Électrodynamique classique, Ondes, Antennes, et Processus d

Électrodynamique classique, Ondes,
Antennes, et Processus d’émission
Gérard Bonhomme
Professeur à l’Université Henri Poincaré, Nancy I
18 juin 2007

Table des matières
1 BASES DE L’ELECTROMAGNÉTISME 4
1.1 CHAMPS ELECTROMAGNÉTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Equations de conservation (ou de continuité) . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Equation de conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Equation de conservation de la quantité de mouvement et tenseur
des contraintes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Potentiel scalaire et potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.7 Conditions de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.8 Solutions des équations de Poisson et de d’Alembert . . . . . . . . . 10
1.1.9 Equations de Maxwell dans un milieu matériel . . . . . . . . . . . 11
1.2 DEVELOPPEMENTS MULTIPOLAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Définition des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Champs multipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Energie potentielle associée à un multipole . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Développement en harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . 16
2 OUTILS MATHEMATIQUES 19
2.1 Tenseurs cartésiens et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Fonctions généralisées ou distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Transformée de Hibert et fonctions causales . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Intégration dans le plan complexe ω-Pôles ................. 28
2.6 Systèmes linéaires, fonctions de transfert et réponse impulsionnelle . . . . . 31
3 REPONSE D’UN MILIEU MATERIEL A UN CHAMP ELECTRO-
MAGNETIQUE 34
3.1 DESCRIPTIONS DE LA REPONSE DU MILIEU . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Réponses statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Les différents types de milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Les deux descriptions alternatives de la réponse linéaire . . . . . . . 38
3.1.4 Tenseurs de réponse non linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.5 Exemple Illustratif : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.5.1 Conductivite d’un Plasma (limite statique et B0= 0) . . . 40
3.1.5.2 Tenseur diélectrique équivalent d’un plasma . . . . . . . . 42
3.1.5.3 Loi d’Ohm généralisée B06= 0) ............... 43
1

3.2 PROPRIETES GENERALES DE LA REPONSE . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Relation entre réponse spatio-temporelle et composantes de Fourier 46
3.2.2 Séparation en parties dissipative et non dissipative . . . . . . . . . 47
3.2.3 Les relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.4 Les relations d’Onsager : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.5 Les axes principaux d’un cristal anisotrope . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.6 Causalité et propriétés analytiques du tenseur réponse . . . . . . . 53
3.3 TENSEUR DIELECTRIQUE DE MILIEUX IDEALISES . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Polarisabilité des atomes et molécules . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 L’équation de Lorenz-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Système d’oscillateurs classiques en régime forcé . . . . . . . . . . . 59
3.4 TENSEUR DIELECTRIQUE EQUIVALENT DES PLASMAS . . . . . . . 62
3.4.1 Le modèle du plasma froid magnétisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.2 Modèle du plasma froid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.3 Plasma chaud non magnétisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.4 Dérivation de l’expression de Kij (ω, k)à partir l’équation de Vlasov 67
4 PROPRIETES DES ONDES 69
4.1 RELATION DE DISPERSION ET POLARISATION . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 L’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2 L’équation de dispersion et les relations de dispersion . . . . . . . . 70
4.1.3 Vecteurs polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.4 Amortissement des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.5 Formes explicites de Λ(ω, k)et λij(ω, k)............... 72
4.2 ONDES DANS LES DIELECTRIQUES CLASSIQUES . . . . . . . . . . . 73
4.2.1 Ondes dans les diélectriques isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2 Ondes dans les cristaux uniaxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.3 La vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.4 Ondes dans un milieu optiquement actif . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.5 Ondes dans les cristaux biaxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 ONDES DANS LES PLASMAS 86
5.1 Ondes dans les plasmas chauds isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.1 Ondes de Langmuir : (vϕVe) .................... 86
5.1.2 Ondes acoustiques ioniques : (VivϕVe)............. 88
5.1.3 Modes transverses : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Relations de dispersion pour les ondes en magnéto-plasma froid . . . . . . 90
5.2.1 Coupures et résonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 Polarisation des ondes du modèle magnéto-ionique . . . . . . . . . . 97
5.2.3 Diagramme CMA (Clemmow-Mullaly-Allis) . . . . . . . . . . . . . 100
6 POLARISATION DES ONDES TRANSVERSALES 104
6.1 Le tenseur de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2 Interprétation du tenseur de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Cas limite d’une faible anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4 L’équation de transport dans la représentation de Jones . . . . . . . . . . . 112
6.5 L’équation de transport dans la description de Mueller . . . . . . . . . . . 112
2

6.6 Exemples de transport de rayonnement polarisé . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 ENERGETIQUE ET AMORTISSEMENT DES ONDES 116
7.1 Energies électrique et magnétique dans l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 Travail réalisé par les effets dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 Amortissements temporel et spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4 Flux d’énergie dans l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.5 Description semi-classique des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3

Chapitre 1
BASES DE
L’ELECTROMAGNÉTISME
1.1 CHAMPS ELECTROMAGNÉTIQUES
Le champ électromagnétique peut toujours être décrit par les deux champs Eet B
Eest le champ électrique (unité : volt/m, soit kg.m.s−2.C−1à partir de la force agis-
sant sur une charge test q, i.e., →F=qE)
Best l’induction magnétique (unité : tesla (T), soit kg.s−1C−1à partir de la force
agissant sur un courant I, par unité de longueur →F=I×B)
Les équations de Maxwell relient les champs à leurs sources ρ(C.m−3)) et J(A.m−2)).
Elles sont invariantes dans tout changement de référentiel galiléen, ce qui n’est pas le cas
des équations dites constitutives. Ce point sera discuté plus loin.
1.1.1 Equations de Maxwell
∇×E=−∂B
∂t (loi de Faraday)
∇×B=µ0J+1
c2
∂E
∂t (loid’Ampère)
∇·B= 0
∇·E=ρ
0(loi de Gauss)
(1.1)
avec 0µ0=1
c2,0= 8,854.10−12 F.m−1,µ0=4π.10−7H.m−1, où 1 H = 1 V.s.A−1et
1 F = 1 C.V−1.
Ces équations sont valables quel que soit le milieu. En présence d’un milieu matériel
on a :
ρ=ρext. +ρind. et J=Jext. +Jind.
Pour certains types de milieux matériels, les réponses (ρind. et Jind.) sont incorporées
dans deux nouveaux champs :
4