Chapitre 5 : Trigonométrie.

Chapitre 5 : Trigonométrie.
I-
̂
mes𝐼𝑂𝑀
Longueur
de l’arc IM
0°
30°
45°
60°
90°
Cercle trigonométrique.
A)
Placer E tel que l’arc AE =
Longueur d’un arc
Placer F tel que AF =
B)
̂
mes 𝐼𝑂𝑀
Longueur de
l’arc IM
360°
90°
180°
Β°

;
3

6
Cercle trigonométrique.
Si on enroule la droite (I ; j ) sur le cercle, le point d’abscisse x vient
s’appliquer sur un unique point M(x) du cercle.
l
A chaque réel x correspond un unique point du cercle.
̂ = 270°
Placer B tel que mes 𝐼𝑂𝐵
Placer D tel que l’arc I D =
5
4
Placer C tel que l’arc I C =

4
x
M(x)

2

3
2

4
2
4
3
4
C ) Mesure d’angle en radian.
x
0
2π
3π
5π
7π
π + 52×(2 π)
M(x)
x

+ 27×2 π
4
-

2
-π
-
3
4

7
4

15
2
M(x)
Définition : Le cercle C ainsi gradué est un cercle trigonométrique.

est l’abscisse curviligne de J. …
2
Remarque : Si x est une abscisse curviligne de M alors tout réel de la
forme x + … avec k ∈ ℤ est une abscisse curviligne de M.
Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique et x son abscisse
curviligne.
⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mesure en radian de l’angle orienté (𝑂𝐼
𝑂𝑀) : mes(𝑂𝐼
𝑂𝑀) = x
Propriété : Les mesures en degrés et en radians, d’un angle géométrique,
sont proportionnelles.
II -
Angle orienté de deux vecteurs non nuls
A ) Définition.
Soit C un cercle trigonométrique d’origine I.
Définition : Soit les points M et N d’abscisses curvilignes xm et xn.
(OM ; ON ) est un angle orienté de vecteurs.
Définition : Soit 𝑢
⃗ et 𝑣 deux vecteurs non nuls.
L’angle orienté des vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 est celui des vecteurs unitaires
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑂𝑀
𝑂𝑁) où M et N sont des points du cercle trigonométrique tel que
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ‖𝑢⃗‖ ∗ 𝑢
⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑁 = ‖𝑣⃗‖ ∗ 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
i.e. (𝑢
⃗ ;𝑣) =(𝑂𝑀
mes (OM ; ON ) = xn – xm.
Exercice : Donner les mesures d’angles en radians.
Remarque : si α est une mesure de ( u ; v ), alors
mes (OI ; OE ) =
mes (OE ; OJ ) =
mes (OH ; OJ ) =
α + k2π (k ∈ ℤ) est aussi une mesure de ( u ; v )
On écrira ( u ; v ) = α + k2π (k ∈ ℤ) ou bien ( u ; v ) = α (2π) "modulo"
Définition : On appelle mesure principale d’un angle orienté de vecteurs
non nuls, la mesure en radians de cet angle qui appartient à ] – π ; π ]
mes (OJ ; OE ) =
Exemple : ( u ; v ) =
7𝜋
2
La mesure principale de ( u ; v ) est
Car ( u ; v ) = ………..=
Remarque : (OM ; ON ) désignera soit l’angle soit sa mesure.
B)
Propriétés des angles orientés.
Exemple 2 : ABC est une triangle équilatéral.
Angle nul : (𝑢
⃗ ;𝑢
⃗ ) = 0 (2π)
Compléter par les mesures :
Angle plat : (𝑢
⃗ ;−𝑢
⃗ ) = (−𝑢
⃗ ;𝑢
⃗)=π
(2π)
⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
(𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
(𝐵𝐴
Propriétés : k est un réel positif; 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ sont trois vecteurs non nuls.

(𝑢
⃗ ;𝑤
⃗⃗ ) = (𝑢
⃗ ;𝑣) + (𝑢
⃗ ;𝑤
⃗⃗ )

(𝑢
⃗ ; k 𝑣) = (𝑢
⃗ ;⃗⃗⃗𝑣) = (k𝑢
⃗ ;⃗⃗𝑣)
Conséquences :
 (𝑣 ;𝑢
⃗ ) = - (𝑢
⃗ ; 𝑣)

(2π)
(relation de Chasles)
(2π)
(2π)
(-𝑢
⃗ ; 𝑣) = (𝑢
⃗ ; -𝑣 ) = (𝑢
⃗ ; 𝑣) + π
(2π)
Démonstration : (à compléter)
(𝑣 ;𝑢
⃗ ) + (𝑢
⃗ ; 𝑣) = …… = …..
( 2π) d’où
(-𝑢
⃗ ; 𝑣) = (−𝑢
⃗ ;𝑢
⃗ ) + (𝑢
⃗ ; 𝑣) = ….. + …….
Exemple 1 : ABCD est une rectangle
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐷𝐴
Déterminer (𝐷𝐵
(2π)
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) + π = − 𝜋 + π = 2𝜋
(𝐴𝐵
3
3
III - FONCTIONS CIRCULAIRES (sinus et cosinus)
C)
A ) Définition :
Soit M un point du cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en
radian de l’angle orienté ( OI, OM ). Alors :
 cos(x) est l’abscisse de M dans le repère (O, OI, OJ )
Propriétés
a) pour tout x réel ,
≤ cos(x) ≤
;
≤ sin(x) ≤
b) pour tout x réel
[cos(x)] 2 + [sin(x)] 2 =
que l’on écrit : cos² x + sin² x =

sin(x) est l’ordonnée de M dans le repère (O, OI, OJ )
Application au tableau de valeurs suivant :
x
M(x)
0

4

6
sin x
cos x


) = sin ( )
4
4
En utilisant la propriété b), trouver la valeur de a.
* Posons a le réel tel que a = cos (
Remarque : tan x =
sin x

pour x ≠
+kπ
cos x
2
* M1 est le point d’abscisse curviligne
B)
Tableau de valeurs
Que dire du triangle OIM1 ?
H est le projeté orthogonal de M1 sur (OI).

Que dire de H ? En déduire cos( ).
Compléter :
x
M(x)
cos(x)
sin(x)
0
π
-2 π

2


2
3
2

.
3
2527 π
3
En utilisant la propriété b), trouver sin(

).
3

3

2
D)
Etude des fonctions cosinus, sinus et tangente. (hors programme)
1) Périodicité :
Soit x un réel quelconque.
Sur le cercle trigonométrique, M(x) est le point d’abscisse curviligne x.
Placer le point M(x + 2π) d’abscisse curviligne x + 2π.
On a :
cos (x + 2π) =
On peut donc étudier les fonctions sinus et cosinus sur l’intervalle ]- π ; π]
2) Parité
Placer le point M(-x) d’abscisse curviligne –x
A l’aide du dessin, compléter :
Pour tout x réel, cos(-x) =
sin(-x) =
Pour tout x réel,
La fonction cos est une fonction
est une fonction
La fonction sin
On peut donc se contenter d’étudier ces fonctions sur l’intervalle …….
On admettra que :
La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction sinus
Tableau de dérivée :
Fonction f
sin
; sin (x +2π) =
Remarque :Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodique sur ℝ.
Pour tout x réel,
cos (x + 2π) =
; sin (x +2π) =
3) Variations.
La fonction sinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction
cosinus
cos
tan
x ↦ sin(ax + b)
x ↦cos(ax + b)
Fonction dérivée f’
Définie sur
ℝ