Chapitre 6 – Trigonométrie Table des matières

Chapitre 6 – Trigonométrie TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 6 – Trigonométrie
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-2
3 ................................................ I-2
4 ................................................ I-2
5 ................................................ I-3
6 ................................................ I-3
7 ................................................ I-3
8 ................................................ I-3
9 ................................................ I-3
10 ................................................ I-3
11 ................................................ I-4
12 ................................................ I-4
13 ................................................ I-4
14 ................................................ I-4
15 ................................................ I-4
16 ................................................ I-4
II Cours II-1
1 Rappelsdecollège .....................................II-1
1a Définitions......................................II-1
1b Exemple de calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1c Exemple de calcul d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1d Compléments ....................................II-2
2 Rappelsdeseconde.....................................II-2
2a « Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique . . . . . II-2
2b Cosinus et sinus d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
2c Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
3 Mesure d’un angle en radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
4 Radianetdegré.......................................II-4
5 Les mesures d’un angle orienté et sa mesure principale . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
6 Cosinus et sinus d’angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-5
7 Équations cos x= cos aet sin x= sin a...........................II-5
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Chapitre 6 – Trigonométrie I EXERCICES – page I-1
I Exercices
Cercle trigonométrique et mesure en radians
1
Le fichier GeoGebra nommé
2de-Trigo_1-_Enroulement_de_la_droite_numerique.ggb 1sera montré en classe, pour visualiser
l’idée d’ « enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique.
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on appelle cercle
trigonométrique le cercle de centre O de rayon 1. Sur ce cercle, le
sens d’orientation positif est le sens contraire des aiguilles d’une
montre. Le point A a pour coordonnées A (1 ; 1), et on imagine
que la droite (IA) « s’enroule » sur le cercle trigonométrique.
1. Le nombre πsur la droite graduée (IA) est associé de cette
manière au point B sur le cercle trigonométrique. Placer le
point B sur la figure.
2. À quel point est associé
(a) le nombre π
2? (b) le nombre 0 ?
3. Placer les points C, D associés respectivement à π
4,−π 2.
4. Tracer sur la figure l’angle ’ IOC. On dit que le nombre
π
4est la mesure en radians de l’angle ’
IOC, et, pour
l’écriture de l’angle, on parlera plutôt de l’angle orienté
de vecteurs −→
OI, −→ OC.
5. Quelle est la mesure en degrés de l’angle orienté de vecteurs
−→
OI, −→ OC?
6. Compléter le tableau ci-dessous.
7. Quel est le point E sur le cercle trigonométrique tel que la
mesure en radian de l’angle −→
OI, −−→ OEsoit égale à π
2+2π?
8. Donner deux autres mesures en radians de l’angle
−→
OI, −−→ OE, une positive, une négative.
9. Parmi les mesures en radians d’un angle orienté de
vecteurs, la seule qui appartient à l’intervalle ] −π;π]
est appelée sa mesure principale.
Quelle est la mesure principale en radians de l’angle
−→
OI, −−→ OE?
OI
J
| | | |
A
−π
−π
2
π
2
π
+
Angle orienté de vecteurs −→
OI, −→ OC−→ OI, −−→ OB−→ OI, −→ OJ−→ OI, −→ OI−→ OI, −−→ OD
Mesure en radians π
4
Mesure en degrés
1. Fichier téléchargeable sur le site du lycée, adresse ci-dessous à droite.
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Chapitre 6 – Trigonométrie I EXERCICES – page I-2
2
Tracer un repère orthonormé (O, I, J) d’unité 4 cm (ou 4 carreaux) et son cercle trigonométrique.
Placer les points correspondant aux nombres suivants.
(1) 3π
4(2) π 3(3) π 6(4) −π 6(5) 5π 4
3
Tracer un repère orthonormé (O, I, J) d’unité 4 cm (ou 4 carreaux) et son cercle trigonométrique.
