre est soumise `a un couple Γuz, o`u uzrepr´esente la verticale ascendante.
La barre OA est en contact ´el´ectrique avec une piste circulaire (C) de centre Oet de rayon a
formant un circuit ´el´ectrique ferm´e sur une r´esistance Ret une inductance pure Lpar des fils
souples. Le circuit est plong´e dans un champ magn´etique uniforme et constant Buz. On note I
l’intensit´e du courant dans le circuit. On suppose que l’on a l’in´egalit´e : R2J < LB2a4.
La mise en ´equation fait apparaˆıtre les relations suivantes :
– en appliquant le th´eor`eme du moment cin´etique
Jω′= Γ −Ba2
2I ,
2

– en appliquant la loi des mailles dans le circuit ´electrique
RI +LI′=Ba2
2ω .
a) Trouver une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par I, et la r´esoudre, lorsque au temps t= 0, on
aI(0) = I′(0) = 0.
b) Ecrire une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par ω. Sans r´esoudre cette ´equation donner la forme
g´en´eral de la solution en sachant que ω(0) = 0.
6. M´ethode de variation des constantes.
Lorsque le second membre d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre `a coefficients
constants n’est pas simple, on peut utiliser une m´ethode de variation des constantes que l’on
d´eveloppe sur l’exemple suivant.
Soit l’´equation diff´erentielle
(E)y′′ −y=e2x
ex+ 1 .
a) Donner les solutions de l’´equation homog`ene sous la forme
y=K1y1+K2y2,
o`u K1et K2, sont des constantes.
b) On cherche une solution de l’´equation (E) sous la forme
y=K1y1+K2y2,
o`u K1et K2, sont cette fois des fonctions.
– Calculer y′.
– On impose la relation (1) K′
1y1+K′
2y2= 0. Calculer y′′.
– En rempla¸cant dans l’´equation diff´erentielle montrer que l’on obtient une nouvelle relation (2)
reliant K′
1et K′
2.
– R´esoudre le syst`eme form´e des deux ´equations (1) et (2) pour en d´eduire K′
1et K′
2.
– Calculer K1et K2.
– En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (E).
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Corrig´e
1. a) Remarquons tout d’abord que lorsque la masse mest en ´equilibre, le ressort s’est al-
long´e d’une longueur ℓ, et la force de rappel du ressort −kℓ compense le poids mg, donc mg =kℓ.
Lorsque l’on ´etire le ressort d’une longueur y0, et qu’on le lˆache (avec une vitesse initiale nulle),
les forces qui s’appliquent `a la masse mau temps tsont
– la force de rappel −k(ℓ+y) provenant de l’allongement ℓ+y
– le poids mg.
Le th´eor`eme fondamental de la dynamique s’´ecrit donc
mγ =mg −k(ℓ+y).
Mais γest l’acc´el´eration y′′ , et mg −kℓ = 0, on a donc bien l’´equation
my′′ +ky = 0 .
Cette ´equation lin´eaire homog`ene du second ordre `a coefficients constants admet comme po-
lynˆome caract´eristique mX2+k, dont les racines sont ±ip−k/m. Notons ω=p−k/m. Les
solutions sont donc
y=Acos ωt +Bsin ωt .
On ´ecrit que, pour t= 0, l’allongement vaut y0, donc
y0=y(0) = A .
Par ailleurs, on a
y′=−ωA sin ωt +ωB cos ωt ,
et on ´ecrit que la vitesse y′(0) est nulle, soit
y′(0) = 0 = ωB .
Donc B= 0 et A=y0, ce qui donne
y=y0cos ωt .
b) Le calcul est le mˆeme que dans a), mais la force de friction −cy′s’ajoute au bilan des forces
s’exer¸cant sur m. L’´equation devient donc
my′′ +cy′+ky = 0 .
Cette ´equation lin´eaire homog`ene du second ordre `a coefficients constants admet comme po-
lynˆome caract´eristique mX2+cX +k, dont les racines d´ependent du discriminant ∆ = c2−4km.
Il y a donc trois cas possibles.
∆>0 . Les racines sont r´eelles. Leur produit k/m est positif, et leur somme −c/m est n´egative.
Elles sont donc toutes deux n´egatives. Si on les note αet β, les solutions sont
y=Aeαt +Beβt .
On a donc
y′=Aαeαt +Bβeβt .
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