1. Placer les points correspondant aux nombres suivants.
(a) 17π
4(b) −13π 2(c) 26π 3(d) −11π(e) 43π 6
2. Chacun des nombres précédents est une mesure d’angle en radians.
Écrire chacun d’eux sous la forme : mesure principale + 2kπ où kest un entier relatif.
Exemple pour (a) : 17π
4=π 4+16π 4=π 4+ 4π
4
Chacun des nombres des exercices 2 et 3. est une mesure d’angle en radians.
Convertir ces dix mesures en degrés.
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Chapitre 6 – Trigonométrie I EXERCICES – page I-3
5
Sur un cercle trigonométrique Cde centre O, les points A, B, C, D sont associés respectivement aux
nombres réels 0, π
4,5π 6,−π 2.
1. Tracer le cercle Cet placer les points A, B, C, D.
2. Donner une mesure en radians des angles orientés ci-dessous.
(a) −→
OA, −→ OC(b) −−→
OD, −→ OA(c) −−→
OB, −−→ OD(d) −−→
OB, −→ OC
6
Construire la figure décrite ci-dessous.
ABCD est un rectangle ; AB = 5 cm ; BC = 3 cm ; ABE et BCF sont des triangles équilatéraux.
−→
AB, −−→ AD=−π
2;−→
AB, −→ AE= +π
3;−−→
BC, −−→ BF =−π
3.
7
Le triangle ABC est équilatéral, tel que −→
AB, −→ AC=π
3, et le point
I est le milieu de [AB].
Sans justifier, donner une mesure en radian de chacun des angles
de vecteurs suivants.
(1) −−→
CB, −→ CA(2) −→
CA, −→ CI
(3) −→
AB, −−→ BC(4) −→
AC, −→ IC
A B
C
I
8
A, B, C, D sont quatre points tels que : −→
AB, −→ AC=π
6−−→
AD, −→ AC=−π
3.
1. Tracer une figure.
2. Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier par un calcul d’angle.
Cosinus et sinus
9
ABC est un triangle rectangle isocèle tel que :
AB = a et −→
BA, −−→ BC=−π
2
1. Sans justifier, donner une mesure en radians de l’angle −→
AB, −→ AC
2. Démontrer que AC =a√2
3. Démontrer que cos Åπ
4ã= sin Åπ 4ã=√2 2A B
C
10
Le triangle ABC est équilatéral, tel que −→
AB, −→ AC=π
3, et le point I est le milieu de [AB] (figure de
l’exercice 7) et on appelle ala distance AB.
1. Démontrer que CI =a√3
2
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Chapitre 6 – Trigonométrie I EXERCICES – page I-4
2. En utilisant les angles −→
AI, −→ ACet −→
CA, −→ CI, démontrer que cos Åπ
3ã= sin Åπ 6ã=1 2et que
cos Åπ
6ã= sin Åπ 3ã=√3 2
11
Avant de faire cet exercice, lire le paragraphe 2b du cours qui donne la définition du cosinus et du
sinus d’un nombre réel, et qui fait le lien avec les définitions de collège.
Le point A sur le cercle trigonométrique correspond au nombre π
6.
Compléter le tableau ci-dessous par des valeurs exactes.
Point A B C D
xπ
6
cos(x)
sin(x)
C
Aπ
6
D
B
12
Compléter le tableau ci-dessous par des valeurs exactes.
x−π
3
3π
4
7π
6
2π
3
cos(x)
sin(x)
13
Calculer cos Åπ
7ã+ cos Å6π 7ã
14
1. Résoudre l’équation cos(x) = 0,5 dans IR.
2. Résoudre l’équation sin(x) = √2
2dans IR.
3. Résoudre l’équation cos(x) = cos Åπ
10ãdans IR.
4. Résoudre l’équation sin(x) = sin Åπ
10ãdans IR.
15
Résoudre dans IR les équations :
(1) cos(x) = −1
2(1) sin(x) = −
√2
2(3) cos(x) = 1 (4) sin(x) = 0
16
1. Résoudre dans IR l’équation cos(2x) = √2
2
2. Déterminer les solutions qui appartiennent à l’intervalle ] −π;π].
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